精品解析：四川省广安市前锋区2026届高三上学期9月高考模拟月考暨开学考试数学试题

前锋区高2026届高考模拟月考试题（三） 九月数学 （暨前锋区高2026届2025年秋季学期开学考试） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 下列集合中表示同一集合的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义及集合中元素的特性分别判断. 【详解】A选项：与不是同一个点，A选项错误； B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误； C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确； D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误； 故选：C. 2. 已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法及乘法运算可求复数，再利用复数的基本概念及几何性质可求. 【详解】，故，在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 134.75 B. 144.75 C. 154.75 D. 159.50 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解. 【详解】六位选手得分由小到大排列如下： 119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50， 因为， 所以该组数据的第40百分位数为第三个数154.75. 故选：C 4. 已知定点，（），动点满足（），则动点的轨迹是（ ） A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一支 C. 抛物线的一部分 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜率两点式求动点的轨迹方程，结合圆锥曲线的定义即可判断轨迹图形. 【详解】设，因为（）， 所以，即（）， 因为，则， 所以动点的轨迹是椭圆的一部分. 故选：A 5. 已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的定义计算基本量即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为d，由，，有，可得． 故选：B． 6. 若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积来计算投影向量即可. 【详解】因为，，由可得：， 以向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 7. 已知函数，若关于x的方程有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用一元二次方程解得或，再结合分段函数图象应用7个不相等的实数根得出不等式计算即可求解. 【详解】由可得， 故或，画出函数的图象，如图所示， 要使方程共有7个不相等的实数根， 因为与有3个交点，所以与有4个交点, 所以，即． 故选：D． 8. 已知函数数列满足：，且是单调递增函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数递增、一次函数递增，以及数列的增减性列不等式组求解即可. 【详解】因为 且是单调递增数列， 所以根据指数函数的单调性可得， 根据一次函数的单调性可得， 由分段函数的单调性结合数列的单调性可得， ，综合三种情况解得. 故选C. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与单调性，以及数列的增减性，属于难题. 分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列判断正确的是( ) A. 展开式共有8项 B. 展开式的各二项式系数的和为128 C. 展开式的第7项的二项式系数为49 D. 展开式的各项系数的和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可． 【详解】展开式共有项，故A正确． 展开式的各二项式系数的和为，故B正确． 展开式的第7项的二项式系数为，故C错误． 展开式的各项系数的和为，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据正弦型函数的周期公式求得，即可得到，再根据诱导公式化简判断B；根据正弦函数的性质求解判断CD. 【详解】由题意，，则，即，故A正确； 而，故B正确； 当时，， 因为函数在上先增后减， 则在上先增后减，故C错误； 由， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 11. 已知非常数函数是定义在上的偶函数，且，则（　　） A. B. 2是的一个周期 C. 当且仅当时， D. 不存在最小正周期 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由，令结合是偶函数可求解；B选项，由已知条件可得的图象关于直线对称且为偶函数，可求周期；C选项，举特例说明；D选项，证明是的一个周期时，也是的一个周期. 【详解】由，令，得， 又是定义在上的偶函数，则，A选项正确； 由，令，有， 由，令，有， 又是定义在上的偶函数，， 则有， 所以函数的图象关于直线对称，有， 又是定义在上的偶函数，则， 故，所以2是的一个周期，B选项正确； 由，令，得，故C选项错误； 若是的一个周期，则， 所以， 则也是的一个周期， 结合B选项可知，都是的周期，所以不存在最小正周期， D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩，如果规定大于或等于85分为等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为等的概率是______.（若，则，，. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解． 【详解】因为，所以， 所以在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为等的概率是． 故答案为：． 13. 端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日．从形状来分，端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体，如图所示．设棱的长为，其余的棱长均为，则该四角粽的表面积为________，内含食物的体积为________．（粽叶的厚度忽略不计） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据棱锥的表面积公式和体积公式，结合线面垂直的判定定理、三角形的余弦定理，面积公式求解. 【详解】, 所以为锐角，所以， 该四角粽的表面积 ， 取中点为，连接， 则, 所以,即， 且，平面， 所以平面， 内含食物的体积为. 故答案为：；. 14. 已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】记的右焦点为，连接,利用双曲线的性质求出的三边，代入余弦定理构造齐次式解出离心率即可. 【详解】记的右焦点为，连接, 因为线段的中点为为的中点，所以， 又因为是双曲线上一点，，所以， 由直线的斜率为，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），即的离心率为， 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在直角梯形中，，，，点是的中点．将沿折起，使，连接、、，得到三棱锥． （1）求证：平面平面； （2）若，二面角的余弦值为，求二面角的正弦值． 【答案】 （1）在直角梯形中，，，则， 在三棱锥中，，，，所以平面， 平面，所以， 因为，，所以平面， 平面，所以平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）推导出平面，可得出，结合以及线面垂直的判定定理得出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面平面； （2）由（1）可知平面，可得二面角的平面角为，由，可求得，进而可求得的长，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法以及同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知平面，、平面，，， 所以二面角的平面角即为． 由（1）可知，平面，平面，， 在中，， ，故，， 在直角梯形中，设，则， 在三棱锥中，，， 易知，得到，即，解得， 所以，， 以、所在直线为、轴，过点作平面的垂线，以其为轴，建立空间直角坐标系， 易得、、、， 平面的一个法向量为，设平面的一个法向量， ，， 由，得，得， 令，则，所以， ，， 因此，二面角的正弦值为． 【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求二面角，以及利用二面角的定义取线段长度，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 16. 随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝､微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 使用扫码支付的人次y(单位：万人) 5 12 16 19 21 （1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式：，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设，利用与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次； （2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品. （i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望； （ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？ 附：最小二乘法估计公式：经过点的回归直线为相关数据：(其中. 【答案】（1）回归方程为，2021年该商场使用移动支付的有23万人次；（2）（i）分布列答案见解析，数学期望：(元)；（ii）小张选择方案二付款优惠力度更大. 【解析】 【分析】（1）先求出，再选择数据代入求出，由求出，再将替换成即可求出y与x之间的回归方程，将2021年年份代号为6代入即可求解对应人次； （2）（i）由题设付款金额为X元，则可能的取值为140，160，200，结合超几何分布求出对应概率，列出分布列求出期望即可； （ii）结合离散型随机变量公式求出方案二对应的付款期望值，与方案一比较即可 【详解】（1）计算知14.6， 所以=10， ， 所以所求的回归方程为， 当时，(万人次)， 估计2021年该商场使用移动支付的有23万人次； （2）（i）若选择方案一，设付款金额为X元，则可能的取值为140，160，200， ， ， 故X的分布列为 140 160 200 所以(元)； （ii）若选择方案二，记需支付的金额为Y元， 则Y的可能取值为160，180，190， 则其对应的概率分别为， 所以， 由（1）知， 故从概率角度看，小张选择方案二付款优惠力度更大. 17. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式和两角和的正弦公式化简得，再利用辅助角公式求角即可； （2）由是中点可得，两边平方结合数量积公式和运算律可得，再利用均值不等式求出的最大值，代入三角形的面积公式即可. 【小问1详解】 在中，， 代入整理得， 又因为，，所以， 所以，解得， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 因为是中点，所以， 两边平方得， 所以，即， 又由均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 18. 已知函数，若在处取得极值-6. （1）求的值； （2）若都为整数，当时关于的方程有两个不同的解，求实数的范围. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据极值和极值点求出的值，将它们的值代入解析式和导函数中验证是否符合题意即可. （2）将方程有两个不同的解问题转化为函数与直线有两个不同交点的问题，结合的单调性可求得的范围. 【小问1详解】 对函数求导得：. 因为在处取得极值-6，所以①， ，化简得：②. 联立①②得：，解得或者. 当时，，， 令得或，令得， 那么在上单调递减，在上单调递增， 此时在处取得极值，符合题意； 当时，，， 令得或，令得， 那么在上单调递减，在上单调递增， 此时在处取得极值，符合题意； 所以的值为或. 【小问2详解】 因为都为整数，所以，此时函数解析式为. 那么方程有两个不同的解的问题转化为函数与直线有两个不同的交点问题. 由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增. 而，所以么在上单调递减，在上单调递增， 其图象如下： 此时的极小值为，而，，. 结合单调性可求得的取值范围为. 19. 已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. （1）求E的方程； （2）设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题设并利用两点距离公式列方程求轨迹方程； （2）（i）由题意有，设直线，联立抛物线并结合相切关系求得，进而有，即可求K坐标，即可证； （ii）由题意得，联立与抛物线，应用韦达定理最值即可. 【小问1详解】 设，显然，由题设， 所以，即为动点P的轨迹方程； 【小问2详解】 由题意，可设直线，则， （i）设直线，联立，得， 因为与抛物线相切，所以，则， 所以，令，得， 而，所以，故点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）由题意， 又，当且仅当时等号成立， 联立，得，显然， 所以，，则，， 所以， 综上，，即目标式最大值为，当且仅当时成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前锋区高2026届高考模拟月考试题（三） 九月数学 （暨前锋区高2026届2025年秋季学期开学考试） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 下列集合中表示同一集合的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分如下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 134.75 B. 144.75 C. 154.75 D. 159.50 4. 已知定点，（），动点满足（），则动点的轨迹是（ ） A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一支 C. 抛物线的一部分 D. 直线 5. 已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若关于x的方程有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数数列满足：，且是单调递增函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列判断正确的是( ) A. 展开式共有8项 B. 展开式的各二项式系数的和为128 C. 展开式的第7项的二项式系数为49 D. 展开式的各项系数的和为 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称 11. 已知非常数函数是定义在上的偶函数，且，则（　　） A. B. 2是的一个周期 C. 当且仅当时， D. 不存在最小正周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩，如果规定大于或等于85分为等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为等的概率是______.（若，则，，. 13. 端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日．从形状来分，端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体，如图所示．设棱的长为，其余的棱长均为，则该四角粽的表面积为________，内含食物的体积为________．（粽叶的厚度忽略不计） 14. 已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在直角梯形中，，，，点是的中点．将沿折起，使，连接、、，得到三棱锥． （1）求证：平面平面； （2）若，二面角的余弦值为，求二面角的正弦值． 16. 随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝､微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 使用扫码支付的人次y(单位：万人) 5 12 16 19 21 （1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式：，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设，利用与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次； （2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品. （i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望； （ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？ 附：最小二乘法估计公式：经过点的回归直线为相关数据：(其中. 17. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值． 18. 已知函数，若在处取得极值-6. （1）求的值； （2）若都为整数，当时关于的方程有两个不同的解，求实数的范围. 19. 已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. （1）求E的方程； （2）设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $