精品解析：重庆市六校联考2025-2026学年九年级上学期入学学情诊断调查数学试题（北师大版）

2025年学情诊断 九年级 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义．逐一分析各选项是否符合条件即可． 【详解】解：A选项：右边出现分式，不符合因式分解要求； B选项：展开右边得，与左边不相等，等式不成立； C选项：右边为，是加法形式而非整式乘积，不符合因式分解定义； D选项：左边提取公因式，得到，为整式的乘积形式，符合因式分解定义； 故选：D． 3. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A. 2，4，6 B. C. 2，， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，∴不能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，∴不能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，∴能构成直角三角形，符合题意， 故选：D． 4. 如图，在中，对角线相交于点O，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，三角形中位线定理解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：中，对角线相交于点O，E是的中点， 故， 故是的中位线， 故， 又， 故， 故选：D． 5. 如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再通过三角形内角和与外角的关系求解． 【详解】解：连接 ∵ 边，的垂直平分线交于点 ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 6. 一个多边形的每个内角都是，则其内角和为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形外角和为以及内角和公式是解题的关键．先根据内角求出外角的度数，再由外角和求出边数，最后根据内角和公式计算内角和． 【详解】解：因为多边形的每个内角都是， 所以每个外角是． 边数． 内角和为． 故选：A． 7. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转可得，，即得，再根据平行线的性质得到，最后根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：由旋转可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程： ① ，② ．其中x表示的意义是（　　） A. 均为篮球的数量 B. 均为篮球的单价 C. 方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D. 方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得x表示篮球的数量时，单价分别表示为，根据单价相同建立方程；x表示篮球的单价，分别表示出篮球的数量为，建立方程即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程是解题的关键． 【详解】解：设购买x个篮球，单价分别表示为，根据单价相同建立方程； 设篮球的单价为x，分别表示出篮球的数量为，建立方程． 故选：C． 9. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 10. 如图，的对角线交于点O，点是的中点，且，， 连接．给出下列4个结论：①是等边三角形；②；③； ④若，则． 上述结论错误的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】运用平行四边形的性质可得 再证明，从而可得是等边三角形，故可判断①正确；由是等边三角形可得，，从而可求出，故可判断②正确；证明得出为的中点，又为的中点，故为的中位线，故可得，由可得出，故可判断③正确；由①②可判断，根据勾股定理求出，进一步求出，由中线的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形，故结论①正确； ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴，故结论②正确； ∵， ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵为的边上的中线， ∴, ∵为的边的中线， ∴，故结论④错误； 综上，错误的结论有④，共1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，中位线定理等知识，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 12. 要使分式无意义，应满足的条件是 ____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件是分母等于零可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 13. 直线与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合思想通过图形观察得到答案． 根据图象可直接观察得到不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，两直线相交于点， 当时，， 故答案为：． 14. 某天，小明和爸爸外出郊游，在河岸边玩耍，他想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点A，再在河这边岸边选取两点，测得，并测量出长为30米，则河的宽度为 ____________． 【答案】15米 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得出，进而可得出，则，最后根据含30度直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， 在中， （米） 故答案为：15米． 15. 已知与的互为相反数，则 __________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据相反数的定义可得，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， 检验，当得时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 16. 如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，当取最小值时，的周长为 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线垂线段最短，等边三角形的性质，含度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．先确定点F在的角平分线上，当时最小，且点D在上，再根据勾股定理求出，进而得出，然后根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图1， ∵F是的中点，是等边三角形， ∴平分，， 即点F在的角平分线上． 当时，最小，且点D在上，如图2， 在中，，，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以等边的周长为． 故答案为：． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用平方差公式分解即可． (2)利用完全平方公式，平方差公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握用公式分解是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接． （1）尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若点G恰好是线段的中点，求证：． 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，① ∴， ∵G是的中点， ∴② ∴， ∴③ ， 又∵， ∴ ∴， ∴． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作； （2）①，②，③ 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，作角的平分线，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交于一点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于内部一点，连接点D与此点并延长，分别交于点G、E，交的延长线于点F． （2）利用平行四边形的性质得到，，证明，得到，由此得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 求不等式组： 的所有整数解的和．（把不等式组的解集表示在数轴上） 【答案】不等式组的解集为，所有整数解的和为3 数轴表示如下： ． 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，然后确定整数解计算即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， ∴原不等式组的所有整数解为：0，1，2， ∴原不等式组的所有整数解的和为3． 20. 先化简： ，再从，0，1，2中取一个合适的数值代入，求出代数式的值． 【答案】，时，5 【解析】 【分析】先利用分式的乘除化简，后结合分式有意义的条件，确定不能选的数，再选择适当数，求值即可． 本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴， ∴x可取2，此时原式． 21. 在如图所示的直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）将向下平移个单位后得到，请在图中画出，； （2）将绕原点逆时针旋转后得到，请在图中画出． （3）请判断的形状． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查作图-旋转变换与平移变换，勾股定理和逆定理，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得到其变换后对应点． （1）根据画出，将三个顶点分别向下平移5个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）将三个顶点分别绕原点O逆时针旋转后得到其对应点，再首尾顺次连接即可得； （3）根据勾股定理求出的三条边长，然后根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：如图，，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形． 22. 某水果店去年购买了一批水果．其中水蜜桃每千克的单价比李子多4元，用1200元购买的水蜜桃与用800元购买的李子千克数相等． （1）求去年购买的水蜜桃和李子的单价各是多少元/千克？ （2）若今年李子的单价比去年提高了，水蜜桃的单价与去年相同，这家水果店今年计划再购买李子和水蜜桃共200千克，且购买李子和水蜜桃的总费用不超过2120元，这家水果店今年至少要购买多少千克李子？ 【答案】（1）去年李子单价为8元/千克，则水蜜桃单价为12元/千克 （2）这家水果店今年至少要购买140千克李子 【解析】 【分析】（1）设李子的价格为x元，则水蜜桃的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，设购买李子千克，则购买水蜜桃千克，且，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设李子的价格为x元，则水蜜桃的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：去年李子单价为8元/千克，则水蜜桃单价为12元/千克． 【小问2详解】 解：根据题意，设购买李子千克，则购买水蜜桃千克， 且， 解得， 故a的最小值是140； 答：这家水果店今年至少要购买140千克李子． 23. 已知，点P是等边三角形中一点，线段绕点A逆时针旋转60°到，连接． （1）求证：． （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵线段绕点A逆时针旋转到， ∴， ∴是等边三角形，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定证明即可． （2）根据等边三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵由（1）得是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 24. 成都大运会成功举办，某商家推出A种纪念娃娃、B种纪念娃娃．已知购进3个A种娃娃和购进4个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元，且A种娃娃售价为18元/个，B种娃娃售价为12元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1920元的资金购进A，B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，如何进货商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是元 （2）购进A种娃娃40个,B种娃娃160个商家获利最大,最大利润为720元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组和一次函数关系式是解题的关键． （1）设每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是元 ，根据购进3个A种娃娃和购进4个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元建立方程组求解即可； （2）设购进A种娃娃a个，商家获得的利润为w元，则购进B种娃娃个，根据该商家计划用不超过1920元的资金购进A，B两种娃娃共200个列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a的一次函数关系式，并利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是元 ， 由题意得， 解得， 答：每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是元 ； 【小问2详解】 解：设购进A种娃娃a个，商家获得的利润为w元，则购进B种娃娃个， 由题意得， 解得， ， ∵， ∴w 随a的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 此时， 答：购进A种娃娃40个，B种娃娃160个时商家获利最大，最大利润为720元． 25. 在中，，点P是边上一个动点，点D是边上一个动点，点D关于的对称点为点H． （1）如图1，当点H与点B重合时，连接． ①直接写出与的数量关系； ②求证：； （2）如图2，当点P是中点时，把线段绕着B点逆时针旋转得到线段，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，当是直角三角形时，直接写出长． 【答案】（1）①； ②证明：∵点D关于的对称点为点H，点H和点B重合，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图1，连接， ∵，点P是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵线段绕着B点逆时针旋转得到线段BK， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵点D关于的对称点为点H， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1 ）①根据对称性得出结果； ②可证明，从而得出结论； （2 ）连接，可证得，从而，从而，根据对称性得出，从而，从而四边形是平行四边形，从而得出； （3 ）当时，根据四边形是平行四边形，得出，，从而，从而求得的值，根据勾股定理得出；当时，可得出，可推出，进而得出是等边三角形，从而求得． 【小问1详解】 解：①∵点D关于的对称点为点H， ∴， ∵点H和点B重合， ∴； ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2， ∵， ∴， 由（2 ）知，， 当时，由（2 ）知，四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 如图3， 当时，设和交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 综上所述： 或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年学情诊断 九年级 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A. 2，4，6 B. C. 2，， D. 5，12，13 4. 如图，在中，对角线相交于点O，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 7 5. 如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A. B. C. D. 6. 一个多边形的每个内角都是，则其内角和为（     ） A. B. C. D. 7. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程： ① ，② ．其中x表示的意义是（　　） A. 均为篮球的数量 B. 均为篮球的单价 C. 方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D. 方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 9. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，的对角线交于点O，点是的中点，且，， 连接．给出下列4个结论：①是等边三角形；②；③； ④若，则． 上述结论错误的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 因式分解：a3－a=______． 12. 要使分式无意义，应满足的条件是 ____________ ． 13. 直线与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为_____________． 14. 某天，小明和爸爸外出郊游，在河岸边玩耍，他想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点A，再在河这边岸边选取两点，测得，并测量出长为30米，则河的宽度为 ____________． 15. 已知与的互为相反数，则 __________． 16. 如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，当取最小值时，的周长为 _______ ． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 因式分解： （1） （2） 18. 如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接． （1）尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若点G恰好是线段的中点，求证：． 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，① ∴， ∵G是的中点， ∴② ∴， ∴③ ， 又∵， ∴ ∴， ∴． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 求不等式组： 的所有整数解的和．（把不等式组的解集表示在数轴上） 20. 先化简： ，再从，0，1，2中取一个合适的数值代入，求出代数式的值． 21. 在如图所示的直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）将向下平移个单位后得到，请在图中画出，； （2）将绕原点逆时针旋转后得到，请在图中画出． （3）请判断的形状． 22. 某水果店去年购买了一批水果．其中水蜜桃每千克的单价比李子多4元，用1200元购买的水蜜桃与用800元购买的李子千克数相等． （1）求去年购买的水蜜桃和李子的单价各是多少元/千克？ （2）若今年李子的单价比去年提高了，水蜜桃的单价与去年相同，这家水果店今年计划再购买李子和水蜜桃共200千克，且购买李子和水蜜桃的总费用不超过2120元，这家水果店今年至少要购买多少千克李子？ 23. 已知，点P是等边三角形中一点，线段绕点A逆时针旋转60°到，连接． （1）求证：． （2）若，求的长度． 24. 成都大运会成功举办，某商家推出A种纪念娃娃、B种纪念娃娃．已知购进3个A种娃娃和购进4个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元，且A种娃娃售价为18元/个，B种娃娃售价为12元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1920元的资金购进A，B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，如何进货商家获利最大？最大利润是多少元？ 25. 在中，，点P是边上一个动点，点D是边上一个动点，点D关于的对称点为点H． （1）如图1，当点H与点B重合时，连接． ①直接写出与的数量关系； ②求证：； （2）如图2，当点P是中点时，把线段绕着B点逆时针旋转得到线段，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，当是直角三角形时，直接写出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $