专题03一元一次方程 同步培优专题突破—2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

2025-2026学年七年级上学期数学同步培优专题突破 专题03 一元一次方程 目录 板块一： 1 板块二： 4 考点01 一元一次方程的解法 4 考点02 一元一次方程的实际应用 11 考点03 利用一元一次方程解决数轴动点问题 21 考点04 利用一元一次方程解决新定义问题 41 板块三：（45分钟） 56 板块一： 知识点1：方程的概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点2：等式的基本性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　 （1）基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. （2）基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. 名师点拨 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式基本性质2中，这一条件必不可少。 知识点3：一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 名师点拨 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： 1. 是一个方程; 1. 必须只含有一个未知数; 1. 含有未知数的式子都是整式; 1. 未知数的次数都是1． 2.一元一次方程的解法： 步骤 数学依据 具体做法 注意事项 1.去分母 等式性质2 方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 2.去括号 去括号法则 去括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 3.移项 等式性质1 含有未知数项都移到方程左边，常数项都移到右边 移项要变号 4.合并同类项 合并同类项法则 把方程化成的形式 系数相加减，其他都不变 5.系数化成1 等式性质2 方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 不要把分子、分母写颠倒 名师点拨 解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减． 知识点4：用一元一次方程解决实际问题 1.列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 名师指点 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2.常见一元一次方程应用题类型： (1)行程问题 ①三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　②基本类型有： 　 相遇（或相向）问题： A．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 B．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题：A．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 B．寻找相等关系： 1. 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 1. 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：A．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； B．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （2）工程问题 三个基本量间的关系：工作效率×工作时间=工作总量；“一般把总工作量设为1”； 3．利润问题 常用数量关系如下： （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 4．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 板块二： 考点01 一元一次方程的解法 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查解一元一次方程，正确计算是解题的关键： （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程． 【详解】（1）解： ； （2）解： 两边同乘以21，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程：有分母先去分母，再去括号移项合并同类项，最后系数化为1． （1）去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案； （2）先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案． 【详解】（1）解：去括号得，， 移项合并同类项可得，， 系数化为1得，； （2）解：去分母可得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项的，， 系数化为1得，． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）移项合并，然后系数化为1即可； （2）先去分母，去括号，然后移项合并，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，． 4．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，是解此题的关键． （1）根据移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可得出答案； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 原方程的解为：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 原方程的解为：． 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 6．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1是解题的关键． （1）按去括号，移项合并，将未知数系数化为1的步骤求解即可； （2）按去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项合并，得， 将未知数系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项合并，得， 将未知数系数化为1，得． 7．（23-24七年级上·浙江台州·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】（1）本题主要考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的一般步骤(移项、合并同类项、系数化为)求解即可． （2）本题主要考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的一般步骤(去括号、移项、合并同类项、系数化为)求解即可． 【详解】（1）移项，得 ． 合并同类项，得 ． 系数化为，得 ． （2）去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 系数化为，得 ． 8．（23-24七年级上·浙江台州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）按移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1得； （2）解：， 去分母，得，， 去括号，得，， 移项，得， 合并同类项，得：， 系数化为1得：． 9．（23-24七年级上·浙江台州·期中）用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】等式的性质、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质． （1）利用等式的性质，方程两边同时加，即可解得方程； （2）利用等式的性质，方程两边同时减2，再同时乘以，即可解得方程． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并得：； （2）， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，理解方程解的定义，能正确解一元一次方程是解题关键．先求出第一个方程的解，再把代入第二个方程得出，再求解即可得到答案． 【详解】解：解方程， ， 得：， 把代入方程， 得：， ， ， ， 解得：． 考点02 一元一次方程的实际应用 11．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有x两银子，根据题意可列方程（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意是关键；根据人数列出方程即可． 【详解】解：设有x两银子， 由题意得，， 故选：D． 12．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为和1．现将纸片进行分割，每次割一刀且每次分割都能产生至少一个正方形，现分割三次后恰好能把这个长方形全部分割成正方形，则的值为 ． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据分割三次后恰好能把这个长方形全部分割成正方形，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 的值为． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，爱动脑筋的琪琪同学设计了一种“幻圆”游戏，将，3，，7，，11，，15 分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将7，11，，15这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 【答案】2 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加减混合运算．解决本题的关键是知道横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都是4． 由于八个数的和是8，所以需满足两个圈的和是4，横、竖的和也是4，列方程可得结论． 【详解】解：， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是4，横、竖的和也是4，如图， 则，解得， ，解得， ∵ ∴ ∴． 故答案为：2． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为a（且）和1．现将纸片按如下方式操作：第一次分割出一个最大的正方形，第二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形，依次操作后恰好能把这个长方形分割成四个正方形且无剩余，则a的值为 ． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确的画出图形，进行分类讨论是解题的关键．根据长方形的长和宽分别为a（且）和1，第一次分割出边长1的正方形，第二次分割出边长的正方形，并进行分类讨论，画出几何图形，利用边长的关系即可得出的值． 【详解】解：①如图： 根据题意得：，， ， ， ∴， ∴， ②如图： 根据题意得：，， ∴， ， ∴， ∴， 综上所述：或． 故答案为：或． 15．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索未完成的任务． 宁波市居民住宅生活用水阶梯式价格计费探索卡 素材1 生命之花在呵护下绽放，生命之水因节约而永流．为增强公民节水意识，宁波市水费采用“阶梯收费”，另外还需缴纳污水处理费为1元/吨． 素材2 宁波市居民住宅生活用水阶梯式价格计费方式如下： 第一阶梯：用水量不超过17吨的部分，水费为2元/吨． 第二阶梯：用水量超过17吨不超过30吨的部分，水费为4元/吨． 第三阶梯：用水量超过30吨的部分，水费为10元/吨． 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知陈老师家9月份所缴水费中，自来水费为66元，求陈老师家9月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定总费用 （水费+污水处理费） 若陈老师家10月份用水35吨，则应缴费多少元？ 若陈老师家10月份用水吨，应缴费多少元？ 【答案】任务1：25元；任务2：171元； 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】任务1：设陈老师家9月份用水量为x吨，根据题意列出方程，求出用水量，即可得出污水处理费； 任务2：根据收费标准列出算式求出陈老师家10月份用水35吨，应缴费用即可；分两种情况求出陈老师家10月份用水吨时，应缴费即可． 【详解】解：任务1：设陈老师家9月份用水量为x吨，如图所示： ， 解得：， 陈老师家9月份需缴污水处理费为：元； 答：陈老师家9月份需缴污水处理费25元． 任务2：陈老师家10月份用水35吨，则应缴费为： （元）， 当时，陈老师家应缴费： 元， 当时，陈老师家应缴费： 元， 综上分析：陈老师家10月份应缴费． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程应用，列代数式，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据收费标准列出方程． 16．（24-25七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材完成任务． 温州杨梅有着丰富的历史文化、多样的品种、广泛的种植区域以及较高的经济价值．家住茶山的小温一家种植了一些的杨梅树，在每年杨梅成熟的时节，除了自家食用之外，其余的都要运到市场进行销售．正值周末，小温同学也想为家里的杨梅销售贡献自己的一份力量． 素材1 已知当地杨梅售价为30元/千克．本周六，小温家一共采摘了10筐杨梅进行销售，每筐以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示： 与标准质量的差值 （单位：千克） 0.3 0.2 0.1 筐数 1 3 2 2 2 素材2 据了解，当地快递公司收费标准：浙江省内，首重1千克以内10元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，物件超过20千克则需要额外支付包装费8元． 素材3 杨梅种植成本主要有： 1．肥料和农药成本：在杨梅生长过程中，需要施肥和喷洒农药．一年肥料和农药大概花费3000元． 2．劳动力成本：包括修剪、采摘等环节的人工费用，每人每天150元． 任务1 小温跟着家人一起去市场帮忙售卖，请求出小温一家售出这10筐杨梅的实际收入是多少元？ 任务2 第二天，小温又采摘了22.8千克杨梅，准备通过快递邮寄的方式送给她的同学小周，请帮小温算算，她需要支付给快递员多少邮费？ 任务3 本年采摘时间即将结束，小温想帮家里算一算今年售出了多少千克的杨梅．由于某些原因，小温只知道今年的销售利润为12450元（销售利润销售收入成本），另外本年请了2个修剪工人工作了3天，请了3个采摘工人工作了6天，则小温一家今年售出了多少千克杨梅？ 【答案】任务1：小温一家售出这10筐杨梅的实际收入是3015元；任务2：她需要支付给快递员元邮费；任务3：小温一家今年售出了千克杨梅． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的的应用，理解题意并正确列式是解题关键． 任务1：先求出10筐杨梅总质量，再乘以当地杨梅售价，即可求出实际收入； 任务2：根据题意可知，邮费首重费用续重费用包装费用，即可求出邮费； 任务3：设小温一家今年售出了千克杨梅，根据题意列一元一次方程即可求解． 【详解】解：任务1：10筐杨梅总质量为：千克， 则实际收入为元， 答：小温一家售出这10筐杨梅的实际收入是3015元； 任务2：22.8千克千克， 则邮费为元， 答：她需要支付给快递员元邮费； 任务3：设小温一家今年售出了千克杨梅， 由题意得：， 解得：， 答：小温一家今年售出了千克杨梅． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）长为2，宽为a的长方形纸片，用如图所示的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第一次操作）；再把剩下的长方形用同样的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的纸片为正方形，则操作终止．当时，求a的值． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，根据操作的程序找出“若第n次操作后剩下纸片为正方形，则第次操作后剩余纸片相邻两边存在2倍关系”是解题的关键． 【详解】解：第一次操作后，剩下的长方形纸片长为a，宽为，第二次操作后，剩下的长方形的相邻两边长为和， ∵第三次操作后，剩下的纸片为正方形， ∴或， 解得：或． 18．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某市出租车收费标准如下：以内（含）收费11元；至每收费3元；以上每收费4元．（不足以计算） (1)小明家距离学校，某个周末，小明身边带了39元钱，问：小明从学校坐出租车到家的钱够吗？如果不够，他至少要先走多少路？ (2)某天，小明和爸爸分别从不同的地方坐出租车回家，正好同时到家，且正好都行了整，父子俩一合计，发现两人共行，共付车费67元，已知小明的行程超过，而父亲的行程在到之间，两人各行了多少？ 【答案】(1)不够，小明至少要先走的路 (2)小明行了13千米，小明的爸爸行了7千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，行程问题的数量关系运用，解答时由行程问题的数量关系建立方程是关键． （1）设小明身边带了39元钱可以坐车，建立方程求出x的值与作比较就可以得出结论； （2）设小明行了a千米，则小明爸爸行了千米，根据两人的总费用元建立方程求出其解即可． 【详解】（1） 解：设小明身边带了39元钱可以坐车，由题意，得 ， 解得：， ， 小明的钱不够， 前路程出租车收费为：（元）， （元）， 以上每千米收费4元，则（元）， 超过以上小明的剩余的钱只能坐， 小明至少要先走的路； （2） 解：设小明行了a千米，则小明爸爸行了千米，由题意，得 ， 解得：． 则小明爸爸行驶的路程为：． 答：小明行了13千米，小明的爸爸行了7千米． 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）一家书店推出一项优惠政策，凡购买同一种书100本以上，就按书价的收款．某校到书店购买甲､乙两种书，购得乙种书的册数是甲种书的，甲种书的总价比乙种书的总价高720元．已知乙种书每本15元，甲种书每本20元．学校购得甲种书多少本？ 【答案】学校购得甲种书90本或者120本 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设学校购得甲种书x本，则乙种书本，然后根据题意可分类进行求解． 【详解】解：设学校购得甲种书x本，则乙种书本，由题意可分： ①当购买甲、乙种书的册数不高于100本时，则有： 解得：， 则乙种书为本， ②当购买甲、乙种书的册数都高于100本时，则有： 解得：， 则乙种书为本，（不符合题意，舍去）； ③当购买甲种书的册数高于100本，乙种书的册数低于100本时，则有： 解得：， 则乙种书为本； 答：学校购得甲种书90本或者120本． 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每年12月份陶山甘蔗进入销售旺季．某水果店购进陶山甘蔗60箱，每箱成本8元，标价20元．在售出一部分后，准备进行优惠促销，小美和小乐分别设计了以下方案：    促销方案 小美 每箱15元 小乐 每箱打7折 (1)按小乐的方案，若促销前卖出20箱，则全部售出后可以获得多少利润？ (2)按小美的方案，设促销前卖了x箱，用含x的代数式表示售完陶山甘蔗所获得利润． (3)按原价售出30箱后，该水果店决定进行组合促销；剩下甘蔗3箱打包成一组，打折出售，每组售出时还赠送1个小礼品．为了使总利润为600元，请你在给出的表格中设计一个销售方案： 标价 折扣 现价 礼品成本 甘蔗 20元／箱 折 元／箱 6元／个 【答案】(1)480元 (2)元 (3)九，18 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意准确列式计算是解题关键． （1）根据题意小乐的方案的促销方案列式，对式子化简即可求解； （2）设促销前售出箱陶山甘蔗，根据小乐的方案列式化简即可； （3）设打折，打折后甘蔗的价格为元，列式求出，即可求出结果． 【详解】（1）解： 小乐的方案，售完陶山甘蔗所获得利润为480元 （2）解：元， 答：小美的方案，售完陶山甘蔗所获得利润为元； （3）设打折，打折后甘蔗的价格为元， 根据题意，则有：， 整理得：， 得到：， 打九折出售，打折后每箱甘蔗价格为18元， 故答案为：九，18． 考点03 利用一元一次方程解决数轴动点问题 21．（24-25七年级上·浙江温州·期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为多少？ (2)当取最小值时，可以取正整数 　　；最大值为 　　； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和超市，居民区、、分别位于超市左侧，右侧，右侧．为了提升消费者体验，超市现需要在该公路上建造同城快送驿站，用于运送这3个小区的快递，需送3千份快递至小区，1千份快递至小区，2千份快递至小区．若快递的运输成本为每千米1元千份，该驿站建在某处时能使总运输成本最低，则该最低成本为 　　元． 【答案】(1)或 (2)1或2；8 (3)33 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、带有字母的绝对值化简问题、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的去绝对值． （1）由解得或； （2）表示到表示，2的点的距离的和，故时，取最小值，知可以取正整数为1或2；分三种情况去绝对值可得最大值为8； （3）设驿站建在表示的点处，根据题意总运输成本为，分四种情况去绝对值可得最低成本为33元． 【详解】（1）解：由得： 或， 或； （2）解：表示到表示，2的点的距离的和， 时，取最小值， 可以取正整数为1或2； 当时，， 当时，， ， ，即； 当时，； 最大值为8； 故答案为：1或2；8； （3）解：设驿站建在表示的点处， 根据题意总运输成本为， 当时，， ， ，即； 当时，； 当时，， ， ，即； 当时，， ， ； 综上所述，的最小值为33． 最低成本为33元， 故答案为：33． 22．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒17个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)__________； (2)当点P，Q停止运动时，求点P表示的数； (3)在整个运动过程中，当点P与点Q重合时，求t的值． 【答案】(1)204 (2) (3)或或或或51 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握数轴的性质，正确建立方程是解题关键． （1）先根据绝对值和偶次方的非负性可得，，再根据数轴的性质求解即可得； （2）先求出点从点运动到点所需时间为12秒，点从点运动到点所需时间为68秒，从而可得当点停止运动时，点从点出发以每秒17个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动了8秒，再根据数轴的性质求解即可得； （3）先确定，再分六种情况：①，②，③，④，⑤和⑥，分别求出点所表示的数，根据当点重合时，它们所表示的数相等建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：204． （2）解：由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，点从点运动到点所需时间为秒， ∵， ∴当点停止运动时，点从点出发以每秒17个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动了8秒， ∴当点停止运动时，点表示的数为． （3）解：由（2）可知，， ①当时， 点表示的数为，点表示的数为， 当点与点重合时，则， 解得，符合题设； ②当时， 点表示的数为，点表示的数为， 当点与点重合时，则， 解得，符合题设； ③当时， 点表示的数为，点表示的数为， 当点与点重合时，则， 解得，符合题设； ④当时， 点表示的数为，点表示的数为， 当点与点重合时，则， 解得，符合题设； ⑤当时， 点表示的数为，点表示的数为， 当点与点重合时，则， 解得，符合题设； ⑥当时， 点表示的数为，点表示的数为， 当点与点重合时，则， 解得，不符合题设，舍去； 综上，的值为或或或或51． 23．（24-25七年级上·浙江温州·期中）综合实践： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，且a、b、c使得与互为同类项．动点P从点A出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点P运动的时间为t秒． (1)填空：_______，点P在数轴上所表示的数为_______（用含t的代数式表示）； 操作一： (2)以点P为折点，折叠纸面，使A，C两点重合，此时_______； 操作二： (3)以点P为折点，折叠纸面，若折叠后A，C两点之间的距离为1，求此时点P所表示的数； 操作三： (4)以点P为折点，折叠纸面，再将第一次折叠后的纸片沿某点继续折叠，使得A，C两点重合，且点B与数轴上的数11重合，此时_______． 【答案】(1)1， (2)4 (3)或 (4)9 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴、同类项等知识点，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据同类项的定义，可得，据此即可解答； （2）根据A，C两点重合，可知，据此即可解答； （3）分和两种情况，分别根据折叠后A，C两点之间的距离为1，据此列方程求解即可； （4）分P在上、P在上、P在点C的右边三种情况，根据第二次折叠后C与A的折痕，B与11的折痕是同一点列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为同类项 ∴， ∴， ∴点A表示的数为 ∴点P在数轴上所表示的数为； 故答案为∶1，． （2）解：根据题意得∶点A表示，点C表示4， ∵以点P为折点，折叠纸面，使A，C两点重合， ∴折痕P在数轴表示0， ∴，解得：． 故答案为：4． （3）解：分两种情况 ①如图1，当时，，解得：； ∴此时点P表示的数为：； ②如图1，当时，，解得：； ∴此时点P表示的数为：； ． 综上，点P表示的数为或． （4）解：分三种情况∶ ①如图3：当点P在上时，，点P表示的数为， ∴点A的对应点表示的数为； 第二次折叠与C重合，折痕为， ∵点B与11重合， ∴折痕为， ∴不符合题意； ②如图4：当点P在上时，，点P表示的数为， 点A的对应点表示的数为， 点B的对应点表示的数为， 第二次折叠与C重合，折痕为， ∵点与11重合， ∴折痕为， ∵； ∴这种情况不符合题意； ③如图5：当点P在的右边时，，点P表示的数为， 点A的对应点表示的数为， 点B的对应点表示的数为， 点C的对应点表示的数为， 第二次折叠与重合，折痕为数为， 点与11重合，折痕为数轴， ∴解得：． 综上，． 故答案为9． 24．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．    (1)写出数轴上点A表示的数为________，点B表示的数为________，点P表示的数为________（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发． ①当t为何值时，点P、Q两点到原点的距离相等？ ②式子的值不随时间t的变化而变化，请求出m的值． 【答案】(1)，12， (2)①或；②4 【知识点】整式加减中的无关型问题、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解，即可得出点A和点B表示的数，结合动点P的运动情况可直接用t表示出点P表示的数； （2）①根据点A表示的数和动点Q的运动情况，可用t表示出点Q表示的数，再根据点P、Q两点到原点的距离相等，列方程求解即可； ②根据点B表示的数，结合动点M的运动情况可直接用t表示出点M表示的数，从而可求出，再求出，最后根据整式的加减运算法则计算化简，结合题意，即化简后的式子不含t的单项式求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得：， 所以点A表示的数为，点B表示的数为12． 因为动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且运动时间为t秒， 所以点P表示的数为； （2）解：①由题意可知点Q表示的数为， 因为点P、Q两点到原点的距离相等， 所以， 解得：或， 故当或时，点P、Q两点到原点的距离相等； ②由题意可知点M表示的数为， 所以． 因为， 所以． 因为式子的值不随时间t的变化而变化， 所以， 解得：． 【点睛】本题考查非负数的性质，用数轴上的点表示数，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题，利用数形结合的思想是解题关键． 25．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，、两点在数轴上对应的数分别是，32，动点从点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位/秒的速度向左运动，动点从原点出发以单位/秒的速度向左运动（），三个动点同时出发，设运动时间为． (1)当秒时，点对应的数为_________，点对应的数为_________，点对应的数为________． (2)请用含或的代数式表示：动点对应的数为__________，动点对应的数为_________，动点对应的数为_________． (3)规定点到点的距离表示，点到点的距离表示为． ①若，求在运动过程中出现情况的时间． ②若在运动过程中，恰好只有一次的情况，请直接写出满足条件的值或的取值范围是_________． 【答案】(1)，， (2)，， (3)①；② 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式 【分析】（1）根据向左运动用减法运算，向右运动用加法运算：则动点M对应的数为，动点N对应的数为，动点T对应的数为，将代入计算即可； （2）由（1）即可解答； （3）①时，动点T对应的数为；则，解方程即可解答；②点N的速度大于点M的速度，即点N能追上点M，当M与N重合时，，求出t，根据在运动过程中，恰好只有一次的情况，故当时，T在M的左侧，有，当在M的右侧，T存在是的中点，故舍去． 【详解】（1）解：根据题意，动点M从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，则动点M对应的数为， 动点N从B点出发以4单位/秒的速度向左运动，则动点N对应的数为， 动点T从原点O出发以a单位/秒的速度向左运动，则动点T对应的数为； 当秒时，动点对应的数为， 动点对应的数为， 动点对应的数为； （2）解：由（1）知：则动点M对应的数为， 动点N对应的数为， 动点T对应的数为； （3）解：①时，动点T对应的数为； 则， ∵， ∴， ∴，此时方程无解； 或，解得：； ②∵点N的速度大于点M的速度， ∴点N能追上点M， 当M与N重合时，， ∴ 解得， ∵在运动过程中，恰好只有一次的情况， ∴T不能是的中点， 当T在M的左侧时， ∴，且， 解得，且， ∴； 故T在M的右侧时，存在T是的中点，故舍去， 综上所述，． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，列代数式表示式，数轴上表示有理数，数轴上的动点问题，绝对值的非负性，化简绝对值，熟练运用分类讨论思想，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示动点所表示的数． 26．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴是初中数学中一个重要的工具，现数轴上有一点A表示的数为，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动的时间为t秒（）． (1)则A、B两点之间的距离　　　，到A、B两点距离相等的点表示的数是　　　． (2)求当t为何值时，． (3)折叠数轴使点P与Q重合，折点记为M，还原后再折叠数轴使点B与Q重合，折点记为N，点P和点Q在运动过程中，线段的中点E的位置是否发生变化？若不变，请求出线段的中点E表示的数；若改变，请说明理由． 【答案】(1)24，4 (2)7或9 (3)不变，线段的中点E表示的数为10 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含t的代数式表示点运动后所表示的数． （1）利用数轴上两点间的距离公式，即可求出的长，设到A、B两点距离相等的点表示的数是x，根据该点到A，B两点的距离相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点M为的中点、点N为的中点，可得出点M表示的数为，点N表示的数为，再结合点E为线段的中点，即可得出点E表示的数是10． 【详解】（1）解：根据题意得：A、B两点之间的距离； 设到A、B两点距离相等的点表示的数是x， 根据题意得：， 解得：， ∴到A、B两点距离相等的点表示的数是4． 故答案为：24，4； （2）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：当t为7或9时，； （3）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵折叠数轴使点P与Q重合，折点记为M，还原后再折叠数轴使点B与Q重合，折点记为N， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵点E为线段的中点， ∴点E的坐标为， ∴点P和点Q在运动过程中，线段的中点E的位置不变，线段的中点E表示的数为10． 27．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上有A，B两点，A，B之间距离为21，原点O在A，B之间，O到A的距离是O到B的距离的两倍． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____； (2)点A、点B和点P（点P初始位置在原点O）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，2个单位长度每秒，则经过多少秒，点P到点A与点B的距离相等？ (3)点B沿着数轴移动，每次只允许移动1个单位长度，经过8次移动后，点B与原点O相距1个单位长度．满足条件的点B的移动方法共有多少种？ (4)点A和点B同时沿着数轴移动，两点每次均只允许移动1个单位长度．请判断点A和点B经过相同次数的移动后，能否同时到达原点O？如果能，请给出点A和点B各自的移动方法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)经过或秒，点到点与点的距离相等 (3)满足条件的点的移动方法共有种 (4)不能，理由见解析 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、数轴上的动点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设点表示的数为，则点表示的数为，由题意可得，求出的值即可得解； （2）设经过秒，点到点与点的距离相等，则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据题意列出方程求解即可； （3）设点沿着数轴向左移动次，则向右移动次，对应的数为或，则，即，求解即可； （4）设点向左移动次，向右移动次，则点移动了次，由题意得出，推出，设点向左移动了次，则向右移动了次，由题意得出，得到，结合、、均为正整数判断即可得解． 【详解】（1）解：∵到的距离是到的距离的两倍， ∴设点表示的数为，则点表示的数为， ∵，之间距离为21， ∴， 解得：， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：； （2）解：设经过秒，点到点与点的距离相等，则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， 由题意得：， 解得：或， ∴经过或秒，点到点与点的距离相等； （3）解：设点沿着数轴向左移动次，则向右移动次，对应的数为或， 则，即， 解得：或， 当时，有1种移动方法，点沿着数轴向左移动，经过8次移动后，点对应的数为，此时点与原点相距1个单位长度； 当时，有种移动方法：连续向左移动次，再向右移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左连续移动2次；连续向左移动4次，再向右移动1次，最后向左连续移动3次；连续向左移动3次，再向右移动1次，最后向左连续移动4次；连续向左移动2次，再向右移动1次，最后向左连续移动5次；向左移动1次，再向右移动1次，最后向左连续移动6次；先向右移动1次，再向左连续移动7次； 故， 综上所述，满足条件的点的移动方法共有种； （4）解：不能，理由如下： 设点向左移动次，向右移动次，则点移动了次， ∴， ∴， 设点向左移动了次，则向右移动了次， ∴， ∴， ∵、、均为正整数， ∴不符合题意， ∴点和点经过相同次数的移动后，不能同时到达原点． 28．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）． (2)当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值． (3)若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)存在，，定值为 【知识点】整式加减中的无关型问题、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】（1）设点表示的数为，则点表示的数为，再根据两点之间的距离列方程求解即可得到，然后根据点A和点C相距个单位长度，可知点C表示的有理数，最后根据动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒，可得点P表示的数； （2）分两种情况：当点P在点B左边时和当点P在点B右边时，结合P、B两点之间相距个单位长度，列出方程求解即可得到答案； （3）分别表示出，，，，再根据为一个定值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设点表示的数为，则点表示的数为， 点和点间距个单位长度， ， 解得， 点表示的有理数是；点表示的有理数是， ， 点表示的有理数是， 动点从点出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒， 点表示的数是， 故答案为：，，； （2）解：当点在点左边时，， 、两点之间相距个单位长度， ，解得， 当点在点右边时，， 、两点之间相距个单位长度， ，解得， 当或秒时，、两点之间相距个单位长度， （3）解：存在常数，使得为一个定值， 理由如下： 由题意可知，点表示的数为；点表示的数为；点表示的数为， ，，， ， 要使得为一个定值， ，解得， ， ，这个定值为． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，相反数，数轴上的动点问题，弄清并表示线段的长是解题的关键． 29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，则表示的点与数表示 的点重合； (3)操作三：在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示），若得到的这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？ 【答案】(1)3 (2)7 (3)折痕处对应的点所表示的数可能是或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的应用，本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想． （1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出与3重合； （2）根据对称性找到折痕的点为2，可以得出与7重合 （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵表示的点1与表示的点重合， ∴折痕为原点O， ∴表示的点与3表示的点重合， 故答案为：3； （2）解：∵折叠纸面使1表示的点与3表示的点重合， ∴折痕表示的点为2， ∴表示的点与数表示7的点重合， 故答案为：7． （3）解：设折痕处对应的点所表示的数是x， 如图1，当时，    设，则， ∴，解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 如图2，当时，    设， ∴， 解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 如图3，当时，    设， ∴， 解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或． 30．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如，如图所示的数轴上，点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时B是点A，C的“关联点”． (1)若点A表示数，点B表示数1，且，2，4，6所对应的点分别是，，，，其中点______是点A，B的“关联点”． (2)点A表示数，点B表示数14，P为数轴上一个动点． ①若点P在点B的左侧，且P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数． ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数． 【答案】(1)、； (2)①或或；②38或62或26 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴及数轴上两点的距离： （1）通过验证，，，，与A、B点的距离即可； （2）①根据列方程求解； ②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、B为A、P关联点、B为P、A关联点四种可能列方程解答． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴是点A，B的“关联点”； ∵，， ∴不是点A，B的“关联点”； ∵，， ∴， ∴是点A，B的“关联点”； ∵，， ∴不是点A，B的“关联点”． 故答案为：、； （2）①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”， 设点P表示的数为x， （I）当P在点A的左侧时，则有：，即， 解得； （Ⅱ）当点P在A，B之间时，有或，则有：或， 解得或． 综上，点P表示的数为或或； ②若点P在点B的右侧， （I）若点P是A，B的“关联点”，有 ，则有：， 解得 ； （II）若点B是A，P的“关联点”， 则或，则有：或， 解得 或； （Ⅲ）若点A是B，P的“关联点”则，则有：， 解得 ． 综上，点P表示的数为38或62或26． 考点04 利用一元一次方程解决新定义问题 31．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知a给定的整数，记．若，则a的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、绝对值的几何意义 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键．根据绝对值的性质得到当时，，当时，，于是得到结论． 【详解】解：当时，，当时，， ，说明， ， 故选：C． 32．（24-25七年级上·浙江·期中）十九世纪与两人发明了“一棵树”，称之为“有理数树”，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，图中所表示的数为 ；若数（，均为正整数）位于第9层，且，则表示的数为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了数的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图可知，，计算可求，由图可知向右发散的都是真分数，规律为：；向左发散的都是假分数，规律为：；由，可知，为真分数，则与在同一层，同一分支上的数为，可知第8层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为，同理可得，第7层的数为，第6层的数为，第5层的数为，由图可知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由图可知，， 解得，； 向右发散的都是真分数，规律为：；向左发散的都是假分数，规律为：； ∵， ∴，为真分数， ∴与在同一层，同一分支上的数为， ∴第8层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为， 第7层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为， 第6层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为， 第5层的数为， 由图可知，， 解得，， ∴， 故答案为：，． 33．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）用表示大于的最小整数，例如，，．用表示，两数中较大的数，例如，按上述规定， ① ． ②如果整数满足，则的值是 ． 【答案】 12或 【知识点】有理数大小比较、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查有理数的大小比较，一元一次方程的求解，关键是掌握题目中的规定，并分情况讨论． （1）根据新定义解答即可； （2）按照题目的规定，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：① 故答案为： ； ②是整数， ， 若，则， ， ， 此时符合题意． 若，则， ， ． 此时符合题意． 的值是12或． 34．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）定义，若，则x的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了解一元一次方程，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义将化为普通方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 即， 解得：． 故选：C． 35．（24-25七年级上·浙江温州·期中）规定：若有理数a，b满足，则a叫做b的“差积数”．例如：，那么1是的“差积数”；，所以不是1的“差积数”．请根据上述规定解答下列问题： (1)填表： 有理数x 3 4 5 x的“差积数” (2)一个有理数的“差积数”等于这个数本身，求这个有理数； (3)若m为正整数，记，，，…，这2 024个数的“差积数”的积为A，试猜想A的值（用含有m的式子表示），并给出合理的猜想过程． 【答案】(1)；2 (2)0 (3)，过程见解析 【知识点】数字类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，新定义运算，熟练掌握新定义是解此题的关键． （1）设的“差积数”为，设“差积数”为的有理数为，再结合“差积数”的定义列方程求解即可； （2）设这个有理数为，由“差积数”的定义可得，求解即可； （3）设的“差积数”为c，由“差积数”的定义可得的“差积数”是，同理，的“差积数”是，…，的“差积数”是，再分别计算出前两项、前三项的积，得出规律，结合规律即可得解． 【详解】（1）解：设的“差积数”为，设“差积数”为的有理数为， 由题意可得：，， 解得：，； 故答案为：；2 （2）解：设这个有理数为， 由题意可得， 解得． （3）解：设的“差积数”为c， 由题意可得， 解得， 所以的“差积数”是， 设的“差积数”是， 由题意可得：， 解得：， ∴的“差积数”是， 同理可得，的“差积数”是，的“差积数”是， …， ∴的“差积数”是， ∵，， ， …， ∴， ∴当时，． 36．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程” (1)判断：________（填“是”或“不是”） 的“优雅方程”． (2)若方程与关于x的方程互为“优雅方程”，求a的值． (3)若两个关于x的方程（m为正整数）与（n为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的m、n的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或或或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、倒数、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）解已知条件中的两个一元一次方程，然后根据“优雅方程”的定义进行判断即可； （2）先解已知条件中的两个方程，根据新定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先解含有字母参数的两个方程，然后根据新定义，列出关于m，n的方程，解方程即可． 本题主要考查了一元一次方程的解，倒数，其他应用，解题关键是熟练掌握已知条件中的新定义． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：， 则， 移项得， ∴， 解得， ∵和是互为倒数， ∴是方程的“优雅方程”， 故答案为：是； （2）解：依题意，， 去括号得， ∴， 解得， ∴， ∴， 则， ∴， 则， ∵方程与关于x的方程互为“优雅方程”，且的倒数是， ∴， ∴， 解得； （3）解：依题意，， ∴， ∴， 依题意，， ∴， ∴， ∵关于x的方程与互为“优雅方程”， ∴， ∴， ∴， ∵m为正整数，n为负整数， ∴ 或； 或； 或； 综上可知：或或或； 37．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务 【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如下图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足． 【素材2】 通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如下图所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”． 【任务1】在“灵动数轴”中，________，________，________． 【任务2】 折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【任务3】 点D落在“阶梯坡面”上，．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值． 【答案】任务1：，；任务:2：4；任务3：或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】任务1：利用非负数的性质解答即可； 任务2：利用对称性求得折痕处对应的数为0.5，则利用点对应的数距离0.5的长度为3.5解答即可； 任务3：利用题意得到的取值范围为，利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：当时，此时点，都在做上坡运动，①当点在点下方时，利用含的代数式表示出线段，，依据已知条件列出关于的方程解答即可；②当点在点上方时，利用①的方法列方程解答即可；当时，此时点在做上坡运动，点做下坡运动，①当点在点下方时，利用含的代数式表示出线段，，依据已知条件列出关于的方程解答即可；②当点在点上方时，利用①的方法列方程解答即可． 【详解】解：任务1：， ， ，，， ，，． 故答案为：；7；； 任务2：点与点重合， 折痕处对应的数为， 与点重合的点所表示的数为． 任务3：，点表示的数为7， 点表示的数为0， 点从点出发，以1个单位长度秒的速度“上坡”至终点，当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动， ． 点在“阶梯坡面”上运动，，点从点出发，以3个单位长度秒的速度向点运动， ． 当时，此时点，都在做上坡运动， ①当点在点下方时， 由题意得：， ，， ， ， ， ． ②当点在点上方时， 由题意得：， ，， ， ， ， （大于6，不合题意舍去）． 当时，此时点在做上坡运动，点做下坡运动， 由题意得：，， ． ①当点在点下方时， ， ， ， ． ②当点在点上方时， ， ， ， （小于6，不合题意舍去）． 综上，当点在“阶梯坡面”上运动时，满足，的值为秒或秒． 【点睛】本题主要考查了数轴，非负数的应用，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，利用已知条件正确列出方程是解题的关键． 38．（24-25七年级上·浙江·期中）【阅读】 点是数轴上的三个点，若点到点的距离是点到点的距离的（为正整数）倍，则称点是的倍关联点．如图，数轴上点分别表示数，2和3，因为点到点的距离是3个单位，点到点的距离是1个单位，所以点是的3倍关联点，但点不是的3倍关联点． 【理解】 若点表示的数为1，则点______（填“是”或“不是”）的1倍关联点．点是的______倍关联点． 【应用】 （1）若数轴上点表示的数为，且点是的2倍关联点，求的值． （2）若数轴上有一点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．当运动秒时，点是的倍关联点，请用含的代数式表示时间．（直接写出答案即可） 【答案】理解：是，2；应用：（1）①当点在点之间时，；②当点在点右边时，；（2）①当点在点之间时，；②当点在点右边时， 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查新定义、数轴上两点间的距离公式、一元一次方程、列代数式． 理解：先分别得出点到点的距离，再根据新定义解答即可； 应用：（1）分两种情况：①当点在点之间，②当点在点右边，由点是的2倍关联点，列关于的一元一次方程，解方程即可； （2）分两种情况：①当点在点之间，②当点在点右边，由点是的倍关联点，列关于和的等式，再用含的代数式表示时间即可． 【详解】解：理解：若点表示的数为1，则点到点的距离是2个单位，点到点的距离是2个单位，点到点的距离是1个单位， ∴点是的1倍关联点，点是的2倍关联点， 故答案为：是，2； 应用： （1）分以下两种情况： 当点在点之间时，则，， ∵点是的2倍关联点， ∴，即， 解得：； 当点在点右边时，则，， ∵点是的2倍关联点， ∴，即， 解得：； ∴的值为或7； （2）当运动秒时，点表示的数为：， 分以下两种情况： 当点在点之间时，则，， ∵点是的倍关联点， ∴，即， 解得：； 当点在点右边时，则，， ∵点是的倍关联点， ∴，即， 解得：； ∴当点在点之间时，；当点在点右边时，． 39．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】(1)18.5秒 (2) (3)14.5或19.5 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴， （1）利用时间路程速度，即可求出结论； （2）求出点运动到点所需时间，当时，利用点表示的数点表示的数点在线段段的运动速度（运动时间，即可用含的代数式表示出点表示的数； （3）由，及的长，可得出共有2种情况，当点在点和点之间，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值；当点在点的右侧，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得： （秒）； 答：动点从点运动至点需要18.5秒； （2）解：动点从点运动至点需要的时间为： （秒）， 运动t秒至点B和点C之间时，点P表示的数为： ， ∴当时，点表示的数为， 当动点运动至点和点之间时，点表示的数为； （3）解：，，， 共2两种情况． 当点在点和点之间，即时，点表示的数为， ，， ∴， 解得：； 当点在点的右侧，即时，点表示的数为， ，， ， 解得：． 答：动点的运动的时间是14.5秒或秒． 40．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     【答案】（1）是； （2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0． （3），，，，， 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”； （2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可． （3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可． 【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”． 故答案为：是． （2）设C点表示的数为x， ①若C为中点，即， 则， 解得． ②若， 则， 解得， ③若， 则， 解得． 综上，C点表示的数为10或20或0． （3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为． P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即时， ， 解得． ③， ， 解得， P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即， ， 解得． ③， ， 解得． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，和一元一次方程解行程问题．正确的用含有t的代数式表示出P、Q所表示的数，掌握分类讨论是解题的关键． 板块三：（45分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可求解，熟记：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，故符合题意； B、有两个未知数，不是一元一次方程，故不符合题意； C、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，故不符合题意； D、含不是整式的项，不是一元一次方程，故不符合题意； 故选：A． 2．下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查的是等式的基本性质，掌握移项变号，是解题的关键．根据等式的基本性质，进行移项，合并同类项，系数化“1”逐一判断即可． 【详解】解∶A．由，两边同除以5，得，变形正确； B．由，两边同乘，得，变形正确； C．由，移项时应将移到左边，得，但选项C写为，符号错误，变形不正确； D．由，移项得，变形正确， 故选∶C． 3．关于的一元一次方程的解是，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的解的应用能力，关键是能准确理解并运用一元一次方程的解．将代入该方程进行求解即可． 【详解】解：将代入方程，得 ， 解得， 故选：D． 4．解方程，去括号的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号法则的应用，去括号法则：当括号前是正号时，去掉括号后，括号内的各项符号不变，当括号前为负号时，去掉括号后，括号内的各项符号要变号．掌握去括号法则是解题的关键．根据去括号法则去括号即可． 【详解】解：去括号，， 故选：D． 5．把方程去分母正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程去分母的计算，掌握去分母的方法，等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，等式两边同时乘以公分母，不能漏项，由此即可求解． 【详解】解：方程去分母， 等式两边同时乘以得，， 故选：A ． 6．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出k的值是解此题的关键．把代入方程求出k的值，确定出正确的方程，求出解即可． 【详解】解：根据题意，是方程的解， ∴， 解得：， 则原方程为：， 解得：， 故选：A 7．关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、以及两个方程同解的问题．先通过移项、合并同类项、系数化为1求出方程的解，再将x的值代入方程可得一个关于m的方程，求解即可． 【详解】解： ， 关于x的方程与的解相同， ，即， 解得：， 故选：D． 8．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知足．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，”若设有牧童人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键根据题意．设有牧童人，根据竹竿的总数不变即可列出方程． 【详解】解：设有牧童人， 则， 故选：A． 9．按下图方式摆放餐桌和椅子： 按照上图的方式继续摆放餐桌和椅子，若摆放张桌子时摆了张椅子，则(    ) A．46 B．47 C．48 D．49 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解一元一次方程，注意结合图形进行观察，发现数字之间的运算规律，利用规律解决问题．第一张餐桌上可以摆放把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放把椅子．第张餐桌共有． 【详解】解：有张桌子时有把椅子， 有张桌子时有把椅子，， 有张桌子时有把椅子，， 多一张餐桌，多放把椅子， 第张餐桌共有． 当时， 解得：， 故选：C． 10．如图，已知点A在数轴上表示的数为．点M以每秒4个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从原点O出发沿数轴向右运动，当点M、N到原点O的距离相等时，点M、N运动的时间为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点，一元一次方程的实际应用，解题的关键是分类讨论． 分两种情况：①点、在点的两侧时，②点、重合时，分别列方程求解即可． 【详解】解：设经过秒，点、点分别到原点的距离相等， 点表示的数是，点表示的数是， ①点、在点的两侧时，， 解得：， ②点、重合时，， 解得：， ∴经过或，点、点分别到原点的距离相等， 故选：C． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11．已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数．未知数的最高次数为1且两边都为整式的方程，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ． 故答案为：． 12．如果代数式的值与的值相等，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，利用的值与的值相等，列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 13．一件商品按进价提高后标价，然后打折出售，售价为元．这种商品的成本是 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这种商品的成本是元，根据按进价提高后标价，然后打折出售，售价为元，可列方程：，解方程求出的值即可． 【详解】解：设这种商品的成本是元， 根据题意可得：， 解得：， 答：这种商品的成本是元． 故答案为： ． 14．如果与的值互为相反数，则 ． 【答案】4 【分析】根据相反数的定义，得，解方程即可． 本题考查了相反数，一元一次方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 解得． 故答案为：4． 15．“”表示一种运算，定义：，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，解决本题的关键是根据新运算的规则，把转化为一般的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：， ， 解得：． 故答案为： ． 16．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是他很快就补好了这个常数，这个常数应是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解求参数，把代入方程，再解一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：把代入， 则， 解得：， 则常数为2， 故答案为：2 17．若一列火车匀速行驶，经过一条长米的隧道需要秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是秒，则这列火车长 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设出合适的未知数、正确列出一元一次方程是解答本题的关键． 设这列火车长米，然后根据题意列一元一次方程解答即可． 【详解】解：解：设这列火车长米， 由题意可得：， 解得． 故答案为：． 18．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合：若数轴上A、B两点之间的距离为12（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；设表示1的点与表示的点的连线段的中点表示的数为，由数轴上两点之间的距离得，即可求解；能熟练利用数轴上两点之间的距离求解是解题的关键． 【详解】解：设表示1的点与表示的点的连线段的中点表示的数为，则有： ， 解得：， 数轴上A、B两点之间的距离为12， ， 到表示的点的距离为， 点表示的数为， 故答案为：． 19．如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为和1．现将纸片进行分割，每次割一刀且每次分割都能产生至少一个正方形，现分割三次后恰好能把这个长方形全部分割成正方形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据分割三次后恰好能把这个长方形全部分割成正方形，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 的值为． 故答案为：． 20．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，由方程得，设，则方程可转化为，即可得，据此即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则方程可转化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴方程， 故答案为：． 三、解答题（本题共4小题，共40分） 21．（本题10分）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 22．（本题10分）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 23．（本题10分）某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费． (1)李明家上个月用水，他上个月应交水费多少元？ (2)若当月用水量为（），请你用含的式子表示当月所付水费金额； (3)如果王鹏家月份所交水费的平均价为每立方米元，那么王鹏家月份用水多少立方米？请你设未知数列方程完成此问． 【答案】(1)92.5元； (2)当月所付水费金额为元； (3)50立方米． 【分析】（1）根据收费标准计算即可； （2）根据题意列式即可； （3）根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（元） 答：他上个月应交水费92.5元． （2）解：∵当月用水量为（）， ∴当月所付水费金额为元； （3）解：根据题意，得 解得 答：王鹏家12月份用水50立方米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数运算的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由水费找出合适的等量关系列出方程，再求解． 24．（本题10分）已知数轴上三点对应的数分别为，点P位数轴上任意一点，其对应的数为x，点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为． (1)若，则 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发，设运动时间为t秒，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)的值不会随着的变化而变化 【分析】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． （1）结合数轴，进行求解即可； （2）分点P在点A左侧，点P在线段上，点P在点B右侧三种情况，列出方程进行求解即可； （3）分别表示出和，代入计算即可得到结论． 【详解】（1）解：由数轴可得： 若， 则， 故答案为：； （2）解：①分种情况： ①若点在点左侧， ∵， ∴， ∴， ②若点在点右侧， ∵， ∴， ∴， ③若点在线段上， ∵， ∴， 这与题目条件矛盾 ∴综上所述的值为或； ②分种情况： ①若点在点左侧， ，不符合题意舍去； ②若点在点右侧， ，不符合题意舍去； ③若点在线段上， ∵， ∴， 解得 ∴综上所述的值为； （3）解：不会，理由为： ，， ∴， ∴的值不会随着的变化而变化． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上学期数学同步培优专题突破 专题03 一元一次方程 目录 板块一： 1 板块二： 4 考点01 一元一次方程的解法 4 考点02 一元一次方程的实际应用 6 考点03 利用一元一次方程解决数轴动点问题 11 考点04 利用一元一次方程解决新定义问题 16 板块三：（45分钟） 21 板块一： 知识点1：方程的概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点2：等式的基本性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　 （1）基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. （2）基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. 名师点拨 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式基本性质2中，这一条件必不可少。 知识点3：一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 名师点拨 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： 1. 是一个方程; 1. 必须只含有一个未知数; 1. 含有未知数的式子都是整式; 1. 未知数的次数都是1． 2.一元一次方程的解法： 步骤 数学依据 具体做法 注意事项 1.去分母 等式性质2 方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 2.去括号 去括号法则 去括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 3.移项 等式性质1 含有未知数项都移到方程左边，常数项都移到右边 移项要变号 4.合并同类项 合并同类项法则 把方程化成的形式 系数相加减，其他都不变 5.系数化成1 等式性质2 方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 不要把分子、分母写颠倒 名师点拨 解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减． 知识点4：用一元一次方程解决实际问题 1.列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 名师指点 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2.常见一元一次方程应用题类型： (1)行程问题 ①三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　②基本类型有： 　 相遇（或相向）问题： A．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 B．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题：A．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 B．寻找相等关系： 1. 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 1. 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：A．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； B．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （2）工程问题 三个基本量间的关系：工作效率×工作时间=工作总量；“一般把总工作量设为1”； 3．利润问题 常用数量关系如下： （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 4．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 板块二： 考点01 一元一次方程的解法 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）解下列方程： (1)； (2)． 4．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）解下列方程： (1)； (2)． 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）解下列方程： (1)； (2)． 6．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）解方程． (1)； (2)． 7．（23-24七年级上·浙江台州·期中）解方程 (1) (2) 8．（23-24七年级上·浙江台州·期中）解方程： (1) (2) 9．（23-24七年级上·浙江台州·期中）用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 考点02 一元一次方程的实际应用 11．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有x两银子，根据题意可列方程（  ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为和1．现将纸片进行分割，每次割一刀且每次分割都能产生至少一个正方形，现分割三次后恰好能把这个长方形全部分割成正方形，则的值为 ． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，爱动脑筋的琪琪同学设计了一种“幻圆”游戏，将，3，，7，，11，，15 分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将7，11，，15这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为a（且）和1．现将纸片按如下方式操作：第一次分割出一个最大的正方形，第二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形，依次操作后恰好能把这个长方形分割成四个正方形且无剩余，则a的值为 ． 15．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索未完成的任务． 宁波市居民住宅生活用水阶梯式价格计费探索卡 素材1 生命之花在呵护下绽放，生命之水因节约而永流．为增强公民节水意识，宁波市水费采用“阶梯收费”，另外还需缴纳污水处理费为1元/吨． 素材2 宁波市居民住宅生活用水阶梯式价格计费方式如下： 第一阶梯：用水量不超过17吨的部分，水费为2元/吨． 第二阶梯：用水量超过17吨不超过30吨的部分，水费为4元/吨． 第三阶梯：用水量超过30吨的部分，水费为10元/吨． 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知陈老师家9月份所缴水费中，自来水费为66元，求陈老师家9月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定总费用 （水费+污水处理费） 若陈老师家10月份用水35吨，则应缴费多少元？ 若陈老师家10月份用水吨，应缴费多少元？ 16．（24-25七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材完成任务． 温州杨梅有着丰富的历史文化、多样的品种、广泛的种植区域以及较高的经济价值．家住茶山的小温一家种植了一些的杨梅树，在每年杨梅成熟的时节，除了自家食用之外，其余的都要运到市场进行销售．正值周末，小温同学也想为家里的杨梅销售贡献自己的一份力量． 素材1 已知当地杨梅售价为30元/千克．本周六，小温家一共采摘了10筐杨梅进行销售，每筐以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示： 与标准质量的差值 （单位：千克） 0.3 0.2 0.1 筐数 1 3 2 2 2 素材2 据了解，当地快递公司收费标准：浙江省内，首重1千克以内10元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，物件超过20千克则需要额外支付包装费8元． 素材3 杨梅种植成本主要有： 1．肥料和农药成本：在杨梅生长过程中，需要施肥和喷洒农药．一年肥料和农药大概花费3000元． 2．劳动力成本：包括修剪、采摘等环节的人工费用，每人每天150元． 任务1 小温跟着家人一起去市场帮忙售卖，请求出小温一家售出这10筐杨梅的实际收入是多少元？ 任务2 第二天，小温又采摘了22.8千克杨梅，准备通过快递邮寄的方式送给她的同学小周，请帮小温算算，她需要支付给快递员多少邮费？ 任务3 本年采摘时间即将结束，小温想帮家里算一算今年售出了多少千克的杨梅．由于某些原因，小温只知道今年的销售利润为12450元（销售利润销售收入成本），另外本年请了2个修剪工人工作了3天，请了3个采摘工人工作了6天，则小温一家今年售出了多少千克杨梅？ 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）长为2，宽为a的长方形纸片，用如图所示的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第一次操作）；再把剩下的长方形用同样的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的纸片为正方形，则操作终止．当时，求a的值． 18．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某市出租车收费标准如下：以内（含）收费11元；至每收费3元；以上每收费4元．（不足以计算） (1)小明家距离学校，某个周末，小明身边带了39元钱，问：小明从学校坐出租车到家的钱够吗？如果不够，他至少要先走多少路？ (2)某天，小明和爸爸分别从不同的地方坐出租车回家，正好同时到家，且正好都行了整，父子俩一合计，发现两人共行，共付车费67元，已知小明的行程超过，而父亲的行程在到之间，两人各行了多少？ 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）一家书店推出一项优惠政策，凡购买同一种书100本以上，就按书价的收款．某校到书店购买甲､乙两种书，购得乙种书的册数是甲种书的，甲种书的总价比乙种书的总价高720元．已知乙种书每本15元，甲种书每本20元．学校购得甲种书多少本？ 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每年12月份陶山甘蔗进入销售旺季．某水果店购进陶山甘蔗60箱，每箱成本8元，标价20元．在售出一部分后，准备进行优惠促销，小美和小乐分别设计了以下方案： 促销方案 小美 每箱15元 小乐 每箱打7折 (1)按小乐的方案，若促销前卖出20箱，则全部售出后可以获得多少利润？ (2)按小美的方案，设促销前卖了x箱，用含x的代数式表示售完陶山甘蔗所获得利润． (3)按原价售出30箱后，该水果店决定进行组合促销；剩下甘蔗3箱打包成一组，打折出售，每组售出时还赠送1个小礼品．为了使总利润为600元，请你在给出的表格中设计一个销售方案： 标价 折扣 现价 礼品成本 甘蔗 20元／箱 折 元／箱 6元／个 考点03 利用一元一次方程解决数轴动点问题 21．（24-25七年级上·浙江温州·期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为多少？ (2)当取最小值时，可以取正整数 　　；最大值为 　　； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和超市，居民区、、分别位于超市左侧，右侧，右侧．为了提升消费者体验，超市现需要在该公路上建造同城快送驿站，用于运送这3个小区的快递，需送3千份快递至小区，1千份快递至小区，2千份快递至小区．若快递的运输成本为每千米1元千份，该驿站建在某处时能使总运输成本最低，则该最低成本为 　　元． 22．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒17个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)__________； (2)当点P，Q停止运动时，求点P表示的数； (3)在整个运动过程中，当点P与点Q重合时，求t的值． 23．（24-25七年级上·浙江温州·期中）综合实践： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，且a、b、c使得与互为同类项．动点P从点A出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点P运动的时间为t秒． (1)填空：_______，点P在数轴上所表示的数为_______（用含t的代数式表示）； 操作一： (2)以点P为折点，折叠纸面，使A，C两点重合，此时_______； 操作二： (3)以点P为折点，折叠纸面，若折叠后A，C两点之间的距离为1，求此时点P所表示的数； 操作三： (4)以点P为折点，折叠纸面，再将第一次折叠后的纸片沿某点继续折叠，使得A，C两点重合，且点B与数轴上的数11重合，此时_______． 24．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（）． (1)写出数轴上点A表示的数为________，点B表示的数为________，点P表示的数为________（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发． ①当t为何值时，点P、Q两点到原点的距离相等？ ②式子的值不随时间t的变化而变化，请求出m的值． 25．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，、两点在数轴上对应的数分别是，32，动点从点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位/秒的速度向左运动，动点从原点出发以单位/秒的速度向左运动（），三个动点同时出发，设运动时间为． (1)当秒时，点对应的数为_________，点对应的数为_________，点对应的数为________． (2)请用含或的代数式表示：动点对应的数为__________，动点对应的数为_________，动点对应的数为_________． (3)规定点到点的距离表示，点到点的距离表示为． ①若，求在运动过程中出现情况的时间． ②若在运动过程中，恰好只有一次的情况，请直接写出满足条件的值或的取值范围是_________． 26．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴是初中数学中一个重要的工具，现数轴上有一点A表示的数为，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动的时间为t秒（）． (1)则A、B两点之间的距离　　　，到A、B两点距离相等的点表示的数是　　　． (2)求当t为何值时，． (3)折叠数轴使点P与Q重合，折点记为M，还原后再折叠数轴使点B与Q重合，折点记为N，点P和点Q在运动过程中，线段的中点E的位置是否发生变化？若不变，请求出线段的中点E表示的数；若改变，请说明理由． 27．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上有A，B两点，A，B之间距离为21，原点O在A，B之间，O到A的距离是O到B的距离的两倍． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____； (2)点A、点B和点P（点P初始位置在原点O）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，2个单位长度每秒，则经过多少秒，点P到点A与点B的距离相等？ (3)点B沿着数轴移动，每次只允许移动1个单位长度，经过8次移动后，点B与原点O相距1个单位长度．满足条件的点B的移动方法共有多少种？ (4)点A和点B同时沿着数轴移动，两点每次均只允许移动1个单位长度．请判断点A和点B经过相同次数的移动后，能否同时到达原点O？如果能，请给出点A和点B各自的移动方法；如果不能，请说明理由． 28．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：数轴上有，，三点 (位置如图所示) ，点和点相距个单位长度且点，表示的有理数互为相反数，点A和点C相距个单位长度，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的有理数是 ，点表示的有理数是 ，点表示的数是 （用含的式子表示）． (2)当、两点之间相距10个单位长度时，求t的值． (3)若点A、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，若两点间的距离用表示两点的大写字母表示，如： 点 A，P两点间的距离表示为，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，则表示的点与数表示 的点重合； (3)操作三：在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示），若得到的这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？ 30．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如，如图所示的数轴上，点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时B是点A，C的“关联点”． (1)若点A表示数，点B表示数1，且，2，4，6所对应的点分别是，，，，其中点______是点A，B的“关联点”． (2)点A表示数，点B表示数14，P为数轴上一个动点． ①若点P在点B的左侧，且P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数． ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数． 考点04 利用一元一次方程解决新定义问题 31．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知a给定的整数，记．若，则a的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 32．（24-25七年级上·浙江·期中）十九世纪与两人发明了“一棵树”，称之为“有理数树”，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，图中所表示的数为 ；若数（，均为正整数）位于第9层，且，则表示的数为 ． 33．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）用表示大于的最小整数，例如，，．用表示，两数中较大的数，例如，按上述规定， ① ． ②如果整数满足，则的值是 ． 34．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）定义，若，则x的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 35．（24-25七年级上·浙江温州·期中）规定：若有理数a，b满足，则a叫做b的“差积数”．例如：，那么1是的“差积数”；，所以不是1的“差积数”．请根据上述规定解答下列问题： (1)填表： 有理数x 3 4 5 x的“差积数” (2)一个有理数的“差积数”等于这个数本身，求这个有理数； (3)若m为正整数，记，，，…，这2 024个数的“差积数”的积为A，试猜想A的值（用含有m的式子表示），并给出合理的猜想过程． 36．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程” (1)判断：________（填“是”或“不是”） 的“优雅方程”． (2)若方程与关于x的方程互为“优雅方程”，求a的值． (3)若两个关于x的方程（m为正整数）与（n为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的m、n的值． 37．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务 【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如下图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足． 【素材2】 通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如下图所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”． 【任务1】在“灵动数轴”中，________，________，________． 【任务2】 折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【任务3】 点D落在“阶梯坡面”上，．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值． 38．（24-25七年级上·浙江·期中）【阅读】 点是数轴上的三个点，若点到点的距离是点到点的距离的（为正整数）倍，则称点是的倍关联点．如图，数轴上点分别表示数，2和3，因为点到点的距离是3个单位，点到点的距离是1个单位，所以点是的3倍关联点，但点不是的3倍关联点． 【理解】 若点表示的数为1，则点______（填“是”或“不是”）的1倍关联点．点是的______倍关联点． 【应用】 （1）若数轴上点表示的数为，且点是的2倍关联点，求的值． （2）若数轴上有一点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．当运动秒时，点是的倍关联点，请用含的代数式表示时间．（直接写出答案即可） 39．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 40．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）． 板块三：（45分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．关于的一元一次方程的解是，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 4．解方程，去括号的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．把方程去分母正确的是（  ） A． B． C． D． 6．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 7．关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 8．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知足．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，”若设有牧童人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．按下图方式摆放餐桌和椅子： 按照上图的方式继续摆放餐桌和椅子，若摆放张桌子时摆了张椅子，则(    ) A．46 B．47 C．48 D．49 10．如图，已知点A在数轴上表示的数为．点M以每秒4个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从原点O出发沿数轴向右运动，当点M、N到原点O的距离相等时，点M、N运动的时间为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11．已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 12．如果代数式的值与的值相等，那么 ． 13．一件商品按进价提高后标价，然后打折出售，售价为元．这种商品的成本是 元． 14．如果与的值互为相反数，则 ． 15．“”表示一种运算，定义：，如果，那么 ． 16．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是他很快就补好了这个常数，这个常数应是 ． 17．若一列火车匀速行驶，经过一条长米的隧道需要秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是秒，则这列火车长 米． 18．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合：若数轴上A、B两点之间的距离为12（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为 ． 19．如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为和1．现将纸片进行分割，每次割一刀且每次分割都能产生至少一个正方形，现分割三次后恰好能把这个长方形全部分割成正方形，则的值为 ． 20．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 三、解答题（本题共4小题，共40分） 21．（本题10分）解下列方程： (1) (2) 22．（本题10分）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 23．（本题10分）某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费． (1)李明家上个月用水，他上个月应交水费多少元？ (2)若当月用水量为（），请你用含的式子表示当月所付水费金额； (3)如果王鹏家月份所交水费的平均价为每立方米元，那么王鹏家月份用水多少立方米？请你设未知数列方程完成此问． 24．（本题10分）已知数轴上三点对应的数分别为，点P位数轴上任意一点，其对应的数为x，点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为． (1)若，则 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发，设运动时间为t秒，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $