四川省宣汉中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

宣汉中学2025-2026学年度高2023级高三上学期数学入学考试 考试时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={-1,1,2,4},B={x‖x-1≤1}，则AnB=() A.{-1,2} B.{1,2} c.{1,4} D.{-1,4} 2.在R上定义运算⑧：a⑧b=ab+2a+b,则满足x⑧(x-2)<0的实数x的取值范围 为() A.(0,2) B.(-2,1) C.（-00,-2)U(1,+0) D.(-1,2) 3.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a), B2.0,且c0s2a= ,则la-bl=() 3 B V5 c25 D.1 4.按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和， 到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃 发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A),放电时间t(单位：h) 与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C=I"·t,其中n为Peukert常数.为了 测算某蓄电池的Peukert常数n,在电池容量不变的条件下，当放电电流I=20A时，放 电时间t=20h;当放电电流I=30A时，放电时间t=l0h.则该蓄电池的Peukert常数n 大约为() (参考数据：1g2≈0.30，lg3≈0.48.) A号 B C. 3 D.2 5.在空间直角坐标系中，P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),三角形ABC重 心为G,则点P到直线AG的距离为() B.V221 c.217 D √5 17 17 3 6若抛物线x2=2y的准线为直线1，且1交圆C:x2+y2=1于A,B两点，0为坐标原 点，则∠AOB=() 83 3 c D. 6 7.设{a}是等比数列，且41+4，+4=1，凸，+4+44=2，则a。+a+4=（) A.12 B.24 C.30 D.32 8卫知函数)=em+3在Q+四上单调递增，则a的最大值是() A.1 B.2 C.e D.3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在△ABC中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题一定成立的是() A.若a2+b2>c2,则△ABC是锐角三角形 B.若a=2,b=√2，B=7,则△ABC有唯一解 4 C若aBC是领角三角形，b=3.B=兮设4C的面积为8则S:, 2,4 D.若△ABC是锐角三角形，则sinA+sinB>coSA+coSB 10.已知复数= 则以下说法正确的是() 1-2i A复数z的虚部为亏 B.z的共轭复数三= 2 i 55 c1ek D.在复平面内与z对应的点在第二象限 5 11.在直三棱柱ABC-AB,C中，∠BAC=90°，AB=AC=AA=2,E、F分别是BC、 AC的中点，D在线段BC上，则下面说法中正确的有() A.EF//平面AABB B直线BF与平面ABC所成角的正弦值为2,5 C若D是BC,的中点，若M是B4的中点。则F到平面BDM的距离是 5 D.直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为3V2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若定义在R的奇函数f(x)在(-o,0)单调递减，且f(2)=0,则满足f(x-1)≥0的x 的取值范围是」 13.函数y=√4-x2+ 1 g(2r-3)的定义域为 14已知函数f)=x+1 -ax有两个极值点，则实数a的取值范围是一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知T<a<n,且sina= 2w5 5 (I)求tana的值； in(-a)cos(n-a)-sin(r-a)cosa-3n 2 (2)求 2的值 a+2) sin (a +7n)cos(a +3n) 16.(本小题15分) 已知椭圆B:·+y :京+-1（α>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点， 且椭圆E过T(2,1),直线1：y=x+与椭圆E交于A、B. (①)求椭圆E的标准方程； (2)设直线TA、TB的斜率分别为k、k2,证明：k+k2=0. 17.(本小题15分) 已知四棱锥P-ABCD,AD∥BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E是AD上 一点，PE⊥AD (I)若F是PE中点，证明：BF∥平面PCD (2)若ABI平面PED,求面PAB与面PCD夹角的余弦值 D 18.(本小题17分) 设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)为f(x)的导函数 (1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值 (2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中，求f(x)的极小值； (3)若a=0,0<b≤1，c=1,且f(x)的极大值为M,求证：M≤ 27 19.（本小题17分) 现有4个除颜色外完全一样的小球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随 机放入三个盒子中（允许有空盒）： ()记盒子乙中的小球个数为随机变量X,求X的数学期望； (2)对于两个不互相独立的事件M,N,若P(M)>0,P(W)>0,称 p(M,N)=- P(MIN)-P(M)P(N) 为事件M,N的相关系数. P(M)P(MP(N)P(N) ①若p(M,N)>0,求证：P(M1N)>P(M): ②若事件M盒子乙不空，事件V:至少有两个盒子不空求pM,N) 宣汉中学2025-2026学年度高2023级高三上学期数学入学考试 参考答案及评分标准 一、单选题。（每题5分，共40分） 1-4 BBBB 5-8BBDC 二、多选题。（共18分） 9.BCD 10.CD 11.ABD 三.填空题。（共15分） 12.-1≤≤0或1≤≤3（少一个都不能给分） a6oj 四.解答题。（共77分） 15.(13分)解：四因为2 <a<n sina= π W5 5 所 cosa--h-sma= 5 tana sina -=-2 故 cosa (2)由0可知tama=-2 则 sin(-a)cos(n-a)-sin(n-a)cos(a- 3π =-sima(←cosa）-sina(-sina) caw(a+孕-sim(a+7mcoa+3n） sin2 a-(-sin a)(-cosa) sin a cos a sin'a tan a tan'a -2+4 1 sin'a-sin a cos a tan'a-tana 4-(-2)3 15分)修，W因为蹈圆B。+Q>6>0的两个焦点与短销的一个端点法 角三角形的三个顶点， 则这个直角三角形为等腰直角三角形，腰长为a,斜边长为2c, 则d+a2=(2c)2,可得a2=2c2, 所以，b=Va2-c2=c, 所以，椭圆B的方程可表示为+二 22+=1, 将点了的坐标代人鹅圆的方程可得产+子1，解得c=5。 故椭圆B的标准方程为二+ -=1; 63 (2)证明：设点A(5,乃)、B(x,y), [y=x+m 联立{+2y=6 可得3x2+4x+2m2-6=0, △=16m2-12(2m2-6)=72-8m2>0 解得-3<<3，显然≠-1，否则直线1过点T, P B 3,552m2-6 书+=-4 3 则k+k=-+!当+1+当+m=12+m+1m+1 x-2x2-2x-2x2-2x-2x2-2 =2+0m+16+x,-49 (x-2)x2-2) =2+0m+106,+￥-4) x2-2(x1+x2)+4 =2+ +X贺 2m2-6,8 -+4 3 3 =2-4(m+1m+3 =2-2=0, 2m2+4+3】 因此k+k2=0. 17.(15分)（①四证明：如图，设M为PD的中点，连接FMCM, 因为F是PE中点， FM=1ED 所以M IED,且 2 因为ADIIBC,AB=BC=1,AD=3,DE=PB=2, 所以四边形ABCE为平行四边形BC1ED月BC=ED 2 所以PM∥BC,且FM=BC】 即四边形BCMF为平行四边形， 所以BF∥CM 因为BF中平面PCD,CMC平面PCD, 所以BF∥平面PCD, (②)解：因为四边形ABCE为平行四边形， 所以AB∥CE 因为ABI平面PED, 所以CE⊥平面PED, 因为PE⊥AD 所以EP,ED,EC相互垂直 以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， D B C 因为AB=BC=1,AD=3,DB=PE=2 所以P(0,0,2).4(0,-1,0).B1,-1,0)C1,0,0)D(0,2,0) 所以AB=1,0,0),AP=(0,12).PC=1,0,-2).CD=(←12,0) 设平面PAB的一个法向量为m=(:,h,) mAB=x =0 则m亚=4+2g=0,取=-1，则m=(0,2,-) 设平面PCD的一个法向量为i=(g,,2) n.PC=x2-232=0 则nC⑦=-x:+2y,=0.取=1，则i=(21,) 设平面PAB与平面PCD夹角为B 0s9=m:月-2-1.130 则 |m√5×√6√3030 18.(17分）解：)：a=b=c,.f(x)=(x-a)3, f(4)=8,(4-a)3=8, ∴.4-a=2,解得a=2. (2)a≠b,b=c,设f(x)=(x-a)(x-b)2 令f(x)=(x-a)(x-b)2=0,解得x=a,或x=b. f'(x)=(x-b)2+2(x-a)(x-b)=(x-b)(3x-b-2a). 令f'(w=0,解得x=b,或x=2a+b 3 f(x)和f'(x)的零点均在集合A={-3,1,3}中， 若4=-3,6=1，则2a+b-6+1-5e4,舍去 3 3 3 a=-3,0-3,则2a+b=6+3=-1g4,含去 33 01,63则2号吉4合 a-1,6=,则2a+b-A,含去 33 a=3,b=1,则2a+b=6+17 =二A,舍去； 333 a=3,b=-3.则2a+b-6,3=1e4. 3=3 因此a=3,b=-3,2a+b=1eA, 3 可得f(x)=(x-3)(x+3)2 f'(x)=(x+3)2+2(x+3)(x-3)=3(x+3)(x-1), 当x<-3或x>1时，f（x)>0,f(x)在(-0∞，-3)和(1，oo)单调递增， 当-3<x<1时，f（x)<0,f()在(-3,1)单调递减， 可得x=1时，函数f(x)取得极小值，f(1)=-2×42=-32: (3)证明：a=0,0<b≤1，c=1, f()=x(x-b)(x-1), f'(x)=(x-b)(x-1)+x(x-1)+x(x-b)=3x2-(2b+2)x+b. △=4b+1-12b=402-4h+4=46-分°+33. 令f'(x)=3x2-(2b+2)x+b=0. 棚得：5b+1-公-b10,之5b+1公-b+ ,X<x2, 3 3 ∴.f(x)在(-0o,x)和(x2,o)单调递增，在(x,x2)单调递减， ∴可得x=x时，f(x)取得极大值为M, 此时，M=f(x)=x-(b+1)x2+bx =20-b+6+D+b6+D+2N6-b+i) 27 9 27 .6-6++6-可 27 27 6+≤号 27 因此M54 7 19.(17分)解Q四由题意可知，X的可能的取值为0,1,2.3.4.且X~4号 14 故E(X)=4×三= 33 (2)①证明：因为p(M,N)= P(MIN)-P(M)P(N VP(M)PM)P(w)P(可， 且p(M,N)>0, 所以P(MW)-P(M)P(N)>0, PW>PM0,而P(MN)= P(MN) P(N) P(N) 所以P(MIN)>P(M)成立 ②事件M:盒子乙不空，则事件M:盒子乙空， 由)可知P= 所以PM)=1-PM= 65 8 81 事件N:至少有两个盒子不空，则事件N：有一个盒子不空， P(W)-C=3 所以P(N)=1-P(N) 7 3481 81 事件N:至少有两个盒子不空且盒子乙不空，分为两种情况，一种是三个盒子都不空， 按照1、1、2分组；另一种是两个盒子不空且乙不空，此时甲或者丙是空的，故按照1、 3或者2、2分组即可， 故 ccc C(Cc4+CC）64, P(MN)=- A 34 34 81 6465.78 所以p(M,N= P(MN）-P(M)P(N) 818181 P(M)P(MP(N)P(N) /65.16783 V81818181 化简得o(M,W)=1910 260