精品解析：四川省宣汉中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

宣汉中学2025-2026学年度高2023级高三上学期数学入学考试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算新定义化简不等式得一元二次不等式，解之即得. 【详解】因， 则， 即得，解得. 故选：B. 3. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项. 【详解】由三点共线，从而得到， 因为， 解得，即， 所以，故选B. 【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 4. 按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，两式相比结合对数式与指数式的互化及换底公式即可得出答案. 【详解】解：根据题意可得，， 两式相比得，即， 所以. 故选：B. 5. 在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】三角形重心为，所以，计算出和，得到在上的投影，根据勾股定理计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，， 三角形重心为，所以，，， 所以在上的投影为：， 所以点到直线的距离为：. 故选：B 6. 若抛物线的准线为直线，且交圆于两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将准线方程写出，于圆的方程联立即可求出两点，进而求出结果. 【详解】抛物线的准线为直线，与圆联立得， 不妨设，则, 故故， 故选：B 7. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则， ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题． 8. 已知函数在上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因在上单调递增， 则对任意的，成立，设，则， 由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，，，则有唯一解 C. 若是锐角三角形，，，设的面积为S，则 D. 若是锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理可判断； 由正弦定理可判断； 利用边化角结合面积公式可得，求的范围，结合正弦函数的性质可得的范围，即可判断； 由锐角三角形可得及，利用在上的单调性结合诱导公式可判断. 【详解】， ， ， 为锐角，但不能确定角是否为锐角， 故不一定是锐角三角形，故错误； 由正弦定理得， ， ， 有唯一解，故正确； ， ，， ， 又，解得， ，， ， ， ，即，故正确； 是锐角三角形，， 又， ，， 又在上单调递增， ，， ，故正确； 故选：. 10. 已知复数，则以下说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 的共轭复数 C. D. 在复平面内与对应的点在第二象限 【答案】CD 【解析】 【分析】 利用复数的乘除运算可得，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断D. 【详解】， ∴复数的虚部为，的共轭复数， 复平面内与对应的点的坐标为，在第二象限. 故选：CD. 【点睛】本题考查了复数的基本知识，需掌握复数的概念、共轭复数的概念、复数的模以及复数的几何意义，属于基础题. 11. 在直三棱柱中，，，E、F分别是、的中点，D在线段上，则下面说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 直线EF与平面ABC所成角的正弦值为 C. 若D是的中点，若M是的中点，则F到平面BDM的距离是 D. 直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量的数量积等于零可判断A；求得直线与平面的法向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值可判断B；利用向量法求得到平面的距离可判断C；利用异面直线所成角的空间向量求法求得的长可判断D. 【详解】因为直三棱柱中，，所以两两互相垂直， 于是以点为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，分别是的中点，在线段上， 所以， 对于A：因为在直三棱柱中，平面， 又，平面，所以，又，所以， 又，平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量，又， 则， 又平面，平面，故A正确； 对于B：为平面的一个法向量，又， 设直线与平面所成角为， 则，故B正确； 对于C：若是的中点，若M是的中点，则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为，又， 所以到平面的距离是，故C错误； 对于D：设， 则， 设直线与直线所成角为，又， 则， 当，即时，取最大值，此时直线与直线所成角最小， ，，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：求线线角，线面角，面面角的最大值与最小值，关键是用变量把动点的坐标或向量表示出来，进而用变量去表示这些角的余弦与正弦值，从而求得取最值时的变量值，进而解决有关问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可． 【详解】解：因为定义在的奇函数在单调递减，且， 所以在上单调递减，且，如下图为的大致图象： 所以当或时，；当或时，， 由得或，解得或， 所以的取值范围是． 故答案为：. 13. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由解析式可得，求解即可. 【详解】由题意可得,故，即. 故函数的定义域为. 故答案为:. 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由有两个极值点可得有两个不同的实数根，令，用导数研究的图像即可求解 【详解】由题意，有两根，且两根的两边导函数值异号， 又，令，则有两个不同的实数根， 令，则， 令有，故当时，，单调递减；当时，，单调递增. 且当时，当时，且，， 故作出图象. 可得当有两根时 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系求的值，进而可得的值； （2）利用诱导公式化简，再化弦为切，将的值代入即可求解. 【小问1详解】 因为，且，所以， 所以， 【小问2详解】 ． 16. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明：. 【答案】（1） （2） 解：设点、，联立可得， ，解得，显然，否则直线过点， 由韦达定理可得，， 所以， ， 因此， 【解析】 【分析】（1）分析可得，可得出，则椭圆的方程可表示为，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可证得结论成立. 【小问1详解】 解：因为椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点， 则这个直角三角形为等腰直角三角形，腰长为，斜边长为，则，可得， 所以，，所以，椭圆的方程可表示为， 将点的坐标代入椭圆的方程可得，解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 17. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 18. 设函数，，，，为的导函数． （1）若，，求的值； （2）若，，且和的零点均在集合中，求的极小值； （3）若，，，且的极大值为，求证：． 【答案】（1） （2） （3）因为，，所以， ． 因为，所以， 则有个不同的零点，设为，． 由，得，． 列表如下： 极大值 极小值 所以的极大值． 解法一： ．因此． 解法二： 因为，所以． 当时，． 令，，则． 令，得．列表如下： 极大值 所以当时，取得极大值，且是最大值，故． 所以当时，，因此． 【解析】 【分析】（1）由题意得到关于的方程，解方程即可确定的值； （2）由题意首先确定，，的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值. （3）由题意首先确定函数的极大值的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值， 【小问1详解】 因为，所以． 因为，所以，解得； 【小问2详解】 因为， 所以， 从而．令，得或． 因为，，，都在集合中，且，， 所以，，． 此时，． 令，得或．列表如下： 极大值 极小值 所以的极小值为． 【小问3详解】 略 19. 现有4个除颜色外完全一样的小球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中（允许有空盒）． （1）记盒子乙中的小球个数为随机变量，求的数学期望； （2）对于两个不互相独立的事件，若，称为事件的相关系数． ①若，求证：； ②若事件盒子乙不空，事件至少有两个盒子不空，求． 【答案】（1） （2） ①因为，且， 所以，即，而, 所以成立. ② 【解析】 【分析】（1）每个小球的选择都是一次独立重复试验，而每个小球选择盒子乙的概率为，所以可知随机变量服从二项分布； （2）①由条件概率的公式很容易证明；②主要是根据题意，确定是平均分组还是非平均分组，进而根据排列组合的公式即可得到相关事件的概率；由于某些分组情况比较复杂，因此考虑其对立事件，会减少计算量. 【小问1详解】 由题意可知，的可能的取值为0,1,2,3,4，且，故； 【小问2详解】 ①略 ②事件：盒子乙不空，则事件：盒子乙空， 由第1问可知，所以， 事件：至少有两个盒子不空，则事件：有一个盒子不空， ，所以 事件：至少有两个盒子不空且盒子乙不空，分为两种情况，一种是三个盒子都不空，按照1、1、2分组；另一种是两个盒子不空且乙不空，此时甲或者丙是空的，故按照1、3或者2、2分组即可， 故, 所以， 化简得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣汉中学2025-2026学年度高2023级高三上学期数学入学考试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 2 5. 在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若抛物线的准线为直线，且交圆于两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 7. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 8. 已知函数在上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，，，则有唯一解 C. 若是锐角三角形，，，设的面积为S，则 D. 若是锐角三角形，则 10. 已知复数，则以下说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 的共轭复数 C. D. 在复平面内与对应的点在第二象限 11. 在直三棱柱中，，，E、F分别是、的中点，D在线段上，则下面说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 直线EF与平面ABC所成角的正弦值为 C. 若D是的中点，若M是的中点，则F到平面BDM的距离是 D. 直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是_____． 13. 函数的定义域为__________. 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明：. 17. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 设函数，，，，为的导函数． （1）若，，求的值； （2）若，，且和的零点均在集合中，求的极小值； （3）若，，，且的极大值为，求证：． 19. 现有4个除颜色外完全一样的小球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中（允许有空盒）． （1）记盒子乙中的小球个数为随机变量，求的数学期望； （2）对于两个不互相独立的事件，若，称为事件的相关系数． ①若，求证：； ②若事件盒子乙不空，事件至少有两个盒子不空，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $