15.1.2线段的垂直平分线第1课时教学设计2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.1.2线段的垂直平分线 第1课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学八年级（上册）第十五章“轴对称”的第一节。内容包括线段垂直平分线的定义、性质定理（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）及简单应用。 （二）教学内容解析 本节课是在学生学习轴对称定义的基础上展开，是对轴对称性质的具体深化。线段的垂直平分线是轴对称图形的重要组成部分，其性质定理是后续证明线段相等、构建轴对称图形的关键依据，同时为九年级学习垂直平分线的判定定理、等腰三角形性质等内容奠定基础，在平面几何知识体系中起到承上启下的作用。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】让学生理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定. 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 理解线段垂直平分线的定义，能准确识别线段的垂直平分线。 2. 探索并证明线段垂直平分线的性质定理，能运用定理解决简单的线段相等问题。 3. 经历“观察—猜想—验证—证明”的过程，提升逻辑推理和几何语言表达能力。 （二）教学目标解析 1. 达成“理解定义”目标：学生能说出线段垂直平分线“垂直于线段且平分线段”的两个核心特征，并能在图形中标记出垂直关系和中点。 2. 达成“掌握定理”目标：学生能通过折纸、测量等操作提出“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的猜想，再利用全等三角形证明猜想，最终能规范书写定理的推理过程，并运用定理直接证明两条线段相等。 3. 达成“能力提升”目标：学生在探索定理的过程中，能主动参与动手操作和小组讨论，学会将几何直观转化为逻辑证明，提升分析和解决几何问题的能力。 三、学生学情分析 已有基础：学生已学习轴对称的定义、全等三角形的判定与性质，具备初步的几何观察和简单推理能力，能使用直尺、圆规进行基本作图，为探索线段垂直平分线的性质提供了知识和技能支撑。 潜在困难： 容易混淆“线段的垂直平分线”与“过线段中点的直线”，忽略“垂直”这一关键条件。 从“动手操作的直观结论”过渡到“严谨的几何证明”时，可能存在逻辑链条不完整的问题，如遗漏全等三角形判定的条件书写。 运用性质定理解决问题时，难以快速识别“点在垂直平分线上”这一前提条件，导致无法关联定理进行推理。基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题 四、教学策略分析 1. 直观感知策略：通过“折纸找对称轴”（将线段AB对折，使A与B重合，折痕即为线段AB的垂直平分线）和“测量距离”（在折痕上取不同点，测量点到A、B的距离）的操作，让学生从直观上感知线段垂直平分线的特征和性质，降低抽象推理的难度。 2. 合作探究策略：以小组为单位，围绕“为什么垂直平分线上的点到线段两端距离相等”展开讨论，引导学生从全等三角形的角度构建证明思路，通过小组展示、互评补充，完善证明过程，培养合作交流和逻辑推理能力。 3. 问题驱动策略：设计阶梯式问题链，如“折痕与线段AB有什么关系？”“折痕上任意一点到A、B的距离相等吗？”“如何证明这个结论？”“这个结论能帮我们解决什么问题？”，逐步引导学生从观察到猜想、从验证到应用，推动思维层层深入。 4. 讲练结合策略：在定理证明后，通过“基础题+变式题”的练习（如基础题：已知线段AB的垂直平分线l，点P在l上，PA=5，求PB；变式题：已知PA=PB，点P在线段AB的垂直平分线上吗？为后续判定定理铺垫），及时巩固定理，强化应用能力。 五、教学过程分析 （一）情境引入 回顾轴对称定义：提问“什么是轴对称图形？对称轴与对应点的连线有什么关系？”，引导学生回忆“对称轴垂直平分对应点的连线”，为线段垂直平分线的学习埋下伏笔。 引入新课：展示线段AB，提问“如何找到线段AB的对称轴？”，让学生动手折纸，观察折痕特征，引出本节课主题——线段的垂直平分线。 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 活动一： 探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现? 发现 如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B......都是重合的，因此P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B. 猜想 线段的垂直平分线有以下性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 信息技术验证 已知 直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上. 求证 PA=PB. 证明 当点P与点C重合时，显然成立. 当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB. 又AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB. 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 符号语言 ∵ 直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上， ∴ PA=PB . 思考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗?即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢? 解 点P在线段AB的垂直平分线上.理由如下： 过点P作PC⊥AB于点C， ∴∠ACP=∠BCP=90°. 在Rt△ACP和Rt△BCP中， ∴ Rt△ACP≌Rt△BCP(HL). ∴ AC=BC， ∴PC垂直平分AB，即点P在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 符号语言 ∵ PA=PB， ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上 . 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 思考 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系? 这两个命题的题设、结论正好相反. 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 追问 你还学习过其他具有类似关系的命题吗? 思考 如果原命题成立，那么它的逆命题也成立吗？ 如果原命题成立，那么它的逆命题不一定成立. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 【例1】 如图，直线AE是线段BC的垂直平分线，垂足为E，D为AE上一点，求证：∠ABD=∠ACD. 【证明】∵AE是线段BC的垂直平分线，D为AE上一点， ∴AB=AC，BD=DC. 在△ABD和△ACD中， AB=AC， BD=CD， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠ABD=∠ACD. 【例2】 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立？ （1）对顶角相等； （2）两直线平行，内错角相等. 【解】（1）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.不成立. （2）内错角相等，两直线平行.成立. （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1.如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB，AC，BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A，B，C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在(　　) A.三边垂直平分线的交点 B.三边中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边上高所在直线的交点 2.下列命题的逆命题是成立的是的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．全等三角形的对应边相等 D．对顶角相等 3.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是________． 4.如图，C是△ABE的边BE上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE.其中正确的结论有(　　) A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接BE.求证：BE垂直平分CD. 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $