1.2集合间的基本关系学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语

1.2 集合间的基本关系

学习指导

课标要求	核心素养	重难分析
1、理解集合之间的包含与相等的含义 2、了解空集的含义 3、能用Venn图表示集合间的基本关系	体会从具体到抽象的数学抽象思想，培养数学抽象素养与数学应用意识	重点	子集、真子集的概念
			空集、集合相等的概念
		难点	判断集合之间的包含关系
			判断集合之间的相等关系

新知导入

观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？

（1）；

（2） 为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合， 为这个班全体学生组成的集合；

（3） 是有两条边相等的三角形 是等腰三角形．

可以发现，在（1）中，集合 的任何一个元素都是集合 的元素．这时我们说集合 包含于集合 ，或集合 包含集合 ．（2）中的集合 与集合 也有这种关系．

一般地，对于两个集合 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，就称集合 为集合 的子集，记作 （或 ），读作“ 包含于 ”（或“ 包含 ”）．

在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．这样，上述集合 与集合 的包含关系，可以用如图表示．

一般地，如果集合 的任何一个元素都是集合 的元素，同时集合 的任何一个元素都是集合 的元素，那么集合 与集合 相等，记作 ．也就是说，若 ，且 ，则 ．

如果集合 ，但存在元素 ，且 ，就称集合 是集合 的真子集，记作（或），读作“ 真包含于 ”（或“ 真包含 ”）．

一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集．

包含关系 与属于关系 有什么区别？试结合实例作出解释．

＂＂：是集合间的包含关系，表明集合 中所有元素都在集合 里， 是 的子集．比如 ， 作为集合，其元素 1 属于 ．

＂＂：是元素与集合的属于关系，指 这个元素在集合 中．比如 ，这里 1 是元素，直接属于集合 ．

由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论：

（1）任何一个集合是它本身的子集，即 ；

（2）对于集合 ，如果 ，且 ，那么 ．

知识清单

知识点一：子集与真子集

1.子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中             元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的         ，记作         或          ，读作“A包含于B”（或“B包含A”）.

2.真子集：如果集合        ，但存在元素，且        ，就称集合A是集合B的真子集，记作        （或），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）.

知识点二：集合的相等

3.集合相等：一般地，如果集合A的        元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B       ，记作        .

知识点三：空集

4.空集：一般地，           的集合叫做空集，记为      ，并规定：空集是任何集合的子集.

知识点四：Venn图

5.Venn图：用平面上封闭曲线的       来代表集合的图称为Venn图.

知识点五：集合间的基本关系

6.（1）任何一个集合是它本身的子集，即      .

（2）对于集合A，B，C，如果，且，那么      ．

例题讲解

例题1 写出集合 的所有子集，并指出哪些是它的真子集．

 

 

例题2  判断下列各题中集合 是否为集合 的子集，并说明理由：

（1） 是8的约数 ；

（2） 是长方形 是两条对角线相等的平行四边形 ．

 

 

课堂练习

1.已知集合，则集合A的真子集的个数为(   )

A.3 B.4 C.7 D.8

2.已知集合，则下列选项正确的是(   )

A. B. C. D.

3.已知集合，，若，则(   )

A.-1或2 B.-1或1 C.-1 D.1

4.（多选）下列表述正确的是(     )

A.  B. 

C.  D.

5.设集合，.若，则实数x的取值集合为(   )

A. B. C. D.

6.定义集合，若集合，，则集合的