第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．5，6， B．7，8， C．3，4，8 D．5，5， 2．下列语句不是命题的是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．同位角都相等 C．如果，那么 D．延长线段至点C 3．如图所示，在中，边上的高线是（　　） A． B． C． D． 4．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角都是直角 5．如图，点在边的延长线上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，点D是的中点，，若，且，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．在中，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断形状 8．要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．若表示的三边长，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点，射线与直线交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 12．的三边长a、b、c均为整数，且满足，那么的周长为 ． 13．如图，是上一点，是上一点，则的度数是 ． 14．如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求的长． 16．已知命题“如果，那么a＞0，b＜0．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 17．如图，是中边上的一点，连接，． (1)是的_____；（填“高线”“中线”或“角平分线”） (2)若，，求的度数 18．在网格中的位置如图所示，请根据下列要求作图． (1)过点A作的垂线段，垂足为； (2)将向下平移5格，再向右平移2格，画出平移后的； (3)的面积为_______． 19．如图，点在线段上，点，在线段上，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 20．如图，已知：，，、分别是的角平分线和高 (1)等于多少度； (2)等于多少度？ 21．如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作交于点，求与的数量关系． 22．如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 23．【概念认识】 如图①，在内，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻AB三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 (1)如图①，是“邻三分线”，则______； (2)如图②，在中，，若的“邻三分线” 交于点，则______； (3)如图③，在中，，分别是和的“邻三分线”，且，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试 总分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．5，6， B．7，8， C．3，4，8 D．5，5， 【答案】A 【分析】本题考查了构成三角形的条件，解题关键是掌握构成三角形的条件并能运用求解． 根据构成三角形的条件，对四组数据分别通过计算，再作出判断． 【详解】解：，5，6，能组成三角形，故A符合； ，7，8，不能组成三角形，故B不符合； ，3，4，8不能组成三角形，故C不符合； ，5，5，不能组成三角形，故D不符合， 故选：A． 2．下列语句不是命题的是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．同位角都相等 C．如果，那么 D．延长线段至点C 【答案】D 【分析】本题考查命题的判断，根据命题的定义，对事件作出判断的语句，叫做命题，进行判断即可． 【详解】解：A，B，C选项都对事件作出了判断，是命题，D选项没有对事件作出判断，不是命题； 故选：D． 3．如图所示，在中，边上的高线是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形的高线的定义，进行判断即可．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键． 【详解】解：由图可知：， ∴边上的高线是； 故选：B． 4．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角都是直角 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，判断即可． 【详解】解：由题意，这样做的依据是：三角形具有稳定性； 故选：C． 5．如图，点在边的延长线上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，由题意知为的一个外角，即可知，然后代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：为的一个外角， ∴， ∴， 故选D 6．如图，在中，点D是的中点，，若，且，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，三角形面积公式，先根据三角形面积公式计算得出，再结合点D是的中点计算即可得解． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∵在中，点D是的中点， ∴， 故选：B． 7．在中，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断形状 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，理解并掌握三角形内角和定理是解题关键．根据题意，设，结合三角形内角和定理解得的值，进而确定的值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴，解得， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 8．要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解题． 【详解】解：A、，且，满足命题，不符合题意； B、，且，不满足命题，符合题意； C、，且，满足命题，不符合题意； D、，不满足命题，不符合题意； 故选：B． 9．若表示的三边长，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值．由三角形的三边关系，得到，，，化简绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：表示的三边长， ，，， ，，， ， 故选C． 10．如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点，射线与直线交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 设，根据为解题的思路，根据三角形的外角性质及角平分线性质，通过等量代换的思想分别求出即可． 【详解】解：设，则， ，， ， 分别是的外角的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【分析】本题考查了命题真假的判断，逆命题，解本题的关键在熟练掌握平行线的性质定理，难度比较小．先写出命题的逆命题，再利用平行线的性质定理，对命题进行判断即可得出答案． 【详解】解：“内错角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题． 故答案为：真． 12．的三边长a、b、c均为整数，且满足，那么的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了非负性，三角形三边关系，根据非负性可以求出，熟练掌握是解题关键 【详解】解：，，， ，， ． 又a，b，c均为三角形的三边， ． 为整数， ． 的周长为， 故答案为：11． 13．如图，是上一点，是上一点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角与外角、三角形内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据，进而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 14．如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了三角形面积、三角形中线的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图，连接，由三角形中线的性质可得，，易得，；设，易得，即，，进而求得，进而求得图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 设， ∵， ∴，则． ∴，解得：， ． 故答案为18． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系、一元一次方程，解题关键是分情况讨论得出符合三角形三边关系的长． 先根据是边上的中线得出，再根据题意对和的不同取值进行讨论，结合周长分别用表示、，用一元一次方程即可求解，注意用三角形三边关系定理进行验证得出答案． 【详解】解：依题得：，， ①，， ， 即， 又， ， ，，， 此时三角形任意两边之和大于第三边，符合三角形三边关系定理； ②，， ， 即， ， ，，， 此时，不符合三角形三边关系定理． 综上所述，． 16．已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)题设为，结论为， (2)假命题，举例见解析 【分析】本题考查命题的含义，真假命题的判断，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键； （1）如果后面的部分为条件，那么后面的部分为结论； （2）先说明命题的真假性，然后举出反例即可求解； 【详解】（1）解：此命题的题设为，结论为，． （2）解：此命题是假命题， 当a为负数，b为正数时，，但是，， 例如：当，时，，但是，． 17．如图，是中边上的一点，连接，． (1)是的_____；（填“高线”“中线”或“角平分线”） (2)若，，求的度数 【答案】(1)角平分线 (2) 【分析】此题考查角平分线和三角形外角的性质等知识． （1）根据角平分线的定义进行解答即可； （2）利用角平分线得到，再利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴是的角平分线， 故答案为：角平分线 （2）， ， 由已知 18．在网格中的位置如图所示，请根据下列要求作图． (1)过点A作的垂线段，垂足为； (2)将向下平移5格，再向右平移2格，画出平移后的； (3)的面积为_______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)15 【分析】（1）根据垂直的定义，借助网格即可作图； （2）把分别向下平移5格，向右平移两格，得到，连接即可； （3）根据三角形面积公式即可计算． 【详解】（1） （2）把分别向下平移5格，向右平移2格，得到，连接即可： （3） 由图可知，的面积为． 故答案为：15． 19．如图，点在线段上，点，在线段上，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的判定与性质，三角形内角和定理． （1）根据平行线的性质结合证明，即可得证； （2）根据两直线平行，同旁内角互补得，根据角平分线的定义得的度数，根据可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 20．如图，已知：，，、分别是的角平分线和高 (1)等于多少度； (2)等于多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和外角的性质．掌握三角形的内角和定理和外角的性质是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理即可； （2）根据角平分线的定义、三角形的内角和定理及三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：是的角平分线， ， ， 又.是的高， ∴ ． 21．如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作交于点，求与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形外角的性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到，根据（2）的结论解答． 【详解】（1）解：， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ； （2）， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ， 故答案为：； （3）， ． ． 由（）得． ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 22．如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 23．【概念认识】 如图①，在内，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻AB三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 (1)如图①，是“邻三分线”，则______； (2)如图②，在中，，若的“邻三分线” 交于点，则______； (3)如图③，在中，，分别是和的“邻三分线”，且，求的度数． 【答案】(1)20 (2)84 (3)54° 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是应用角的“三分线”定义来解决问题． （1）由是“邻三分线”，即可求出的度数； （2）由是“邻三分线”，求出，由三角形的外角性质得到； （3）由三角形内角和定理求出，由角的“三分线”定义得到，求出，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，是“邻三分线”， ， 故答案为：20； （2）解：如图②，是“邻三分线”， ， ． 故答案为：84． （3）解：如图③，， ， ，分别是和的“邻三分线”， ，， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $