精品解析：广东省阳江市第三中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题

保密 ★ 启用前 阳江三中2025--2026学年度第一学期开学考试 高二 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 使用时间：2025年9月9日 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见数集，结合交集运算，可得答案. 【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D. 2. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 3. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，再求复数的模即可. 【详解】由， 故选：B． 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数单调性确定各数与特殊值0，1的关系，分析即得解 【详解】由，，， 所以. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系结合已知条件计算得出，再结合两角和余弦公式计算求解. 【详解】因为，且， 所以，， 则. 故选：A. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】由得，解得. 故选: 7. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差、中位数、平均数、众数的定义，结合题设、特例和各项描述依次分析其正误. 【详解】A，由题意，去掉一个最大值后，剩下的数据中可能有数据等于原来的最大值，此时极差不变，A错误； B，中位数不一定改变，如原数据为1，2，2，3，中位数为2，去掉3后，数据为1，2，2，中位数还是2，B错误； C，设原平均数为， 假设去掉最大值后平均数不变，则， 所以，解得， 由原数据不全相等，可得，矛盾， 所以平均数一定改变，C正确； D，众数不一定改变，如数据为2，2，3，4，众数为2，去掉4后，众数仍为2，D错误． 故选：C 8. 已知为锐角，且，则的最大值（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先结合和差角公式及同角基本关系进行化简，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】因为为锐角，且， 分式上下除以得，， ， 为锐角，， ， 当且仅当，即时取等号， 最大值为． 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数，则（ ） A. 若复数z为实数，则 B. 若复数z为纯虚数，则 C. 当时， D. 复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数的几何意义即可求解. 【详解】对于A，依题意可得，即，则，故A正确； 对于B，依题意可得，故B错误； 对于C，依题意可得，所以，故C正确； 对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确， 故选：ACD． 10. 已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（ ） A. 这组数据的极差为4 B. 这组数据的方差为2 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第70百分位数为2025 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知数据，结合极差、方差、众数、百分位数的定义和求法依次判断各项正误. 【详解】A：由数据知，极差为，对； B：平均数为，则方差，错； C：众数为，即与平均数相等，对； D：由，则数据的第70百分位数为，对. 故选：ACD 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用偶函数的定义举例判断A；利用奇函数的定义推理判断B；利用指数型复合函数单调性判断C；求出的值域，进而求出的值域判断D. 【详解】依题意，函数的定义域为， 对于A，，，，函数不是偶函数，A错误； 对于B，，则函数是奇函数，B正确； 对于C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C正确； 对于D，由，得，则，的值域为，D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为______. 【答案】8 【解析】 【分析】设圆柱的母线长为，根据圆柱的侧面积公式和球的表面积公式列方程求解即可. 【详解】设圆柱的母线长为，则圆柱的侧面积为， 易知球的表面积为，所以，解得. 故答案为：8 13. 已知平面向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量坐标运算求出，再利用坐标求出向量的模. 【详解】由向量，，得， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 14. 已知正三棱锥的各顶点都在体积为的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据锥体与外接球的性质，结合棱锥的体积公式以及基本不等式的三维形式进行求解即可. 【详解】根据题意可得，正三棱锥的外接球的半径 ， 设正三棱锥的底面边长为 ，高为 ， 则正三角形的外接圆的半径为 ，所以 ， 即 ，所以 ， 又正三棱锥体积为 ， 当且仅当 即 时，等号成立， 所以当正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为4. 故答案为:4. 四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．） 15. 已知函数，其中． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若时，的最小值为4，求的值． 【答案】（1）；单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周期；利用整体法根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间． （2）由已知找到取最小值为4时的值，得到关于的方程． 【小问1详解】 ， ． 由，，求得，， 函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 由时，，， ， 解得． 16. 某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1． （1）计算样本的平均数和方差； （2）判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）． 【答案】（1），； （2）达标. 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式即可得到答案； （2）计算两者的平方值并比较大小即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 因为，， 所以，故采用新工艺生产的药品的有效成分达标． 17. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，求出角； （2）根据已知条件求出的值，最后利用面积公式求出三角形面积. 【小问1详解】 （方法一）由及正弦定理， 得. 又，得， 即. 因为，所以. （方法二）由及正弦定理， 得. 又，得， 即， 因为，所以，故， 所以，故，即. 【小问2详解】 由（1）得. 由的周长为，得. 由， 所以，即， 故， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：在中，，分别是，的中点， ， 又平面， 平面， 平面． （2）证明：四边形是正方形， ， 又平面，平面， ， 又，且平面， 平面． （3） 【解析】 【分析】（1）根据及线面平行的判断定理，即可证明； （2）根据线面垂直的判定定理，转化为证明线线垂直； （3）根据（2）的结论，求线面角，再根据几何关系求解正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，平面， 为斜线在平面上的射影，为直线与平面所成的角． 由题意，在中，，， ， ， 即直线与平面所成角的正弦值为． 19. （1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）；（2）16；（3） 【解析】 【分析】（1）两数之和与两数乘积的关系问题，借助基本不等式可以直接求解. （2）利用，再利用基本不等式求解. （3）直接利用基本不等式，解关于的不等式. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，取到最大值. （2）因为， 所以， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由得即当时，取得最小值16. （3）因为，， 所以恒成立等价于恒成立. 又，所以，当且仅当时等号成立， 从而，解得（舍去）或，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密 ★ 启用前 阳江三中2025--2026学年度第一学期开学考试 高二 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 使用时间：2025年9月9日 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. C. 1 D. 7. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 8. 已知为锐角，且，则的最大值（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数，则（ ） A. 若复数z为实数，则 B. 若复数z为纯虚数，则 C. 当时， D. 复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 10. 已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（ ） A. 这组数据的极差为4 B. 这组数据的方差为2 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第70百分位数为2025 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为______. 13. 已知平面向量，，若，则______． 14. 已知正三棱锥的各顶点都在体积为的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为______. 四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．） 15. 已知函数，其中． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若时，的最小值为4，求的值． 16. 某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1． （1）计算样本的平均数和方差； （2）判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）． 17. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19. （1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $