第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版选修第一册）

高二上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：高中选修第一册前两章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 3．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 5．（24-25高二上·四川成都·期中）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为2，弦平行于轴，将劣弧沿弦折叠，恰好经过原点，折叠后的图形如图所示．若直线与这两段弧有4个交点，则的可能取值为（    ）    A． B． C． D．1 8．（22-23高二上·河北廊坊·阶段练习）已知点，圆，若在圆上存在唯一的点使得，则可以为（    ） A． B．68 C．2或或或 D．或或54 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（24-25高二上·湖南永州·期中）著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（   ） A．的图象是轴对称图形 B．的值域是 C．先减小后增大 D．方程有三个解 10．（22-23高二上·吉林长春·期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 第II卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的取值范围是 . 13．（22-23高三上·浙江·开学考试）已知过P的直线与圆C：交于A，B两点，（A点在轴上方），若，则直线到与其斜率相同的圆的切线距离是 ， . 14．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知圆M：和点，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为 . 四、解答题（5小题，共77分） 15．（24-25高二上·上海·课后作业）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，求实数t的所有可能的值． 16．（2023高三·全国·专题练习）设，是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为．对于平面xOy上给定的不同的两点，． (1)若点是平面xOy上的点，试证明：． (2)在平面xOy上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明． 17．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 18．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知圆O的方程为． (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，．为圆上任意一点，（为常数）， ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围． 附：可能用到的不等关系参考：（1）若，，，则； （2）若，且，则有． 19．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）已知圆经过三点． (1)求圆的方程． (2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：高中选修第一册前两章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出的倾斜角及斜率，代入斜截式方程即可得解. 【详解】直线即， 则直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即， 则直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即直线的方程是． 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于光线经过的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图直角坐标系， 可得，故直线BC的方程为， 则的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过重心，代入得， 化简得或（舍去），故，所以. 故选：D 5．（24-25高二上·四川成都·期中）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出直线与直线过定点坐标，再可判断直线与直线垂直，即可得到点的轨迹是以为直径的圆，求出轨迹方程，求出以点为圆心，为半径的圆恒过点，即，最后由计算可得. 【详解】直线，即， 令，解得，即直线过定点； 直线，即， 令，解得，即直线过定点； 又，即直线与直线垂直， 所以点的轨迹是以为直径的圆，（挖去点） 故圆心是，半径为，点的方程是（挖去点）； 设，则以点为圆心，为半径的圆的方程为， 因为，则， 所以恒成立， 所以以点为圆心，为半径的圆恒过点， 所以， 所以， 当且仅当在线段与圆的交点时取等号， 即的最小值为. 故选：A 6．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得，由此即可得解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 则， 当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号， 所以的最小值为.    故选：C. 【点睛】结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是. 7．（24-25高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为2，弦平行于轴，将劣弧沿弦折叠，恰好经过原点，折叠后的图形如图所示．若直线与这两段弧有4个交点，则的可能取值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用对称性求出两点的坐标，再利用直线和圆的位置关系求出临界位置处的取值即可得出对应的取值范围，结合选项求出结果. 【详解】    又因为圆的半径为2，所以可得，， 当直线过时，将代入中，得． 由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上， 不妨将此圆心设为，连接，则， 所以，解得， 故弧对应的圆的方程为， 当直线与弧相切时，有，所以（已舍去）， 结合上图可知当时，直线与两段弧有4个交点． 又因为，观察选项知，只有B选项符合， 故选：B 8．（22-23高二上·河北廊坊·阶段练习）已知点，圆，若在圆上存在唯一的点使得，则可以为（    ） A． B．68 C．2或或或 D．或或54 【答案】C 【分析】若在圆上存在唯一的点使得，存在几种情况： （1）圆内切于以为直径的圆；（2）以为直径的圆内切于圆时；（3）当点A在圆上；（4）点在圆上，每种情况分别求出的值即可. 【详解】将圆化为标准方程， 圆心，半径 若在圆上存在唯一的点使得， 当以为直径的圆和圆相切时， 以为直径的圆的圆心，半径为， 两圆的圆心距， ①当圆内切于圆时， 圆的半径，解得， ②当圆内切于圆时， 圆的半径，解得， 当以为直径的圆和圆相交时， ①当点A在圆上时，将代入中， 解得：. ②当点在圆上时，将代入中， 解得. 综上可得或或或， 故选：C. 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（24-25高二上·湖南永州·期中）著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（   ） A．的图象是轴对称图形 B．的值域是 C．先减小后增大 D．方程有三个解 【答案】ACD 【分析】由题得，设，，，则，作出图形，由点在轴的移动得出的性质，从而判断各选项． 【详解】由已知， 设，，，则，如图， 由图形可得点关于对称时，的值相等，因此的图象是轴对称图形，它关于直线对称，A正确； 显然轴，当时，，即， 又，而不可能共线，即， 所以，B错； 设在轴上，且在右侧，在点右侧，与交于点，则，， ∴， ∴，在轴上点的右侧，， ∴，即 这说明点从向右移动时，递增，同理在轴从左侧向点移动时，减小，C正确； ，， 设，则的解是和， 有一个解，而有两个解，因此有三个解，D对． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：解题关键是数与形的结合，题中函数转化为轴上点到两定点距离差的绝对值，然后通过点的移动确定函数的性质，使得较为复杂的函数问题得到解决. 10．（22-23高二上·吉林长春·期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】BCD 【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断. 【详解】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为， 可知， 对于选项A： 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A错误；    对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确；    对于选项C：因为， 设到直线：的距离为， 可得， 所以的最小值为，故C正确；    对于选项D：作，垂足为， 因为直线的斜率，则，可得， 则， 可得， 所以的最小值为4，故D正确；    故选：BCD. 11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 【答案】BC 【分析】利用点线对称与光线镜面反射的虚像原理作出图像，数形结合，可一一得到答案. 【详解】由于该射线平行于地面，根据题意可视为射线在平面四边形内部发生反射， 对于A，当时，发出射线使其反射点在靠近端的四等分点，反射后再正好被感应器捕捉， 所以，则，故A错误； 对于B，当时，第一次反射在边上，所以不可能只反射一次就被感应器捕捉； 如图1，假设反射两次后被感应器捕捉，则第二次反射一定在边上， 将平面依次向右、向上翻折一次，到达， 观察线段，要求此线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 设直线，所以:，令得， 所以线段不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 即不可能经过两次反射后被感应器捕捉； 如图2，计算得：时可以反射三次后被感应器捕捉（线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部）， 故B正确； 对于C，如图3，依次将平面向上、向右翻折，连接，观察线段，其经过点， 所以与直线的交点在线段上， 故线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 意味着射线将依次经过、反射后被感应器捕捉，反射了两次，故C正确； 对于D，如图4，同翻折，同理分析，观察线段，交点恰好在转折点处， 所以线段一定不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部，故D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由曲线方程，结合根式的性质求x的范围，进而判断曲线的形状并画出草图，再由圆的性质、数形结合法判断的最值，即可得其范围. 【详解】由，得. 由，所以或. 当时，； 当时，. 所以表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分. 当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，为6； 当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，为. 故的取值范围是. 故答案为：. 13．（22-23高三上·浙江·开学考试）已知过P的直线与圆C：交于A，B两点，（A点在轴上方），若，则直线到与其斜率相同的圆的切线距离是 ， . 【答案】 【分析】设出直线的方程，联立直线与圆的方程，由求解直线方程，根据圆心与切线关系判断直线与切线距离. 【详解】因为，所以点在圆C内，即P点在弦AB上， 因为P点在x轴上，A点在轴上方，所以B点在轴下方，则可作出图像如下图所示. 则直线AB必不可能与y轴垂直，可设方程为， 则，整理得， 由直线AB与圆C由两个不同交点可得，该方程有两个不相等的实数根， 设，由题意知， 则，， 因为，所以，即， 则，即，由可得， 所以，整理得， 解得，根据可得， 则直线AB方程为，一般式为， 则圆心到直线AB距离为， 因为圆心到与直线AB斜率相同的圆的切线距离是半径2， 所以直线到与其斜率相同的圆的两条切线距离分别是和. 故答案为：；. 14．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知圆M：和点，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则三角形PAB外接圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可知点在圆外，可求出切点弦方程，再利两圆公共弦方程设出的外接圆方程，从而可求解. 【详解】由题意得，所以点在圆外， 由圆外一点引圆的两条切线，切点弦方程知识可得， 即直线：， 的外接圆与圆的交线为，则可得外接圆方程为： ， 将代入，得，解得， 即外接圆方程为，即. 故答案为：. 四、解答题（5小题，共77分） 15．（24-25高二上·上海·课后作业）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，求实数t的所有可能的值． 【答案】，，． 【分析】化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得， 整理，得， 看成有且仅有三条直线满足，和）到直线：（不过原点）的距离相等．由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和； （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点到的距离为． （1）作为增根被舍去的直线，过原点和、的中点，其方程为，此时，，符合； （2）作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合． 综上，满足题意的实数为，，． 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于化简得到，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等，这是本题的解题关键. 16．（2023高三·全国·专题练习）设，是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为．对于平面xOy上给定的不同的两点，． (1)若点是平面xOy上的点，试证明：． (2)在平面xOy上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）证明 ． 所以． （2）先考虑相异两点A，B的特殊情况，当A，B两点横坐标或者纵坐标相同时，AB即是平行于y轴或者x轴的直线段，符合条件的C点即为AB的中点（这属于折线的特殊情况——直线）．当A，B两点的横、纵坐标各异，即，时，不妨设，下面讨论，两种情况． 假设，则由条件①可得， 故，，即，． 又由条件②，即， 去掉绝对值符号可得， 即，也即． 同理，假设，当，时， 可得． 【反思】取点使，，验知此时点同时满足条件（ⅰ）、（ⅱ），则存在点C满足题意，且所有符合条件的点C是线段AB的中点． 17．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为， 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【详解】（1）由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. （2）如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； （3）如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 18．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知圆O的方程为． (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，．为圆上任意一点，（为常数）， ①求常数的值； ②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围． 附：可能用到的不等关系参考：（1）若，，，则； （2）若，且，则有． 【答案】(1)或 (2)①；②． 【分析】（1）根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. （2）①设点，根据列方程，化简后通过对比系数求得. ②设，求得，代入圆的方程，转化为直线与圆的位置关系来列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为． 过点的圆O的切线方程为或．    （2）①设点，则， ， ，，， 又，化简得， P为圆O上任意一点，， 又，，解得， 常数． ②由①知，，，点，圆， 设，M是线段的中点，， 又，在圆上，即关于的方程组有解， 化简得有解， 即直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离， 化简得：， 解得．    【点睛】方法点睛：求解圆的切线方程，首先要判断题目所给点是在圆上还是在圆外，如果所给点在圆上，则切线方程只有一条，如果所给点在圆外，则切线方程有两条.解题过程中要画出图象，通过观察图象分析切线的斜率是否存在. 19．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）已知圆经过三点． (1)求圆的方程． (2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线经过定点，该定点的坐标为 【分析】（1）设出圆的一般方程，代入的坐标，由此求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. 【详解】（1）设圆W的方程为， 则，解得 则圆W的方程为． （2）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以， 故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．        【点睛】求圆的方程的方法有两种思路，一种思路是根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；另一种思路是设圆的一般方程，然后根据已知条件求得，从而求得圆的一般方程. 学科网（北京）股份有限公司 $