第三章二次根式练习2025-2026学年湘教版数学八年级上册

2025年湘教版数学八上第三章二次根式练习 1.计算 2+-5-5-2 a②24÷5-5xis+日 2失化简，再：产2古品其申=5-2 3.已知a=√3+1，b=√3-1，求下列代数式的值： (1)a2-b2; 26a a b 1 4.已知：a5-2h=5+2求值： (1)a2b+ab: a b 5.(1)已知a所对应的点在数轴上的位置如图所示.化简：a-1+a-2)2. -101a2→ (2)已知3x-y-1和V2x+y-4互为相反数，求x+4y的平方根. 6.我们知道形如√a(a≥0)的式子叫二次根式.二次根式有性质Va2=la,已知数a,b,c在 数轴上的位置如图所示，请化简：√匠-a+d-Vc-b2--bl c a 0 b 7.阅读理解： 2x2=2,（3+5-1=2,（5+2)(5-V2)=3两个含有二次根式的式子相乘， 积不含有二次根式，则称这两个式子互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式 计算时，利用有理化因式化去分母中的根号. 例1：1 3 5 252√3×√36 例2： √2+1 (2+12+22+1=3+22 2-1(2-12+1 2-1 问题解决： (1)2√3-3√5的有理化因式是_； 1 1 1 1 (2)化简： N2+1+5+V2+4+V5…V2023+V2022 ×V2023+1. 8.阅读与思考 阅读材料：像V5+2)5-2=1,aVa=a(a≥0)，…这种两个含二次根式的代数式相 乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因 式.再如(3+V)与5-√2)也互为有理化因式.在进行二次根式运算时，利用有理化因 2-,求3a2-6a-1的值.” 1 式可以化去分母中的根号.数学课上，老师出了一道题已知= 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： √2+1 .∵a= =√2+1， √2-1（√2-12+1 a-1=V2 (a-12=2,a2-2a=1, 3a2-6a=3,3a2-6a-1=2. 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)23+3√2的一个有理化因式是 (②化简：5-2 1 1 (3)若a 3+2V2’求2a2-12a-1的值. 9.把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片 按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体容器.（接缝忽略不计） (1)求这个容器的侧面积： (2)如果向容器里注满水，则需注入多少水？ 10.综合与实践 (1)计算：用“=，>，<，≥，≤填空 4+9 2√4×9；5+3 2√5×3；3+3 2√3×3. 猜想：a+b2√ab(a≥0，b≥0). (2)利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为1800cm2,对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做 对角线的竹条至少要多少厘米？ 《2025年湘教版数学八上第三章二次根式练习》参考答案 1.(1)5-3 292-3 4 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式混合运算； (1)先进行负指数幂、零次幂、去绝对值运算，再进行加减运算，即可求解： (2)先进行二次根式乘除运算，并把二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算，即 可求解 【详解】(1)解：原式=-2+1+√3-2 =V5-3: (2)解：原式=2W5-3+2 92-3 4 2.15 ”x+2’3 【分析】本题主要考查分式化简求值，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型. 根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案. 【详解】解：x。1÷ x+2 x+2x-1'x2-2x+1 =x1(x-12 x+2x-1x+2 =xx-1 x+2x+2 1 x+2 当x=√5-2时， 1 1 原式=5-2+2万3 3.(1)45 (2)-2V5 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用平方差公式及分式的减法 等知识. (1)利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b),先求出a+b与a-b的值，再代入计算； 时力_进行通分相减，再将a+b、a-b、ab的值代入计算，其中ab的值可通过a (2)先对2 a b 、b相乘求出. 【详解】(1)解：a+b=(3+1)+(5-1)=V3+1+V3-1=2V5, a-b=(W3+1)-(W3-1)=V3+1-V3+1=2, 根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b),把a+b=2V3,a-b=2代入可得： a2-b2=2V3×2=4V3; (2)解：6_0_b2-a2-a2-b a b ab ab 由(1)知a2-b2=4V5, ab=(5+1)(5-1)=(5)2-12=3-1=2, 把a-2=4N5,b=2代入-。2-可得： ab b4-45-25. a b 2 4.(1)25 (2)18 【分析】本题考查了分母有理化，己知字母的值求式子的值，二次根式的混合运算，正确掌 握相关性质内容是解题的关键。 (1)先整理得到a=√5+2，b=√5-2，再代入ab+ab2=aba+b)进行计算，即可作答. (2)先整理得到a=5+2,b=5-2,再代入b+?_(b+a°-2ab进行计算，即可作答. a b ab V5+2 【详解】(1)解：依题意，得a5-25-2×5+2 =V5+2, 1 √5-2 b=- =V5-2, 5+2W5-2×W5+2 .a'b+ab2 =ab(a+b) =(5+2×5-2x5+2+5-2 =(5-4)×2V5 =25. (2)解：由(1)得a=√5+2，b=√5-2， ba "ab =bita ab =(b+a2-2ab ab 5-2+5+2-2×5-2×5+2) (5-2×5+2) (25)2-2x5-4) 5-4 =20-2 1 =18. 5.(1)1;(2)3 【分析】本题考查了数轴、利用二次根式的性质进行化简、绝对值的非负性、平方根，熟练 掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. (1)由数轴可得1<a<2,从而可得a-1>0,a-2<0,再结合绝对值的意义和二次根式 的性质化简即可得解； (2)由相反数的定义结合非负数的性质计算得出x=1,y=2,代入求出x+4y的值，最后 再由平方根的定义即可得解. 【详解】解：(1)由数轴可得：1<a<2, .a-1>0,a-2<0, a-1+a-22=a-1+2-a=1: (2):3x-y-1和V2x+y-4互为相反数， 3x-y-1+V2x+y-4=0, :|3x-y-1≥0，V2x+y-4≥0， .3x-y-1=0,2x+y-4=0, 解得x=1,y=2, .x+4y=1+4×2=9, .x+4y的平方根为±√9=±3. 6.2c-2b 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值和二次根式，整式的加减法，根据题意得出相应 式子的符号是解题关键。 先根据数轴判断实数的符号，式子的符号，再进行化简即可. 【详解】解：由数轴可知a<0,b>0,c<0, a+c<0,c-b<0,-b<0, i.Va-la+d-Mc-b)2--b =a+(a+c)-c-b-b =-a+a+c+c-b-b =2c-2b. 7.1)25+3V5 (2)2022 【分析】本题考查了分母有理化，运用平方差公式进行运算，二次根式的混合运算，解题关 键是掌握上述知识点并能运用求解。 (1)运用平方差公式进行运算得出有理化因式： (2)先将前面小括号里各项分母有理化，再相加，然后利用平方差公式进行运算. 【详解】(1)解：：(25-35)25+35 =(23-(35) =12-45, .2√3-3√5的有理化因式是2√3+35， 故答案为：2√5+3√5.