2025-2026学年浙教版九年级上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年九上数学第一次月考卷 考试范围：浙教版第1-3章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 2．下列成语描述的事件是随机事件的是（   ） A．种瓜得瓜 B．画饼充饥 C．百步穿杨 D．水中捞月 3．如图，⊙是△的外接圆，，则的大小为（　　） A． B． C． D． 4．在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图是二次函数的大致图象，则一次函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 8．已知圆的直径，为圆的弦，，且，垂足为点，且满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．已知，二次函数图象如图所示，其中对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④（其中为任意实数） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 10．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连结，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C．1 D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．在“”中，任选一个字母，这个字母为“”的概率为 ． 12．将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 ． 13．杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为 ．        14．只有颜色不同的红球和白球共20个装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到的白球的频率稳定在0.8附近，则袋中白球的数量最有可能是 个． 15．如图，为的一条弦，点是圆上一点，连接，，，若，则 °． 16．如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 18．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频率分布表． 满意度 非常满意 满意 一般 不满意 合计 频率 0.5 0.3 0.05 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____________． (2)若某日共有10000名游客，请你估计其中满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点 的坐标为．请解答下列问题： (1)画出关于 轴对称的，并写出点的坐标． (2)画出绕原点逆时针旋转后得到的 ，并写出点的坐标． 20．某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为x轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知米，设抛物线解析式为．   (1)求a的值； (2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为，连接，求的面积． 21．如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 22．京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有四张不透明卡片（如图），正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案不同外其余都相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放在桌上． (1)“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘生’角色的卡通人物”这一事件属于______事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下图案后放回，记作随机抽卡片1次．随机抽取卡片10次，其中抽到印有“生”角色卡通人物的卡片2次，则这10次抽卡片中，抽到印有“生”角色卡通人物的卡片的频率为______； (3)从这四张卡片中随机抽取一张，求抽到的卡片上恰好印有“净”角色的卡通人物的概率． 23．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，交网格线于点D．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中画出该圆的圆心O，再画出的中点E，然后在优弧上画点F，连接，使得； (2)在图2中画出线段绕点A逆时针旋转得到的线段（点M与点C对应）． 24．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九上数学第一次月考卷 考试范围：浙教版第1-3章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据，其对称轴为解题即可． 【详解】解： 那么其对称轴为， 故选：A． 2．下列成语描述的事件是随机事件的是（   ） A．种瓜得瓜 B．画饼充饥 C．百步穿杨 D．水中捞月 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，熟悉必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解题的关键．必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，根据各类事件的定义来逐项区分判断即可． 【详解】解：A、种瓜得瓜是必然事件，故此选项不符合题意； B、画饼充饥是不可能事件，故此选项不符合题意； C、百步穿杨是随机事件，故此选项符合题意； D、水中捞月是不可能事件，故此选项不符合题意； 故选：C ． 3．如图，⊙是△的外接圆，，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半解答． 【详解】解：∵和是所对的圆心角和圆周角，， ∴． 故选：A． 4．在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式，掌握概率的定义是解题的关键． 根据概率的定义解答即可． 【详解】解：由题意可知，白球个数占球总数的， 故随机摸出一个球为白球的概率是． 故选：A． 5．如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C． 7．如图是二次函数的大致图象，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是根据已知二次函数的图象判断系数、的符号．根据二次函数的图象开口方向、对称轴可以判断、的正负情况，从而可以判断一次函数的图象． 【详解】解：由二次函数的图象可知， ，， ， ， 一次函数的图象在第一、二、四象限． 故选：D． 8．已知圆的直径，为圆的弦，，且，垂足为点，且满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，如图，先利用垂径定理得到，在中利用勾股定理计算出，则可计算出，然后在中利用勾股定理可计算出． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵直径， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 故选：C． 9．已知，二次函数图象如图所示，其中对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④（其中为任意实数） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与轴的交点、二次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题关键． 根据抛物线图象开口方向判断，根据对称轴为，得到，，根据图象可知抛物线与轴交于正半轴，可判断，据此可判断①②；根据可得，即有，可判断③；由二次函数的图象可知最大值在时，即最大值为，据此解题可判断④． 【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，即， 对称轴为， ， 且， 抛物线与轴交于正半轴， ， 故①错误，②正确； ③， ， 故③正确； ④抛物线的对称轴为， 当时，函数的最大值，且为， （为任意实数） （为任意实数）， 故④正确； 综上所述，正确的是②③④， 故选：D． 10．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连结，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、旋转的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，此时在中，， 即的最小值是1， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．在“”中，任选一个字母，这个字母为“”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现种结果，那么事件的概率．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：在“”中，共有14个字母，其中“”出现4次，那么这个字母为“”的概率为． 故答案为：． 12．将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度得到的抛物线的解析式为， 故答案为：. 13．杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为 ．        【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形面积公式计算即可得解，熟练掌握扇形面积公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：扇形的面积为， 故答案为：． 14．只有颜色不同的红球和白球共20个装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到的白球的频率稳定在0.8附近，则袋中白球的数量最有可能是 个． 【答案】16 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据摸到的白球的频率稳定在0.8附近，可以估计摸到的白球的概率为0.8，然后根据概率公式即可求出白球的数量． 【详解】解：设袋子中白球的个数为x， 根据题意，得：， 解得：， 所以袋中白球的数量最有可能是16个． 故答案为：16． 15．如图，为的一条弦，点是圆上一点，连接，，，若，则 °． 【答案】50 【分析】本题主要考查圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．根据题目给出的的度数，利用圆周角定理计算的度数． 【详解】与是所对的圆周角与圆心角，， ． 故答案为：50． 16．如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发现图象的变化特点； 根据题意和图象可以发现每4个单位长度的图象为一个循环，然后即可计算出点中m的值． 【详解】解：， ∴图象的顶点坐标为， ∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为， 把代入，解得：， 作的直线平行轴，如图： ， ∴， 由图象可得， 每4个单位长度的图象为一个循环， ∵，， ∴点与图象的点中的纵坐标是相等的， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 【答案】(1) (2)，顶点 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由题意知是抛物线上关于对称轴对称的两点，据此即可求解； （2）由题意可得点的坐标，将其代入即可求出抛物线的解析式． 【详解】（1）解：若， 则是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：， 故答案为： （2）解：∵点在上， ∴， . ∴ 将代入得： ∴              解得 ∴.      故顶点坐标为 18．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频率分布表． 满意度 非常满意 满意 一般 不满意 合计 频率 0.5 0.3 0.05 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____________． (2)若某日共有10000名游客，请你估计其中满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数． 【答案】(1) (2)名 【分析】本题主要考查了统计图表的相关知识，解决问题的关键是读懂图表，弄清题意. （1）利用频率之和等于1求出未知频率. （2）利用样本估计总体的方法计算相应的人数. 【详解】（1） 解： 故答案为：. （2）解：（名）． 故估计满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数为． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点 的坐标为．请解答下列问题： (1)画出关于 轴对称的，并写出点的坐标． (2)画出绕原点逆时针旋转后得到的 ，并写出点的坐标． 【答案】(1)见详解图，点的坐标为； (2)见详解图，点的坐标为． 【分析】本题考查图形的变换与坐标中的轴对称变换与旋转变换．解题的关键是根据要求找出相应变换后对应点的位置，再顺次连接即可． 【详解】（1） 如图所示，点的坐标为； （2） 如图所示，点的坐标为． 20．某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为x轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知米，设抛物线解析式为．   (1)求a的值； (2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了二次函数的应用，三角形面积的求法，正确的理解题意是解题的关键． （1）由题意得到，把代入即可得到结论； （2）根据函数解析式得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）由题意知， 把代入，得， （2）由（1）知， 当时，， ， 作于D，则， ． 21．如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键： （1）三线合一，得到，圆周角定理，得到，即可得出结果； （2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴平分， ∴， ∴； （2）∵的半径为2， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 22．京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有四张不透明卡片（如图），正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案不同外其余都相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放在桌上． (1)“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘生’角色的卡通人物”这一事件属于______事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下图案后放回，记作随机抽卡片1次．随机抽取卡片10次，其中抽到印有“生”角色卡通人物的卡片2次，则这10次抽卡片中，抽到印有“生”角色卡通人物的卡片的频率为______； (3)从这四张卡片中随机抽取一张，求抽到的卡片上恰好印有“净”角色的卡通人物的概率． 【答案】(1)随机 (2) (3) 【分析】本题主要考查了事件分类，频率计算，概率公式应用，解题的关键是熟练掌握概率计算公式． （1）根据事件的分类方法，进行求解即可； （2）根据频率的计算公式，进行求解即可； （3）根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘生’角色的卡通人物”这一事件属于随机事件； （2）解：抽到印有“生”角色卡通人物的卡片的频率为； （3）解：从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上恰好印有“净”角色的卡通人物的概率为． 23．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，交网格线于点D．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中画出该圆的圆心O，再画出的中点E，然后在优弧上画点F，连接，使得； (2)在图2中画出线段绕点A逆时针旋转得到的线段（点M与点C对应）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点G和K，连接，，，则四边形是正方形，连结，，与交于点Q，可知，取与中间格线的交点P，则，作直线，则直线是的垂直平分线，与的垂直平分线交于点O，则为点O为圆心；直线与交于点E，则点E为的中点；取格点T，此时四边形是平行四边形，射线交于点F，连结，根据夹在两平行线间的弧相等，可得； （2）取格点，连接，此时且，连接并延长交于点H，连接并延长交水平格线于点N，连接，则线段即为所作． 【详解】（1）解：如图所示就是所求作的图形； （2）解：如图，线段即为所作． 【点睛】本题考查了作圆的圆心，作图旋转图形，正方形的判定与性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，垂径定理，，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $