1.1集合的概念 学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语

1.1 集合的概念

学习指导

课标要求	核心素养	重难分析
1、了解集合的含义 2、理解元素与集合的关系 3、掌握集合的表示方法	体会从具体到抽象的数学抽象思想，培养数学抽象素养与数学应用意识	重点	集合的含义与表示方法
			元素与集合的关系
		难点	理解集合中元素的三个特征
			掌握集合的表示方法

新知导入

在小学和初中，我们已经接触过一些集合．例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆）等．为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识．下面先从集合的含义开始．

看下面的例子：

（1） 之间的所有偶数；     （2）立德中学今年入学的全体高一学生；
（3）所有的正方形；               （4）到直线 的距离等于定长 的所有点；
（5）方程 的所有实数根； （6）地球上的四大洋．

（1）中，我们把 之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，（2）中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合．

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．

这节课我们详细学习集合的相关知识。

知识清单

知识点一：集合与元素

1.元素：一般地，把__________统称为元素，常用小写字母a，b，c表示.

2.集合：把一些元素组成的总体叫做______(简称为集)，常用大写字母A，B，C，表示.

3.集合中元素的三个特征：（1）确定性；（2）________；（3）无序性.

4.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a         集合A，记作.

知识点二：常用数集的记法

5.常用数集的记法：

N：非负整数集（或自然数集）；  或：          ；      ：整数集；

Q：有理数集；R：            .

知识点三：集合的表示方法

6.集合的表示方法：

（1）列举法：把集合的所有元素        出来，并用花括号“{  }”括起来表示集合的方法叫做列举法.

（2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为              ，这种表示集合的方法称为描述法.

例题讲解

例题1 用列举法表示下列集合：
（1）小于 10 的所有自然数组成的集合；

（2）方程 的所有实数根组成的集合

 

 

 

 

 

 

 

 

 

小结：

由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法．例如，例1（1）的集合还可以写成等．

思考一下：

（1）你能用自然语言描述集合 吗？
（2）你能用列举法表示不等式 的解集吗？

解：（1）之间能被3整除的整数．

（2）不等式 的解是 ，因为满足 的实数有无数个，所以 的解集无法用列举法表示．

但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即： 是实数，且 ，把解集表示为

又如，整数集Z可以分为奇数集和偶数集．对于每一个 ，如果它能表示为 的形式，那么它是一个奇数；反之，如果 是一个奇数，那么它能表示为 的形式．所以， 是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表示为

例题2

试分别用描述法和列举法表示下列集合：

（1）方程 的所有实数根组成的集合 ；

（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合 ．

 

 

 

 

 

 

 

说明：

我们约定，如果从上下文的关系看， 是明确的，那么

可以省略，只写其元素 ．

例如，集合 也可表示为 ；集合

也可表示为 ．

课堂练习

1.下面给出的四类对象中，能构成集合的是(   )

A.某班视力较好的同学 B.某小区长寿的人