第21章 一元二次方程 综合能力达标练习　2025-2026学年人教版九年级数学上册

第21章   一元二次方程   综合能力达标练习

 

一．选择题

1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　）

A．3x3﹣2y+1＝0 B．x（2x﹣1）＝3 

C． D．ax2﹣bx+c＝0

2．把方程x2+8x+9＝0化成（x+m）2＝n的形式为（　　）

A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝25 C．（x﹣4）2＝7 D．（x﹣4）2＝25

3．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣5x+6＝0的根，则这个三角形的周长为（　　）

A．10 B．11 C．10或11 D．不能确定

4．若a，b是一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则2a2+5a+2b的值是（　　）

A．1 B．7 C． D．

5．已知a，b是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则的值是（　　）

A．3 B． C． D．﹣3

6．某县推行“5+2”课后服务以后，教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，平均工作时长为48.4小时，设这两周工作时长的平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．40（1+2x）＝48.4 B．40（1+x）2＝48.4 

C．48.4（1﹣x）2＝40 D．48.4（1﹣2x）＝40

7．如图，某小区计划在一块长为30m，宽为21m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为560m2．设道路的宽为x m，则所列方程正确的是（　　）

A．（30﹣x）（21﹣x）＝30×21﹣560 

B．30x+2×21x＝30×21﹣560 

C．30x+2×21x﹣2x2＝560 

D．（30﹣2x）（21﹣x）＝560

8．若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（　　）

A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 

C．m为任意实数 D．m＞0

9．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有下列说法：

①若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根为1；

②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；

③若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；

④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2；其中正确的是（　　）

A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④

二．填空题

11．若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1没有实数根，则m的取值范围是 　      　 ．

12．若关于x的一元二次方程3x2﹣6x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围是 　      　 ．

13．在x2﹣（　　）+4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，这个一次项可以是 　            　 ．

14．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338＝10a+24b+26c，则△ABC为 　     　 三角形．

15．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x＝﹣1的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 　   　 ．

16．已知a是方程x2+2x﹣2＝0的一个根，则代数式（a+1）2的值为 　   　 ．

三．解答题

17．解方程：

（1）2（x﹣1）2＝3（x﹣1）；

（2）3x2+4x﹣1＝0．

 

 

18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．

（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．

（2）若方程的两个实数根为x1，x2（x1＞x2），且为整数，求整数m的值．

 

 

 

 

19．某商场在去年年底以每台2500元的进价购进一批某品牌洗衣机，今年1月份以每台2900元的售价销售，1月份销售量为200台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，在售价不变的情况下，三月份的销售量达到了288台．

（1）求二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率；

（2）从四月份起商场要进行内部的装修，现对已有的库存进行降价处理，经调查发现，当该品牌洗衣机售价为2900元时，平均每天售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000元，每台洗衣机的售价应为多少元？

 

 

 

 

 

20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿着AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q同时从点B开始沿着BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．假设运动时间为t s．

（1）PB＝　          　 ，BQ＝　        　 ．（用含t的式子表示）

（2）当t为何值时，四边形CAPQ的面积为16cm2．

 

 

 

21．【方法提然】

配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．