1.4充分条件与必要条件专练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4充分条件与必要条件 集合的基本运算 交集 或 补集 并集 且 且 按语气和用途划分，句子有哪些类型？ 陈述句 疑问句 祈使句 感叹句 问题： （1）在初中，我们学习过命题，那什么是命题？ （2）命题通常写成什么形式？ （3）什么是真命题和假命题？ 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． “若p，则q”、“如果p，那么q”等形式．其中p 称为命题的条件，q 称为命题的结论． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 思考1：下列“若,则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线,则. 真 真 假 假 判定命题为真命题，要依据定义、定理或常用结论能由p出发推出q成立； 判定命题为假命题，只需举出一个反例即可. 新知探究 思考2：观察下列两个真命题的条件与结论间的关系 (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线,则. 平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形； 平面内两条直线和均垂直于直线 新知探究 思考3：观察下列两个假命题的条件与结论间的关系 (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； 两个三角形的周长相等这两个三角形全等(这两个三角形未必全等)； 若(还可以为 新知探究 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 ：小明是中国人， ：小明是汕尾人. ： ， ： ，所以不是的充分条件，不是的必要条件. ，所以是的充分条件 ，是的必要条件. 新知探究 一般地,“若,则”为真命题,我们就说，由可以推出 记作 ⟹ 并且说，是的充分条件，是的必要条件 一般地,“若,则”为假命题,我们就说，由不能推出 记作 ⟹ 则说，不是的充分条件，不是的必要条件 命题的结构 新知探究 例1.下列“若,则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)若则 (5)若则 (6)若为无理数，则为无理数. 是 是 是 不是 是 不是 例题讲解 充要条件的判断方法 定义法 例2.下列“若,则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形； (4)若，则 (5)若，则 (6)若为无理数，则为无理数. 是 是 是 不是 不是 不是 判断“若,则”形式的命题中是否为的充分条件与是否为的必要条件相同，只需判断是否有“”，即“若,则”是否是真命题. 例题讲解 必要条件的判断方法 定义法 13 (链接教材P18例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若a<b，则<1； (3)若x>1，则x2>1. 例题讲解 解：(1)因为p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，>1；当b>0时，<1， 因此p⇏ q，所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1，因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (链接教材P19例2)下列命题中，哪些命题中的p是q的必要条件？ (1) p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2) p：A⊆B，q：A∩B＝A； (3) p：a>b，q：ac>bc. 解：(1)因为两个三角形相似⇏ 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以p是q的必要条件． (2)因为q⇒p，所以p是q的必要条件． (3)因为q⇏ p，所以p不是q的必要条件． 例题讲解 1．(多选题)(2025·湖南长沙高一上阶段练习)已知平面四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”的一个必要条件是(　 　) A．四边形的两组对边分别相等 B．四边形的两条对角线互相平分 C．四边形的四条边长均相等 D．四边形的两组对边平行 解析：ABD　由四边形为平行四边形可推得，A，B，D均正确； 选项C，满足条件的四边形是菱形，而由四边形是平行四边形无法推出其是菱形． 2．(多选题)(2025·山西大同高一上阶段练习)指出下列哪些命题中p是q的充分条件(　 　) A．在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB B．已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0 C．已知x∈R，p：x>1，q：x>2 D．已知x∈R，p：x>2，q：x2>4 解析：ABD　在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件，故A正确； 由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件，故B正确； 由x>1⇏ x>2，所以p不是q的充分条件，故C错误． x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件，故D正确． 能力提升 题型： 利用充分条件与必要条件求参数范围 方法技巧 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围问题，常用集合法求解，其步骤如下： 1、化简集合和； 2、根据 与的关系(充分条件、必要条件等)，得出集合 与 之间的包含关系； 3、列出相关不等式(组)(也可借助数轴)； 4、化简，求出参数的取值范围. 小结 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 注：已知满足条件,满足条件则 是的充分条件；是的必要条件 【练习3】已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)， 且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为____. 【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)， 得1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp. 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集， 所以或解得{m|m≥9}(或[9，＋∞)) $