15.1.2线段的垂直平分线第2课时教学设计2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.1.2线段的垂直平分线 第2课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学八年级（上册）第十五章“轴对称”的第一节。内容包括线段垂直平分线的性质定理的逆定理（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），以及利用该逆定理和性质定理解决实际问题（如尺规作图：过一点作已知直线的垂线、作线段的垂直平分线解决最短路径等问题）。 （二）教学内容解析 线段垂直平分线的逆定理是对性质定理的补充，二者共同构建了线段垂直平分线的完整判定与性质体系，是轴对称图形的核心知识点之一。 从数学逻辑来看，该逆定理是性质定理的“逆命题”，通过证明逆命题成立，能帮助学生理解“性质与判定”的互逆关系，培养逻辑推理能力。 从应用角度，逆定理是尺规作图、解决最短路径问题（如“将军饮马”模型基础）的关键依据，也是后续学习等腰三角形、圆等知识的重要铺垫。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】：能用尺规作已知线段的垂直平分线. 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 掌握线段垂直平分线逆定理的内容及证明方法；能运用逆定理和性质定理完成尺规作图（过一点作已知直线的垂线）；会解决简单的与线段垂直平分线相关的实际问题。 2.通过“猜想—证明—应用”的过程，培养逻辑推理能力和动手操作能力；通过小组讨论实际问题，提升合作探究与知识迁移能力。 3.感受数学与生活的联系，体会数学的严谨性；在解决问题的过程中，增强学习数学的自信心和成就感。 （二）教学目标解析 1. 达成“知识与技能”目标的标志：学生能独立说出逆定理内容，完整书写证明过程；能规范使用圆规和直尺完成过一点作已知直线的垂线；能正确分析“找到线段两端距离相等的点”类问题，并给出解决方案。 2. 达成“过程与方法”目标的标志：学生能主动提出逆定理的猜想，通过三角形全等证明猜想；在小组合作中，能清晰表达自己的思路，并借鉴他人方法完善解题过程。 3.达成“情感态度与价值观”目标的标志：学生在解决“如何确定超市位置（到三个小区距离相等）”等实际问题时，能积极参与，主动分享解题思路，感受到数学的实用价值。 三、学生学情分析 1. 已有知识基础 学生已学习线段垂直平分线的性质定理（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），掌握了三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA等），具备基本的尺规作图能力（如作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角）。 2. 存在的难点 对“性质定理”与“逆定理”的逻辑关系理解不透彻，容易混淆“判定”和“性质”的应用场景（如误将“到线段两端距离相等”当作“点在线段垂直平分线上”的性质，而非判定）。 尺规作图中，“过直线外一点作已知直线的垂线”的作图原理（利用逆定理：找两个到直线上两点距离相等的点，确定垂线）难以自主推导。 应用逆定理解决实际问题时，无法快速将“距离相等”的条件转化为“点在线段垂直平分线上”的几何模型。基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】运用尺规作图的方法解决简单的作图问题. 四、教学策略分析 1. 情境导入策略 通过生活实例（如“学校要建一个饮水站，使它到教学楼A和教学楼B的距离相等，饮水站应建在何处？”）导入，引发学生思考，自然引出“到线段两端距离相等的点的位置”问题，激发探究逆定理的兴趣。 2. 定理探究策略 采用“猜想—验证—证明”三步法： 引导学生根据性质定理的逆命题，提出“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”的猜想； 让学生通过画图验证（在平面内找多个到线段AB两端距离相等的点，观察这些点的位置关系）； 组织学生利用三角形全等（SSS）证明猜想，明确逆定理的正确性。 3. 尺规作图教学策略 采用“示范—讲解—模仿—总结”模式： 教师先规范演示“过直线外一点作已知直线的垂线”，边操作边讲解作图原理（利用逆定理，找两个到直线上两点距离相等的点）；学生模仿操作，教师巡视指导，纠正作图误区（如圆规半径不足导致交点无法画出）；师生共同总结作图步骤，强化“逆定理”在作图中的应用逻辑。 五、教学过程分析 （一）情境引入 教师展示问题：“学校有两个教学楼A、B，现在要建一个饮水站，要求饮水站到A、B的距离相等，饮水站可以建在哪些位置？” • 学生思考并尝试画图，教师引导学生发现：这些点似乎在一条直线上（即AB的垂直平分线），进而提出问题：“为什么这些点都在AB的垂直平分线上？怎么找到这些店？”引出本节课主题——线段垂直平分线的作法。 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 活动一： 思考 如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线? 分析 由于“两点确定一条直线”，所以作线段的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点，根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可以作出这样的两个点. 作法 如图，已知线段AB. (1)分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD.CD就是线段AB的垂直平分线. 基本尺规作图：作一条线段的垂直平分线. 我们常借助线段的垂直平分线来确定线段的中点. 活动二：你能作出这个五角星的对称轴吗? 分析 由于轴对称图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这个图形的对称轴. 对于图中的五角星， 1.找出它的一对对称点A和A'，连接AA'. 2.作出线段 AA'的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴. 追问 你能作出其他的对称轴吗？ 活动三： 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 分析 假设所求作直线已经作出，则它不仅过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线.我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在直线AB上确定这两点.根据前面关于线段垂直平分线的定理，这两点只需满足与点C的距离相等即可. 作法 如图. (1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E. (2)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. (3)作直线CF，直线CF就是所求作的垂线. 基本尺规作图：过一点作已知直线的垂线. 【例1】已知：线段AB（如图所示）.求作：线段AB的垂直平分线. 【解析】先作AC＝BC，∴点C在AB的垂直平分线上.同理作AD＝BD，∴点D在AB的垂直平分线上，∴CD是线段AB的垂直平分线. 【解】作法：如图所示. （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点. （2）作直线CD，CD就是所求作的垂直平分线. 【例2】如图，在某街道AB的两侧各有一个居民小区C，D，现规划在街道上修建一座过街天桥，使得住在C，D两个小区的居民穿过街道一样方便（到过街天桥路程相同），过街天桥的位置应选在何处？请你用尺规作图，确定天桥的位置P. 【解析】根据线段垂直平分线的尺规作图步骤作出线段CD的垂直平分线EF，EF与AB的交点即为P. 【解】连接CD，分别以C，D两点为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧分别交于点E和点F，连接EF，直线EF交直线AB于点P，点P就是所要修建的过街天桥的位置，如图所示. 【例3】如图，△ABC与△A'B'C'关于某条直线对称，请作出这条直线（保留作图痕迹，不写作法）. 【解析】作出任意一对对应点所连线段的垂直平分线就是图形的对称轴. 【解】如图，根据轴对称的性质，连接对称点BB'，然后作BB'的垂直平分线MN，直线MN即为对称轴. 【方法总结】熟记对称轴是对称点连线的垂直平分线，而且要掌握好线段的垂直平分线的尺规作图的步骤. 【例4】如图，校园内有一条路OA，在这条路旁边有一个新建的餐馆B，学校准备修一条新路连接OA与餐馆B.怎样修最节省成本？请你帮忙画出这条新路（保留作图痕迹，不写作法）. 【解析】（1）任意取一点K，使点K和点B分别在OA的两旁；（2）以点B为圆心，BK的长为半径作弧，交OA于点D和点E；（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；（4）作直线BF，交OA于点G.BG就是所画的这条新路. 【解】如图，线段BG即为所求. （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1.如图，直线CP是AB的垂直平分线且交AB于点P，其中AP＝2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D，E，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下： 甲：作∠ACP，∠BCP的平分线，分别交AB于点D，E，则D，E即为所求； 乙：作AC，BC的垂直平分线，分别交AB于点D，E，则D，E即为所求. 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　） A.两人都正确 B.两人都错误 C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确 2.某大学两个分校区M，N和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示校区，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两校区的距离相等，到两条公路的距离也相等. （1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案（保留画图痕迹，不写画法）. （2）阐述你设计的理由. 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $