精品解析：重庆市六校联考2025-2026学年北师大版八年级上学期入学学情诊断调查数学试题

2025年学情诊断 八年级数学试题 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，零指数幂等知识，掌握这些知识是解题的关键；根据这些知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、满足的条件是，在没有指明的情况下，计算是错误的，不符合题意； C、非同类项，不能合并，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：A． 3. 如图，直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，两直线平行同旁内角互补，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据两直线平行同旁内角互补，得出，再根据对顶角相等，求得，代入，即可求得． 【详解】解：如图， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， 故选：B． 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天会有太阳 B. 买一张电影票，座位号是偶数号 C. 小丽到达公交车站台时，108路公交车正在驶来 D. 一只袋子中装有3个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件：一定发生的事件，对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、明天可能有太阳或没有太阳，是随机事件，故不符合题意； B、买一张电影票，座位号是偶数号或奇数号，是随机事件，故不符合题意； C、小丽到达公交车站台时，108路公交车正在驶来或已驶离，是随机事件，故不符合题意； D、一只袋子中装有3个红球和1个白球，从中摸出2个球，至少有一个红球，即其中有红球，是必然事件，故符合题意； 故选：D． 5. 已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数表达式的求法，根据题意列出等式即可解决问题； 【详解】解：由题可知：， ∴， 故选：C． 6. 如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据“角边角”证明，可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故选：B． 7. 在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（ ） A. 10 B. 6 C. 12 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 8. 如图，在四边形中，，是上一点，连接并延长至点，连接，是上的一点，连接．若，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先求出，再证明得到，据此可判断A、C；过点E作，则，由平行线的性质可得，据此可判断B；求出度数， 再求出的度数，进一步求出的度数即可判断D． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，故C结论正确，不符合题意 ∴，故A结论正确，不符合题意； 如图所示，过点E作，则， ∴， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与不平行，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 9. 如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【详解】解：当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 10. 如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和等知识，掌握这些知识是关键；由平行线的性质及等腰三角形性质、三角形内角和，可求得，从而判断①；可证明，得，即可判断②；由②的判断可判断③；由得，而，由此即可判断④，从而可确定答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意知，， ∴， 故①正确； 由题意知：，且， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 由②知，， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④错误， 综上，正确的有①②③三个正确， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟悉完全平方公式的结构特点是解题的关键． 由完全平方公式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：1． 12. 如图，已知，要使，只需添加一个条件：______（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知，推出，，则可添加条件，利用即可证明． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是______度． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角定义，先分别求出和，再根据“两直线平行，内错角相等”求出和，即可得出答案． 【详解】∵，， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 已知，，则的值为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，熟练完全平方公式是解题的关键． 由完全平方公式可求得的值，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：13． 15. 如图，点F为线段上一点，且，，平分，已知，则______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】由及，得是等边三角形，则，得，设，则，从而求得及，再由，即可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的意义等知识，掌握这些知识是关键． 16. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式 ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；．．．．．． 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： （1）根据上面的规律，直接写出的展开式：______ （2）计算______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式的规律问题． （1）直接根据题干式子结合图表作答即可； （2）根据题干式子结合图表得到，将化为，根据计算即可． 【详解】解：由表可知有五项，系数分别为1，4，6，4，1； 即 故答案为：； （2）由表可知有六项，系数分别为1，5，10，10，5，1； 即， ∴ 故答案为：． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先计算零指数幂，再相乘即可； （2）按照多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：原式． 18. 如图，在中，，平分， （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交，于点O，点E；（保留清晰作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）所作的图形中，完成下面证明的过程． 证明：在中， ∴ ∵平分，平分 ∴ ① ② 在与中， ∴， ∴ 【答案】（1） 如图， （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据角平分线的作法作答即可； （2）根据已知条件和角平分的性质、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质补充过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式，代数式求值． 根据平方差公式和完全平方公式，对括号内的部分进行去括号，合并同类项，再计算多项式除以单项式，将字母的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 20. 如图，的平分线交的平分线于点，交于点，若． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴， ∵、分别平分，， ∴，， ∴， ∴． （2）的度数为． 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，平行线的判定． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合角平分线的定义，可得，根据平行线的判定即可证得结论； （2）由和的关系，结合已知可得，根据角平分线的定义可得，即可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 21. 实验中学八年级数学社团随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是．将调查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）该调查的样本容量为______，______，______，“常常”对应扇形的圆心角的度数为______； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有3200名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名？ 【答案】（1）200，12，， （2）66 （3）名 【解析】 【分析】（1）根据“有时”的人数是38，比例是可以得到样本容量，再由条形图中得到的人数即可得到和的值，根据扇形统计图中“常常”的比例即可算出圆心角的度数； （2）由（1）中知道样本容量，减去已知的量，即可得到“常常”的人数，补全条形图即可； （3）由上可算出由样本得到的比例，再由样本估计总体即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵“有时”的人数为38人，占样本人数的， ∴样本容量为（人） ∵“很少”的人数为24人， ∴， ∴， ∵“总是”的人数是72人， ∴， ∴， ∵“常常”的比例是， ∴对应的圆心角为， 故答案为：200，，，； 【小问2详解】 解：由（1）可知样本的容量是200， ∴（人）， 故“常常”的人数是66人，条形图如下： 【小问3详解】 解：(名) ∴估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有2208名． 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，涉及样本容量的计算，百分比的计算，扇形圆心角的计算以及用样本估算总体等知识点，解决此题的关键是正确的计算． 22. 如图，正方形的边长为，正方形的边长为． （1）请用含的代数式，表示图中阴影部分的面积； （2）已知，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据列式计算即可； （）利用完全平方公式对（）的结果进行变形，再把已知代入计算即可； 本题考查了列代数式，完全平方公式的变形求值，代数式求值，正确识图是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 23. 如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D． （1）求证：AB＝FE； （2）若ED⊥AC，ABCE，求∠A的度数． 【答案】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）120° 【解析】 【分析】（1）根据“AAS”证明，即可证明； （2）根据得到，进而证明，利用直角三角形性质得到，即可求出，，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，理解题意证明，进而根据平行线的性质和全等三角形性质得到是解题关键， 24. 观察下列等式： ；；；；… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则： 十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21． 例如，计算，因为，，所以． （1）利用以上规律直接写出结果：______； （2）设两个因数的十位数字为a，用含a的代数式表示上述速算法则：__________________； （3）善于思考的小聪通过计算 … 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为a，个位数字分别为m，n，且，请用含a、m、n的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 【答案】（1）7221 （2）；； （3）；理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法中的相关数学规律，数字规律探究，用代数式表示数字规律，解题的关键在于理解题意，熟练掌握整式乘法运算法则． （1）根据题意直接写出答案即可； （2）根据观察规律可得，即可求解； （3）利用代数式表示两个乘数，根据整式的运算计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 故答案为：7221； 【小问2详解】 解：由题意可知： … ∴， 故答案为：；；； 【小问3详解】 解：，理由如下： 两个因数分别表示为：，， 则 ， ∵， ∴ ． 25. 如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． （1）请直接写出线段之间的数量关系； （2）证明（1）中的结论； （3）如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 【答案】（1） （2） 证明：如图，延长到H，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 解：不成立，，理由如下： 如图，在上截取， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由题目条件结合半角问题，可得到猜想：； （2）延长到H，使，连接，先证明，得，；再证明，得，从而可证明结论； （3）在上截取，证明，得，，再证明，得，即． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年学情诊断 八年级数学试题 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天会有太阳 B. 买一张电影票，座位号是偶数号 C. 小丽到达公交车站台时，108路公交车正在驶来 D. 一只袋子中装有3个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球 5. 已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（ ） A. 10 B. 6 C. 12 D. 9 8. 如图，在四边形中，，是上一点，连接并延长至点，连接，是上的一点，连接．若，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 12. 如图，已知，要使，只需添加一个条件：______（写一个即可）． 13. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是______度． 14. 已知，，则的值为______． 15. 如图，点F为线段上一点，且，，平分，已知，则______． 16. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式 ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；．．．．．． 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： （1）根据上面的规律，直接写出的展开式：______ （2）计算______ 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，，平分， （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交，于点O，点E；（保留清晰作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）所作的图形中，完成下面证明的过程． 证明：在中， ∴ ∵平分，平分 ∴ ① ② 在与中， ∴， ∴ 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，的平分线交的平分线于点，交于点，若． （1）求证：． （2）若，求的度数． 21. 实验中学八年级数学社团随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是．将调查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）该调查的样本容量为______，______，______，“常常”对应扇形的圆心角的度数为______； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有3200名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名？ 22. 如图，正方形的边长为，正方形的边长为． （1）请用含的代数式，表示图中阴影部分的面积； （2）已知，，求图中阴影部分的面积． 23. 如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D． （1）求证：AB＝FE； （2）若ED⊥AC，ABCE，求∠A的度数． 24. 观察下列等式： ；；；；… 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则： 十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21． 例如，计算，因为，，所以． （1）利用以上规律直接写出结果：______； （2）设两个因数的十位数字为a，用含a的代数式表示上述速算法则：__________________； （3）善于思考的小聪通过计算 … 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为a，个位数字分别为m，n，且，请用含a、m、n的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 25. 如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． （1）请直接写出线段之间的数量关系； （2）证明（1）中的结论； （3）如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $