21.2.1 配方法 预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

 

2025-2026学年数学九年级上册人教版 第二十一章 一元二次方程

21.2.1 配方法（预习讲义）

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学习目标

1. 了解配方法的概念。
2. 理解并掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤。
3. 能运用配方法解简单的（二次项系数为1的）一元二次方程。
4. 在配方的过程中，体会转化的数学思想。

易错点提醒

1. 完全平方公式回顾：

(1)                    

(2)                     其结构特征是：等式左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍（可正可负）。

2. 配方： 把一个二次三项式（如 ）通过加上一个适当的常数，使它成为一个完全平方式，这种变形叫做配方。
3. 配方法： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

重点知识讲解

一、 回顾完全平方公式的结构

对于代数式 ，我们希望把它配成一个完全平方式。对比完全平方公式 ，这里 ，所以 ；，即 ，可以解得 。那么 。因此，。 也就是说，要将 配成完全平方式，

需要加上的常数项是一次项系数 的一半的平方，即 。

二、 配方的关键步骤

对于二次项系数为1的二次三项式 ：

1. 取一次项系数 的一半，得到 。
2. 将这个一半进行平方，得到 。
3. 在 后面加上 ，就配成了完全平方式：。

注意： 如果是在方程中进行配方，为了保持方程两边相等，在方程的一边加上了 ，那么方程的另一边也必须加上 。

三、 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤

我们以方程 为例，说明用配方法解方程的步骤：

1. 移项： 把常数项移到方程的右边。
2. 配方： 方程两边都加上一次项系数一半的平方。 一次项系数是6，一半是3，平方是9。方程两边同时加9：
3. 变形： 方程左边化为完全平方形式，右边合并同类项。 左边： 右边： 所以方程变为：
4. 开平方： 如果方程右边是非负数，就可以利用直接开平方法求出方程的解。 即
5. 求解： 解一元一次方程，得到原方程的解。 当 时， 当 时， 所以，原方程的解为 ，

总结步骤口诀： 一移常数项，二配常数（一次项系数一半的平方），三化完全平，四开平方，五求方程解。

知识点总结

1. 配方法的核心思想： 将一元二次方程通过配方转化为 （其中 ）的形式，然后利用直接开平方法求解。这种思想叫做“转化思想”。
2. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 的一般步骤：
   • 移项：
   • 配方：，即
   • 开平方：若 ，则
   • 求解：
3. 注意事项：
   • 配方时，等式两边必须同时加上一次项系数一半的平方，以保持等式成立。
   • 只有当方程右边是非负数时，才能直接开平方求解。

巩固练习

 

一、选择题

1．已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为（　　）

A．10 B．10或8 C．9 D．8

2．方程的解为（　　）

A．， B．，

C．， D．，

3．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，是一个简单的数值运算程序．则输入的值为（        ）

A．或 B．或 C．或 D．27

5．一元二次方程 配方后可化为（　　）  

A． B． C． D．

二、填空题