精品解析：吉林省白城市洮北区白城市实验高级中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题

吉林省白城市洮北区白城市实验高级中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 100件产品中，有95件正品、5件次品．从中抽取6件，“至少有1件正品”“至少有3件次品”“6件都是次品”“有2件次品、4件正品”这四个事件中随机事件的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 2. 已知函数f(x)=若a，b，c均不相等，且f(a)=f(b)= f(c)，则abc的取值范围是 A. （1，10） B. (5，6) C. (10，12) D. (20，24) 3. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知集合，，则M∩N中的元素个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（ ） A. 17 B. 20 C. 34 D. 48 6. 若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，向量，则向量（ ） A. B. C. D. 8. 若一个圆锥的轴截面是一个底边长是2，腰长为的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取获得6名同学的分数（满分30分）：20，22，24，24，26，28，则这组数据的（ ） A. 极差为8 B. 平均数为24 C. 80%分位数为25 D. 众数为24 10. 给出下列四个命题是真命题的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数； B. 关于的不等式在上恒成立的充要条件是； C. 函数的图像可由的图像向右平移个单位得到； D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 11. 已知平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则______，______（答案用含，的式子表示）． 12. 设的共轭复数是,若,,则等于__________. 13. 若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14. 已知 （1）化简函数并计算的值； （2）若，.且，，求的值. （3）已知、、为的内角.若，求的最小值. 15. 集合与对应关系如图所示：是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？ 16. 如图，在平行四边形中，已知，将三角形沿折起，问：当折到点与点的距离为多大时，才有平面？ 17. 某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下： 销售量（件） 1 800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 （1）求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数； （2）假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额. 18. 已知命题，其中，命题.命题是真命题，且命题的否定是真命题，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省白城市洮北区白城市实验高级中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 100件产品中，有95件正品、5件次品．从中抽取6件，“至少有1件正品”“至少有3件次品”“6件都是次品”“有2件次品、4件正品”这四个事件中随机事件的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】仔细分析题意即可得出事件符合随机事件的定义. 【详解】设“至少有1件正品”“至少有3件次品”“6件都是次品”“有2件次品、4件正品”分别为事件， 5件次品．从中抽取6件，则至少会抽取1件正品，事件为必然事件，6件都是次品的情况也不会发生，事件是不可能事件，事件符合随机事件的定义. 故选：C 2. 已知函数f(x)=若a，b，c均不相等，且f(a)=f(b)= f(c)，则abc的取值范围是 A. （1，10） B. (5，6) C. (10，12) D. (20，24) 【答案】C 【解析】 【详解】作出函数f（x）的图象如图， 不妨设a＜b＜c，则 则abc=c∈（10，12） 3. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先应用共轭复数的定义得到共轭复数，再根据几何意义得出对应点的象限即可. 【详解】的共轭复数，对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 4. 已知集合，，则M∩N中的元素个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】 ，因此M∩N中的元素个数为2，选C. 5. 已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（ ） A. 17 B. 20 C. 34 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算、绝对值三角不等式、垂径定理等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为， 则分别是的中点，由勾股定理得， ， ， 故, 当反向时等号成立， 所以的最大值是. 故选：C 【点睛】方法点睛： 解决圆中向量问题，垂径定理是一个重要的工具，通过垂径定理找到弦的中点，将向量与圆心和中点联系起来，便于进行向量的运算和转化. 对于求向量和的模的最值问题，利用向量的线性运算将其转化为已知向量的运算形式，再结合绝对值三角不等式（当且仅当与同向或反向时取等号）来求解，是一种常用的方法. 6. 若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式与指数幂的运算性质，化简得到，即可求解. 【详解】根据根式和指数幂的运算性质，因为， 可化为，即， 可得，所以，即． 故选：B. 7. 已知点，，向量，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，求出，即得的坐标. 【详解】设， 因为，所以 所以，所以. 所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8. 若一个圆锥的轴截面是一个底边长是2，腰长为的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的底面圆周长与侧面展开图的扇形弧长相等列式求解． 【详解】由题意，圆锥的底面半径为r＝1，母线长为l＝π， 设侧面展开图的圆心角为α，则αl＝2πr，可得α＝2． 故选：C． 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取获得6名同学的分数（满分30分）：20，22，24，24，26，28，则这组数据的（ ） A. 极差为8 B. 平均数为24 C. 80%分位数为25 D. 众数为24 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别通过极差、平均数、百分位数、众数的概念逐个判断即可； 【详解】极差为，故A正确； 平均数为，故B正确； ，则80%分位数是第5个数据26，故C错误； 众数为24，故D正确． 故选：ABD． 10. 给出下列四个命题是真命题的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数； B. 关于的不等式在上恒成立的充要条件是； C. 函数的图像可由的图像向右平移个单位得到； D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据同一函数的概念判断选项A;根据充分条件与必要条件的判定判断选项B;根据函数的图象变换判断选项C；根据抽象函数定义域的求法判断选项D． 【详解】对A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以它们不表示同一函数，故A错误； 对B，关于的不等式在上恒成立， 则，解得， 关于的不等式在上恒成立的充要条件是，故B正确； 对C，函数的图像可由的图像向右平移个单位得到，故C正确； 对D,若函数的定义域为，则，解得， 所以函数的定义域为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 11. 已知平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则______，______（答案用含，的式子表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于，在中运用向量加法法则计算即可；对于，先利用共线定理确定与关系即可根据几何图形边的关系即可求解. 【详解】由题； 设， 因为, 因为三点共线， 所以， 所以. 故答案为：；. 12. 设的共轭复数是,若,,则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】可设，由,可得关于a,b的方程，即可求得，然后求得答案. 【详解】解析：设,因为,所以, 又因为,所以, 所以.所以, 即,故. 【点睛】本题主要考查共轭复数的概念，复数的四则运算，难度不大. 13. 若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，当D为BC的中点时，此时向量长度最小，问题得以解决． 【详解】根据题意，在正三角形中，有向线段的长度最小时，应与边垂直，有向线段的长度的最小值为正三角形的高， 即向量的模的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及向量的模，属于基础题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14. 已知 （1）化简函数并计算的值； （2）若，.且，，求的值. （3）已知、、为的内角.若，求的最小值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和商的关系化简，然后求函数值； （2）利用正切的和差公式计算； （3）根据得到，然后利用基本关系、正弦定理和余弦定理化简得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 由，，得，， 所以， 因为，，所以，且， 得，则，所以. 【小问3详解】 ， 又，所以， 所以，由正弦定理得， 又余弦定理，即，所以， 由余弦定理， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 15. 集合与对应关系如图所示：是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？ 【答案】见解析. 【解析】 【分析】 根据题目所示图可以看出A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，所以是函数，定义域是，值域. 【详解】由图知，A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应， 所以是从A到B的函数. 定义域是，值域. 【点睛】本题考查函数的定义，意在考查学生对于基础概念的理解，属于基础题. 16. 如图，在平行四边形中，已知，将三角形沿折起，问：当折到点与点的距离为多大时，才有平面？ 【答案】 【解析】 【分析】要证明线面垂直，则需证明即可. 【详解】作，如图， 由，可得， 故，即， 在折起的过程中，保持不变. 若使折起后有平面，则应有， 此时，在Rt中，，所以. 即当折到点与点的距离为时，才有平面. 17. 某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下： 销售量（件） 1 800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 （1）求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数； （2）假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额. 【答案】（1）平均数是320，中位数是210，众数是210 （2）不合理，理由如下： 因为15人中有13人的销售额不到320件， 320件虽是所给一组数据的平均数，它却不能很好地反映销售人员的一般水平. 销售额定为210件合适些，因为210件既是中位数，又是众数，且是大部分人能达到的定额. 【解析】 【分析】（1）利用平均数，中位数，众数的定义求解即可. （2）结合（1）中求出的平均数，中位数，众数，进行分析即可. 【小问1详解】 平均数是（件） 表中的数据是按从大到小的顺序排列的.处于中间位置的是210，因而中位数是210. 而210出现了5次，次数最多，所以众数是210. 【小问2详解】 不合理，理由略. 18. 已知命题，其中，命题.命题是真命题，且命题的否定是真命题，求的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】先求得的最小值，依题可得a的范围，再命题q的否定为真，可得a的范围，综合即得答案. 【详解】当时，,当时取等号， 因为命题是真命题，所以， 命题的否定：， 因为命题的否定是真命题， 所以，解得. 综上，所求的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $