精品解析：2022年湖北省黄冈市自主招生人教版九年级数学试卷

2022春季自主招生考试优录精典 优录模拟训练数学试题（一） 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1. 若有意义，则的值是（　　） A. 非正数 B. 负数 C. 非负数 D. 正数 2. 如图所示，，，，均在正方形网格中的格点上，，分别用和表示，下列四个选项中不正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣3m+2＝0有一根为0，则另一根等于（　　） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. ﹣5 4. 张老师上班途中要经过3个十字路口，每个十字路口遇到红、绿灯的机会都相同，张老师希望上班经过每个路口都是绿灯，但实际上这样的机会是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，点D在AB边上，，，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6 7. 如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（ ） A. y=x-2 B. y=2x-4 C. y=x-1 D. y=3x-6 8. 已知函数y＝﹣x2+2ax，当x≤2时，函数值随x增大而增大，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1、x2相应的函数值y1、y2总满足|y1﹣y2|≤16，则实数a的取值范围是（ ） A. 2≤a≤5 B. ﹣3≤a≤5 C. a≥2 D. 2≤a≤3 二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 9. 抛物线y＝x2+x+2的图象上有三个点（﹣3，a）、（﹣2，b）、（3，c），则a、b、c的大小关系是_____（用“＜”连接）． 10. 若m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为 ___． 11. 已知，则的最小值为__． 12. 如图，在中，点在上，，，，则_________． 13. 如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，若AH＝，CD＝，则△ABE的面积是_________． 14. 如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=9，AB=15，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则PQ=_____． 15. A、B两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地．如图的折线OPQ和线段EF分别表示甲、乙两人与A地的距离y甲、y乙与时间x之间的函数关系，且OP与EF相交于点M．下列说法： ①y乙与x的函数关系是y乙＝﹣6x+12 ②点M表示甲、乙同时出发0.5小时相遇 ③甲骑自行车的速度是18千米/小时 ④经过或小时，甲、乙两人相距5千米．其中正确的序号有 _____． 16. 如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB＝4，则BE的最小值为_____． 三、解答题（共6小题，满分56分） 17. 设互不相等的非零实数a，b，c满足，求的值． 18. 如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长． 19. 已知关于x的方程有两个实数根 （1）求k的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2-15，求k的值． 20. 如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N． （1）求证：△BFM∽△NFA； （2）求证：DF2＝FM•FN； （3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长． 21. 蔗糖是决定杨梅果实中糖度的主要成分，某果农种植东魁杨梅，5月26日检测到杨梅果实中的蔗糖含量为，从5月27日开始到6月1日，测量出蔗糖含量数据，并根据这些数据建立蔗糖含量变化率(蔗糖含量变化率=当天的蔗糖含量-上一天的蔗糖含量/上一天的蔗糖含量)与生长天数 表示5月26日）的函数关系是： . 根据这一函数模型解决下列问题： （1）这种杨梅果实中蔗糖含量增长最快的是哪一天？请说明理由． （2）求出这种杨梅果实中蔗糖含量在哪一天最高； （3）当蔗糖含量最高时，杨梅口感最好，计划用6天时间采摘完这批杨梅，请给这位果农提出采摘日期的合理化建议． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点，为直线下方抛物线上任意两点，且满足点的横坐标为，点的横坐标为，过点和点分别作轴的平行线交直线于点和点，连接，求四边形面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，点为平面直角坐标系内一点，当点，，，构成以为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022春季自主招生考试优录精典 优录模拟训练数学试题（一） 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1. 若有意义，则的值是（　　） A. 非正数 B. 负数 C. 非负数 D. 正数 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的有意义的条件和分式有意义的条件可得:被开方数大于等于0,分母不等于0，可得﹣a＞0,即可判断. 【详解】根据二次根式的有意义的条件可求出a的范围． 解：由题意可知：﹣a＞0， ∴原式＝＞0， 故选D． 【点睛】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式和分式有意义的条件. 2. 如图所示，，，，均在正方形网格中的格点上，，分别用和表示，下列四个选项中不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用勾股定理先求解 再分别求解，从而可得答案. 【详解】解： 由勾股定理得： 所以：，，，， 故A，B，D符合题意，C不符合题意； 故选：ABD 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义及计算，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 3. 关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣3m+2＝0有一根为0，则另一根等于（　　） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. ﹣5 【答案】D 【解析】 【分析】由根与系数的关系直接求得. 【详解】设方程的另一个根是a， 则由根与系数的关系得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解题的关键. 4. 张老师上班途中要经过3个十字路口，每个十字路口遇到红、绿灯的机会都相同，张老师希望上班经过每个路口都是绿灯，但实际上这样的机会是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】经过3个十字路口，遇到红、绿灯的情况如解图，共有8种等可能的结果，过每个路口都是绿灯的情况只有1种，故经过每个路口都是绿灯的概率为．故选C． 5. 如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质．根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用表示出和，即可得到两个角的关系可进一步得出结论． 【详解】解：∵点I是的内心， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵点O是的外心， ∴， 故选：D． 6. 如图，在中，，，，点D在AB边上，，，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由勾股定理求出，由等腰三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，由证明，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图所示， 在中，，，， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ； ． 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（ ） A. y=x-2 B. y=2x-4 C. y=x-1 D. y=3x-6 【答案】A 【解析】 【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可． 【详解】解：∵点B的坐标为（8，4）， ∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2）， 设直线DE的函数解析式为y=kx+b， 则， 解得， ∴直线DE的解析式为y=x-2． 故选：A． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键． 8. 已知函数y＝﹣x2+2ax，当x≤2时，函数值随x增大而增大，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1、x2相应的函数值y1、y2总满足|y1﹣y2|≤16，则实数a的取值范围是（ ） A. 2≤a≤5 B. ﹣3≤a≤5 C. a≥2 D. 2≤a≤3 【答案】A 【解析】 【分析】对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤16，只需最大值与最小值的差小于等于16即可，进而求解． 【详解】解：函数的对称轴为x＝a，而x≤2时，函数值随x增大而减小，故a≥2； ∵1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1， ∴x＝a时，开口向下，函数的最大值＝a2， 故函数的最大值在x＝1和x＝a+1中产生， 则x＝1，x＝a+1那个距x＝a远，函数就在那一边取得最大值， ∵a≥2， ∴a﹣1≥1，而a+1﹣a＝1， ∴1距离a 更远， ∴x＝1时，函数取得最小值为：﹣1+2a， ∵对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤16， 只需最大值与最小值的差小于等于16即可， ∴，a2﹣（﹣1+2a）≤16， （a﹣1）2＝16， 解得﹣4≤a﹣1≤4，而a≥2， ∴2≤a≤5， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，|y1-y2|≤16转换为最大值与最小值的差小于等于16，是解题的关键． 二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 9. 抛物线y＝x2+x+2的图象上有三个点（﹣3，a）、（﹣2，b）、（3，c），则a、b、c的大小关系是_____（用“＜”连接）． 【答案】b＜a＜c． 【解析】 【分析】把（﹣3，a）、（﹣2，b）、（3，c）分别代入抛物线y＝x2+x+2求出a、b、c的值，进而得出大小关系． 【详解】把（﹣3，a）、（﹣2，b）、（3，c）分别代入抛物线y=x2+x+2得， a=9﹣3+2=8，b=4﹣2+2=4，c=9+3+2=14； 因此有b＜a＜c． 故答案为：b＜a＜c． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 10. 若m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为 ___． 【答案】10 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的意义将m代入求出m2-m=5，进而将方程两边同时除以m进而得出答案． 【详解】解：∵m是方程x2-x-5=0的一个实数根， ∴m2-m=5， m-1-=0， 故m-=1， 则（m2-m）（m-+1） =5×2 =10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键． 11. 已知，则的最小值为__． 【答案】． 【解析】 【分析】先对变形，根据绝对值的意义得到和为最小值时x、y的取值，进而得到的最小值． 【详解】解：， ， 可理解为在数轴上，数的对应的点到和1两点的距离之和；可理解为在数轴上，数的对应的点到和5两点的距离之和， 当，的最小值为3； 当时，的最小值为6， 的范围为，的范围为， 当，时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，绝对值的意义，能根据二次根式的性质进行化简，并根据绝对值的意义确定x、y的取值是解题关键． 12. 如图，在中，点在上，，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形和勾股定理的应用，过点作交于点，在和在中利用勾股定理表示出，即可求得，然后在中求出和，从而求出结论． 【详解】解：过点作交于点，如图， 设，则， 在中，， 则①， 在中，， 则②， 由①②得，， 解得：，则， 在中，③， 将代入①式，得， 则， 解得， ． 故答案为：． 13. 如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，若AH＝，CD＝，则△ABE的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】过A作AM⊥BC于M，过B作BN⊥DA于N，则BN＝AM，先证AE＝AB＝，再由勾股定理求出BH＝，然后由三角形面积求出BN＝AM＝，即可求解． 【详解】解：过A作AM⊥BC于M，过B作BN⊥DA于N，如图所示： 则BN＝AM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝， ∵AF⊥DC， ∴AF⊥AB， ∴∠BAF＝90°， ∴BH＝， ∵AM⊥BC， ∴△ABH的面积＝BH×AM＝AB×AH， ∴AM＝， ∴BN＝， ∴△ABE的面积＝AE×BN＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 14. 如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=9，AB=15，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则PQ=_____． 【答案】或． 【解析】 【分析】分两种情形①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②如图2中，当AQ=PQ，∠PQB=90°时利用相似三角形的性质分别求解即可． 【详解】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=9，AB=15， ∴BC， ①如图1中， 当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x， ∵PQ∥AC， ∴Rt△BPQ∽Rt△BCA， ∴， ∴， ∴x=， ∴PQ=． ②如图2中， 当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y． ∵Rt△BQP∽Rt△BCA， ∴， ∴， ∴y=． 综上所述，满足条件的AQ的值为或． 故答案为或． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 15. A、B两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地．如图的折线OPQ和线段EF分别表示甲、乙两人与A地的距离y甲、y乙与时间x之间的函数关系，且OP与EF相交于点M．下列说法： ①y乙与x的函数关系是y乙＝﹣6x+12 ②点M表示甲、乙同时出发0.5小时相遇 ③甲骑自行车的速度是18千米/小时 ④经过或小时，甲、乙两人相距5千米．其中正确的序号有 _____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用待定系数法求出直线EF的解析式判断①；根据图象判断②；求出直线OP的解析式判断③；利用函数解析式作差法计算即可． 【详解】解：设直线EF的解析式为y=ax+b，将点E（0，12）、F（2，0）代入，得 ，解得， ∴直线EF的解析式为y=-6x+12，故①正确； 由图象可知：点M表示甲、乙同时出发0.5小时相遇，故②正确； ∵甲的速度为km/h，km， ∴点M的坐标为（0.5，9）， 设直线OP的解析式为y=kx，将点M坐标代入，得k=18， ∴直线OP的解析式为y=18x， ∴甲骑自行车的速度是18千米/小时，故③正确； 当时，解得x=； 当时，， 当时，解得x=（舍去）； 当时，解得x=， ∴经过或小时，甲、乙两人相距5千米．故④不正确； 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象交点的计算，解一元一次方程，能读懂函数图象并得到相关信息是解题的关键． 16. 如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB＝4，则BE的最小值为_____． 【答案】2 +2 【解析】 【分析】将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC,作直线FE交OM于H,则∠BCF=90°，BC=FC，证△BCP≌△FCE(SAS)，得∠BHF=90°，故点E在直线FH上，即点E的轨迹为直线FH，当点E与点H重合时，BE=BH最短，根据直角三角形性质得CP,正方形CPHE中，PH=CP=2，BH=BH+PH. 【详解】如图所示， 将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC,作直线FE交OM于H,则∠BCF=90°，BC=FC， ∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE， ∴∠PCE=90°，PC=EC， ∴∠BCP=∠FCE， 在△BCP和△FCE中， BC=FC，∠BCP=∠FCE，PC=EC， ∴△BCP≌△FCE(SAS)， ∴∠CBP=∠CFE， 又∵∠BCF=90°， ∴∠BHF=90°， ∴点E在直线FH上，即点E的轨迹为直线FH， ∵BH⊥EF， ∴当点E与点H重合时，BE=BH最短， ∵当CP⊥OM时，Rt△BCP中，∠CBP=30°， ∴CP=BC=2，BP=CP=2， 又∵∠PCE=∠CPH=∠PHE=90°，CP=CE， ∴正方形CPHE中，PH=CP=2， ∴BH=BH+PH=2+2， 即BE的最小值为2+2， 故答案为2+2. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行判断. 三、解答题（共6小题，满分56分） 17. 设互不相等的非零实数a，b，c满足，求的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 设，则，，，从而得出，，，进而得出，由，，为互不相等的非零实数得出，从而得出答案． 【详解】解：设， 则，，， 由可得， ， ， 整理得：， 同理可得：，， ∴， ，，为互不相等的非零实数， ， ， ∵， ∴ ． ∴ 18. 如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长． 【答案】（1）证明：连接OD． ∵点I是△ABC的内心， ∴∠2＝∠7， ∴， ∴OD⊥AC， 又∵∠1＝∠ADF，∠2=∠ABC，∠ADF＝∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴DGAC； ∴OD⊥DG， ∴DG是⊙O的切线； （2）6． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断，连接OD，根据垂径定理可得OD⊥AC，故OD⊥DG，即可得证； （2）根据三角形内心的性质得，然后证明得到，证明，利用相似比得到，则DI的长度即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵点I是△ABC的内心， ∴∠5＝∠6， ∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6， 即∠4＝∠DAI， ∴DA＝DI； ∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD， ∴△DAE∽△DBA， ∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD， ∴AD＝6， ∴DI＝6． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理和三角形的外心，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 19. 已知关于x的方程有两个实数根 （1）求k的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2-15，求k的值． 【答案】（1） （2）k＝4 【解析】 【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围； （2）由根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1•x2，利用已知条件可得到关于k的方程，可求得k的值． 【小问1详解】 ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，解得； 【小问2详解】 ∵方程的两实数根分别为x1，x2， ∴x1＋x2＝k＋1，， ∵x12＋x22＝6x1x2-15， ∴（x1＋x2）2-8x1x2+15＝0， ∴k2-2k-8＝0，解得：k1＝4，k2＝-2， 又∵， ∴k＝4． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别及根与系数的关系，掌握相关知识是解本题的关键． 20. 如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N． （1）求证：△BFM∽△NFA； （2）求证：DF2＝FM•FN； （3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长． 【答案】 （1）∵BE ⊥AC， ∴∠AEB=90°， ∴∠BAC+∠ABE=90°， ∵DF⊥AB， ∴∠AFN=∠BFM=90°， ∴∠N+∠BAC=90°， ∴∠ABE=∠N， ∴△BFM∽△NFA； （2）∵△BFM∽△NFA， ∴ ， ∴ ， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠AFD=∠BFM=90°， ∴∠BDF+∠ADF=90°，∠ADF+∠BAD=90°， ∴∠BDF=∠BAD， ∴△BDF∽△DAF， ∴ ， ∴ ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由DF与AB垂直，AD、BE为高，利用垂直的定义得到直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2）由（1）相似三角形可得，再利用两角相等的三角形相似得到△BDF∽△DAF，可得，等量代换即可得证； （3）首先证明△ENM∽△FBM∽△FDB，可得FB=2FM，FD=4FM，根据（2）的结论求出FM的长，进而求出FB，FD，以及FN的长，再利用△MNE∽△ANF，求出AF，以及AB的长，然后利用勾股定理求出BD的长，即可求出AC的长． 【详解】证明：（1）略 （2）略 （3）∵AC=BC， ∴∠BAC=∠ABC， ∵∠ABC+∠FDB=∠BAC+∠N=90°， ∴∠FDB=∠N=∠FBM， ∴△ENM∽△FBM∽△FDB， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴FB=2FM， DF=2FB=4FM， ∵， ∴ ， ∵DN＝12， ∴ ， 解得： 或0（舍去）， ∴FB=2，DF=4，FN=DF+DN=16， ∵∠AFN=∠MEN=90°，∠N=∠N， ∴△MNE∽△ANF， ∴ ， ∴ ， ∴ ，AB=AF+BF=10， 在 中， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， 解得： ． 【点睛】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 21. 蔗糖是决定杨梅果实中糖度的主要成分，某果农种植东魁杨梅，5月26日检测到杨梅果实中的蔗糖含量为，从5月27日开始到6月1日，测量出蔗糖含量数据，并根据这些数据建立蔗糖含量变化率(蔗糖含量变化率=当天的蔗糖含量-上一天的蔗糖含量/上一天的蔗糖含量)与生长天数 表示5月26日）的函数关系是： . 根据这一函数模型解决下列问题： （1）这种杨梅果实中蔗糖含量增长最快的是哪一天？请说明理由． （2）求出这种杨梅果实中蔗糖含量在哪一天最高； （3）当蔗糖含量最高时，杨梅口感最好，计划用6天时间采摘完这批杨梅，请给这位果农提出采摘日期的合理化建议． 【答案】（1）6月10日，蔗糖增加速度最快，理由见解析； （2）6月21日； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）求出顶点横坐标即可得答案； （2）求出y＝0时x的值，即可得答案； （3）在杨梅果实中蔗糖含量最高的6天采摘，而当x＞26时，含糖量降低的速度比x＝23时上升的速度快，解可得到答案． 【小问1详解】 ∵y＝−0.0021x2＋0.063x−0.21＝−0.0021（x−15）2＋0.2625， ∴在第15天，即6月10日，这种杨梅果实中蔗糖含量增长最快； 【小问2详解】 当蔗糖含量比前一天增加时，y>0，当蔗糖含量比前一天减少时，y<0。 所以先要求使y=0时对应的x的值 当y=0时，-0.0021x2+0.063x-0.21=0， 整理得：x2-30x+100=0, 解这个方程得：x1=15-5,x2=15+526.18 因为x是整数，x=26时，y>0，蔗糖含量比第25天增加； 当x=27时，y<0，蔗糖含量比第26天减少； 所以这种杨梅果实中蔗糖含量从增加到减少的临界时间是第26天，即6月21日. 【小问3详解】 根据(2)，当x26时，随着时间增加，蔗糖含量增加， 大约当x=26时，杨梅果实中蔗糖含量最高， 当x27时，蔗糖含量随着时间的增加而降低. 根据二次函数的性质，当x>26时，比x=23离对称轴x=15远， 所以，当x>26时，含糖量降低的速度比x=23时上升的速度快 所以，在第23，24，25，26，27，28天（即6月18日——6月23日）采摘可以保证蔗糖含量高，口感好，建议在这几天采摘 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握并能熟练应用二次函数的性质． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点，为直线下方抛物线上任意两点，且满足点的横坐标为，点的横坐标为，过点和点分别作轴的平行线交直线于点和点，连接，求四边形面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，点为平面直角坐标系内一点，当点，，，构成以为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【答案】（1）抛物线表达式为；（2）当时，S四边形PQDC最大=；（3）所有符合条件的点的坐标（）或（）或（）或（）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式抛物线过，两点，代入坐标得：，解方程组即可； （2）根据点的横坐标为，点的横坐标为，得出，解不等式组得出，用m表示点P，点Q，用待定系数法求出AB解析式为，用m表示点C，点D，利用两点距离公式求出PC=，QD=，利用梯形面积公式求出S四边形PQDC=即可； （3）根据勾股定理求出AB=，将抛物线配方，根据平移，得出抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位， 求出新抛物线，根据， 求出点P，与对应点E，平移后新抛物线对称轴为，设点G坐标为，点F（）分两类四种种情况，四边形BEFG为菱形，BE=EF，根据勾股定理，求出点F（），（），当点F（）时，点G、F、E、B坐标满足，，得出 G（），点F（）时，点G3、F、E、B坐标满足， ，得出G3（），四边形BEFG为菱形，BE=BF，根据勾股定理，点F（），（），点F（）时，点G1、F、E、B坐标满足， ，得出 G1（），点F（）时，点G2、F、E、B坐标满足，，得出G2（）． 【详解】解：（1）∵抛物线过，两点，代入坐标得： ， 解得：， 抛物线表达式为； （2）∵点，为直线下方抛物线上任意两点，且满足点的横坐标为，点的横坐标为， ∴ 解得， 点P，点Q 设AB解析式为，代入坐标得： ， 解得：， ∴AB解析式为， ∴点C，点D ∴PC=，QD= ∴S四边形PQDC=， 当时，S四边形PQDC最大=； （3）∵AB=，， ∴抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位， ， ∵，， ∴点P，对应点E，平移后新抛物线对称轴为， 设点G坐标为，点F（）， 分两类四种种情况， 四边形BEFG为菱形，BE=EF， 根据勾股定理， ， ∴或， 点F（），（）， 当点F（）时，点G、F、E、B坐标满足： ∴，解得， ，解得， ∴G（）； 点F（）时，点G3、F、E、B坐标满足： ∴，解得， ，解得， G3（）； 四边形BEFG为菱形，BE=BF， 根据勾股定理， ， ∴或， 点F（），（）， 点F（）时，点G1、F、E、B坐标满足： ∴，解得， ，解得， ∴G1（）； 点F（）时，点G2、F、E、B坐标满足： ∴，解得， ，解得， ∴G2（）， 综合所有符合条件的点的坐标（）或（）或（）或（）． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析式，两点距离，梯形面积，二次函数顶点式最值，抛物线平移，菱形性质，图形与坐标，本题难度大，解题复杂，计算要求非常准确，考查学生多方面能力，知识掌握情况，阅读，分类，数形结合，运算，画图是中考难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $