精品解析：山东省烟台市牟平第一中学2025-2026学年高二上学期9月限时训练数学试题

24级高二数学限时练习 （2025.9.13） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 C. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 2. 已知直线的方向向量与平面的法向量分别为，，则（ ） A. ∥ B. C. ∥或 D. ，相交但不垂直 3. 如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若向量则（ ） A. B. 3 C. D. 5. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 6. 如图，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.四个选项至少有2项是符合要求，选不全得2分，选错得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 10. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 三、填空题（共3小题） 12. 已知点，，，，若A，B，C，D四点共面，则__________. 13. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为______. 14. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是__________________ 四、 解答题（共5 小题） 15. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. （1）求的值； （2）求与所成的角的余弦值. 16. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； 17. 如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. （1）若，求直线与所成角的余弦值； （2）若直线与平面所成角为45°，求实数的值. 18. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值． 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24级高二数学限时练习 （2025.9.13） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 C. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量、基底的性质，以及共面向量、直线方向向量性质和概念判断各选项的正误. 【详解】A：平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，正确； B：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故一点和方向向量确定直线，正确； C：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误； D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确. 故选：C 2. 已知直线的方向向量与平面的法向量分别为，，则（ ） A. ∥ B. C. ∥或 D. ，相交但不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断直线的方向向量和平面的法向量的位置关系，从而判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为， 所以， 所以∥或 故选：C. 3. 如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用空间向量的线性运算即得. 【详解】在平行六面体中， 因为，，，点在上，且， 所以. 故选：A 4. 若向量则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得 【详解】由于向量，，所以. 故 故选：D 5. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误； 对于选项B:若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：D. 6. 如图，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值. 【详解】构建如下图的空间直角坐标系，则， 所以，，， 若是面的一个法向量，则， 取，则， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 7. 如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，再由向量数量积的运算性质即可得解. 【详解】∵，，∴， ∵，∴． ∵，∴ ． ∴． 故选：A． 8. 教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可. 【详解】平面的方程为， 平面的一个法向量， 同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，取，则 设直线与平面所成角为， 则 故选：A 【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系. 二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.四个选项至少有2项是符合要求，选不全得2分，选错得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用空间向量基本定理即可判断，对于B由即可判断，对于C当时，则是钝角或即可判断，对于D关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即可判断. 【详解】对于A，构成空间的一个基底，则，，不共面， 因为，则，，必共面，故A正确； 对于B，在中，所以P，A，B，C四点共面，故B正确； 对于C，当时，则是钝角或，故C错误； 对于D，关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标是，故D正确． 故选：ABD． 10. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间两点间的距离公式判断A ；利用数量积求夹角判断 B ；由数量积为0 判断 C ；求出平面的一个法向量，再由向量求夹角判断D． 【详解】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直判定A，应用空间向量法计算角及外接球球心结合表面积公式计算判断B，D，应用展开图及勾股定理计算判断B. 【详解】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确； ， 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 对于B，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确； 设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则， 设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共3小题） 12. 已知点，，，，若A，B，C，D四点共面，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共面向量基本定理可设，求解即可. 【详解】由题可知，，，因为A，B，C，D四点共面，所以（m，），， 即，解得，，所以. 故答案为：. 13. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为______. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 14. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是__________________ 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】过和分别作，，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可． 【详解】过和分别作，， ，， ， ， ， 则，即， ， ， ， ， 二面角的余弦值为， 故答案为：. 四、 解答题（共5 小题） 15. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. （1）求的值； （2）求与所成的角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为基底表示出可求出的值，即可求得结果； （2）根据向量数量积的运算律求得的长，再由向量夹角的计算公式可得结果. 【小问1详解】 因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 【小问2详解】 因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 16. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； 【答案】（1）证明: 在三棱柱中，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则点、、、、、， ，，则， 因此，； （2）. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出，即可证得结论成立； （2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）略； （2），，设平面的法向量为， 由，取，可得，，所以，， 易知平面的一个法向量为，. 由图形可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. （1）若，求直线与所成角的余弦值； （2）若直线与平面所成角为45°，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，再根据向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦值，进而得到异面直线与所成角的余弦值； （2）同样先建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标，再求出平面的法向量，最后根据直线与平面所成角的向量公式列出方程，求解得到的值. 【小问1详解】 建立空间直角坐标系并求点的坐标：以为正交基底，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则，，.因为为棱的中点，，，所以点坐标为； 又因为，，所以点坐标为. 所以，. 根据向量的夹角公式，， ，所以. 因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 因为，，所以点坐标为. 那么，，. 设平面的法向量为，有，即. 令，得，解得； 把，代入得，解得. 所以. 已知直线与平面所成角为，根据线面角向量关系（为线面角）， 则. 等式两边同时平方得. 化简：，即. 展开得. 移项整理得， 又因为，所以，解得. 18. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：取中点，连结，，， 由题意，在中，，， 所以为等边三角形，所以， 因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 所以，为二面角的平面角， 在中，，，， 所以， 可得，所以， 所以，平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，连结，，，根据平面与平面垂直的定义证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量求线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 由于为棱中点，故， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以， 所以，直线与平面所成角的余弦值为． 【点睛】 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； 【小问3详解】 设，则，,, 的，， 设平面的一个法向量为 CQ与平面所成角的正弦值为， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $