精品解析：河北省保定市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段考试（开学考）数学试题

保定一中2025～2026学年第一学期第一次阶段考试(开学考) 第九届数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知角的终边经过点，则 A. B. C. D. 2. 设命题p：任一实数的平方都不小于0，则命题p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点为，且，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 6. 下列选项中，是“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则a、b、c之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分． 9. 已知、、、是实数，则下列一定正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上有四个不同的实数解 11. 已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 已知函数在R上为偶函数，且时，，则当时，________. 14. 定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设函数的定义域为A，集合. （1）求集合A，B，并求； （2）若集合，且，求实数a的取值范围. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值. 17. 目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某企业从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为． （1）设年后（2018年记为第1年）年产能为2017年的倍，请用表示； （2）若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的？（参考数据：，） 18. 已知函数. （1）证明：函数在上为增函数； （2）求使成立的的取值范围. 19. 函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义． 定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当，有 定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当有 将定义1，2中的“”改为“”，则相应地称函数为上的上凸函数．可以证明定义1与定义2等价．试运用以上信息解答下面的问题： （1）若，试根据定义1证明为上的下凸函数； （2）已知为上的上凸函数，若为的内角，求的最大值； （3）设为大于或等于1的实数，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保定一中2025～2026学年第一学期第一次阶段考试(开学考) 第九届数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知角的终边经过点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用三角函数的定义可求出的值. 【详解】由三角函数的定义可得. 故答案为：D. 【点睛】本题考查利用三角函数的定义计算余弦值，考查计算能力，属于基础题. 2. 设命题p：任一实数的平方都不小于0，则命题p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题p：任一实数的平方都不小于0，即，为全称命题， 又全称命题的否定为特称命题，故命题p的否定是， 故选：C 3. 已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由扇形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：由扇形面积公式得， ， 故选：C． 4. 函数的零点为，且，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点的存在性定理求解. 【详解】因为在单调递增， 且， 即，所以， 故选：C. 5. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，排除不符合要求的选项即可得解. 【详解】当时，在上单调递减，排除CD； 当时，在上单调递增，排除A，选项B符合要求. 故选：B 6. 下列选项中，是“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式恒成立的条件及其必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， ∵不等式在上恒成立， ∴，解得， 又∵， ∴是的必要不充分条件， 选项,,则是的充要条件， 选项,,则是的充分不必要条件， 选项,,则是的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两式平方，结合求出，整体代入即可求出的值，根据的范围可以求出的范围，从而确定具体值 【详解】因为，所以，因为，所以， ，所以 故选：A 8. 已知函数，若，则a、b、c之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的定义域，结合函数的解析式可得，即函数为偶函数，设，利用复合函数单调性的判断方法分析可得在，上为减函数，又由的值，可得在区间，上，，由此可得在区间，上为增函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，函数，其定义域为， 则， 即函数为偶函数， 设，有， 设，则， 当时，为减函数且， 而在为增函数， 则在，上为减函数， 又由，则在区间，上，， 又由，则在区间，上为增函数， 又由， 则有， 故选． 【点睛】本题考查复合函数的单调性的判定和应用，考查函数奇偶性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、多选题：本题共3小题，共18分． 9. 已知、、、是实数，则下列一定正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】 利用作差法可得A正确；利用不等式的性质可得B错误；举例可说明C错误；利用不等式的性质可得D正确． 【详解】因为，所以A正确； 当时，，故B错误； 当，时，，但，故C错误； 若，，则，，且，，所以，又，所以，故D正确； 故选：AD 【点睛】本题考查不等式的性质的应用，考查作差法比较大小，属于基础题． 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上有四个不同的实数解 【答案】BD 【解析】 【分析】方法一：结合判断A；根据正弦型函数的周期公式判断B；作出函数大致图象，判断CD； 方法二：化简得由，结合函数大致图象判断各选项即可. 【详解】方法一：由， 则，，则， 所以不可能关于对称，A错误； 因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 则的最小正周期为，B正确； 当时，，当时，； 当时，，作出函数大致图象，如图， 则，C错误， 在有4个根，D正确. 方法二：由， 作出和的图像，取位于上方的部分即可： 由图可知，AC错误，B正确， 对于D，计算知与在内的交点坐标为， 而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点， 所以在上有四个不同的实数解，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合图象分析可知，且可判断A；根据对数函数性质结合基本不等式可判断B；根据指数函数性质结合基本不等式可判断C；设，则方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析可判断D. 【详解】令，则， 可知函数的零点即为函数与图象的交点的横坐标， 如图，作出函数的图象， 则， 对于A，由函数有四个零点知，函数与的图象有四个交点， 所以，故A正确； 对于B，因为，即， 且，则， 可得， 即，整理得， 即，解得， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，即， 且，则，， 可得， 整理得， 即，所以， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故C正确； 对于D，方程，即， 令，则，注意到， ①若，则方程无实根，即方程无实根， 故方程无实根； ②若，则方程有个不相等的实根和， 且有个不相等的实根； 有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ③若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根； 有个不相等的实根； 或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ④若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根；或或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ⑤若，则方程有个不相等的实根， 且无实根；或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； 综上所述：方程最多有个不同的实根，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法： （1）转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】把看作整体，根据诱导公式五求解 【详解】设，由题意得，， 根据诱导公式五，. 故答案为： 13. 已知函数在R上为偶函数，且时，，则当时，________. 【答案】 【解析】 【分析】当时,,可求得的表达式,再由在R上为偶函数,可得,从而可求出时,的表达式. 【详解】当时,,则, 又函数在R上为偶函数,则, 故当时,. 故答案为:. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法,利用函数的奇偶性是解决本题的关键,属于基础题. 14. 定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】令求出，令可得在R上为减函数，根据单调性和奇偶性即可得解. 【详解】令，则，得， 令，则，即， 所以为奇函数. 令，且，则， 因为，所以，所以， 所以在R上为减函数， 所以不等式 ， 即，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设函数的定义域为A，集合. （1）求集合A，B，并求； （2）若集合，且，求实数a的取值范围. 【答案】（1），，；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由对数函数的性质可得，由二次不等式可得，再由集合的交集、补集的概念即可得解； （2）转化条件为，按照、分类，运算即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，或， 所以； （2）因为，所以， 当时，，解得，符合题意； 当时，则； 综上：a的取值范围是. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值. 【答案】（1）， （2）时，取最大值；时，取最小值. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间； （2）求得，由可求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值以及对应的值. 【小问1详解】 因为， 由正弦函数的单调性可得，， 解得，，， 因此，函数的单调递减区间为，. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 当时，， 当时，即当时，函数取最大值， 当时，即当时，函数取最小值. 17. 目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某企业从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为． （1）设年后（2018年记为第1年）年产能为2017年的倍，请用表示； （2）若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的？（参考数据：，） 【答案】（1） （2）2031年 【解析】 【分析】（1）设2017年的产能为1，从而得到，两边开次方根，即可得答案； （2）设年后年产能不超过2017年的，则，即，两边取对数，解不等式即可得答案. 【详解】（1）设2017年的产能为1．依题意得， ，． （2）设年后年产能不超过2017年的，则， 即， 解得，即， ，且， 的最小值为14， ． 至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的． 【点睛】本题考查指数函数模型求解实际问题，考查对实际问题的建模能力和运算求解能力，求解时注意利用对数运算法则解不等式. 18. 已知函数. （1）证明：函数在上为增函数； （2）求使成立的的取值范围. 【答案】（1）由函数可得 所以 取任意，且， 则 易知，所以，而； 所以，即 所以函数在上为增函数. （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则将函数化简之后得出的表达式，再利用单调性的定义即可得出证明；（2）结合（1）的结论和复合函数单调性得出函数在上为增函数，再利用函数奇偶性解带绝对值不等式即可得出的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，函数的定义域为 由可得， 所以函数为偶函数； 根据（1）可知，在上为增函数； 根据复合函数单调性可知，在上为单调递增； 又函数为偶函数，所以在上为单调递减， 由可得 只需满足即可， 易知，所以 即，解得； 根据三角函数单调性可知 19. 函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义． 定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当，有 定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当有 将定义1，2中的“”改为“”，则相应地称函数为上的上凸函数．可以证明定义1与定义2等价．试运用以上信息解答下面的问题： （1）若，试根据定义1证明为上的下凸函数； （2）已知为上的上凸函数，若为的内角，求的最大值； （3）设为大于或等于1的实数，证明：． 【答案】（1）因为的定义域为， 任取， 则 ， 即，所以为上的下凸函数. （2） （3）设，因为，所以， 要证，只需证， 下证：在上为下凸函数. 设，则， 下证，即证， 即证， 化简得， 即证 又式显然成立， 所以成立，在上为下凸函数， 则得证. 【解析】 【分析】（1）根据下凸函数的定义分析证明即可； （2）根据上凸函数的定义结合分析求解即可； （3）首先利用分析法，将不等式进行变形，并转化为证明在上为下凸函数， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为上的上凸函数，且，， 则，即， 例如时，， 所以的最大值为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：本题属于新概念题，根据题目下凸和上凸函数的概念，利用转化和化归的数学思想对复杂函数进行简单化，据函数的单调性解不等式以及对数恒等式的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $