1.4.1空间中点、直线和平面的向量表示1.4.2空间中直线、平面的平行课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示 第一章 空间向量与立体几何 新知探究 如图，在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 知识点1、空间中点的向量表示 知识点2、空间中直线的向量表示 如图，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t 进一步地,如图(2)，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t， 使=+ta①， 将=a代入①式，得=+t② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 知识点3、空间中平面的向量表示 我们知道，平面α可以由α内两条相交直线确定．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知, 存在唯一的有序实数对(x，y)，使得 =xa+yb,即=+xa+yb 这样，点A与向量a，b不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点， 由一个点和两个定方向可以确定一个平面 知识点4、法向量 如图，直线lα．取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量. 给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|·=0}. 进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ 本质：若l⊥α，则l的方向向量称为平面的法向量 (显然法向量不唯一) 课本例1.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， （1）求平面BCC1B1的一个法向量． （2）求平面MCA1的一个法向量 解:(1)因为y轴垂直于平面BCC1B， 所以n=(0,1,0)是平面 BCC1B1的一个法向量. 课本例1.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系。 （2）求平面MCA1的一个法向量 归纳总结 求法向量的步骤规范： 注：若平面与坐标平面平行（重合）可以不用求解直接写出法向量 步骤规范训练：如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，建系如图，求平面EDB的法向量. x z y 直线的方向向量、平面的法向量是确定空间中直线、平面的关键量. 能否用这些向量来刻画空间中的直线、平面间的平行、垂直关系？ 思考 新知探究 1.4.2 空间中直线、平面的平行 知识点1、空间直线和直线平行 l1 l2 1.如图，u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量，若l1∥l2，则u1,u2是什么位置关系？代数如何表示？ 若两条直线平行，则这两条直线的方向向量也平行，反之亦然. 知识点2、空间直线和平面平行 2.如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l ⊄α，若l∥ α，则u,n是什么位置关系？代数如何表示？ 若线面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直. 注意前提：直线在平面外. 知识点3 、空间平面和平面平行 3.如图，设n1,n2分别是平面α，β的法向量，若α∥β，则n1,n2是什么位置关系？代数如何表示？ 若两平面平行，则这两个平面的法向量也平行. 【总结】平行的证明方法：几何法、基底法、坐标法 几何定理梳理：线线平行 线面平行 面面平行 例：如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C，B1 C1的中点.求证:MN//平面 A1BD. 例：如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C，B1 C1的中点.求证:MN//平面 A1BD. P31-2.如图，四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD上是否存在点F，使得AE∥CF？ 【题型】探索性问题 P30-例3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2， 线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1. 本题作为解答题,要严谨步骤书写，以下哪种思路是正确的？ ①由线面平行作为条件，推导得出P为中点 ②由P为中点作为条件，推导得出线面平行 ③假设存在P，B1P=λB1C，通过线面平行构造λ等量关系，解出λ P30-例3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2， 线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1. x y z P30-例3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2， 线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1. x y z P30-例3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2， 线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1. 【综合训练】平行问题 $