5.1.1从算式到方程 课件 2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

5.1.1从算式到方程 第五章 一元一次方程 学习目标 理解并掌握方程、一元一次方程的概念； 理解解方程与方程的解的概念与区别； 能够根据实际问题列出正确的方程，培养方程的应用意识. 情境导入 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km 的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km. 多长时间后，甲队在途中追上乙队? 你能试着利用列算式的方法解决这个问题吗? (3 - 1) ÷ (1.2 - 0.8) = 5 h 甲乙两队起始相差的距离÷甲队每小时比乙队多行进的距离 我们还能用其他方法解决该问题吗？ 讲授新课 例1、甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km;乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km.多长时间后，甲队在途中追上乙队? 本章我们将学习一种新的方法，通过列方程来解决这个问题.方程是含有未知数的等式，它是应用广泛的数学工具.解决许多实际问题时，人们经常用字母表示其中的未知数，通过分析问题中的数量关系，列出方程表示相等关系，然后解方程求出未知数，从而获得实际问题的答案. 你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗? 讲授新课 怎样根据问题中的数量关系列方程?怎样解方程? 这是本章研究的主要问题.通过学习本章中丰富多彩的问题，你将初步感受方程的作用，并学习利用一元一次方程解决问题的方法. 讲授新课 在小学，我们利用算术方法解决了很多实际问题.接下来，我们将引人方程解决一些实际问题.首先来认识一下什么是方程。 讲授新课 先来看本章引言中的问题.请你先试着用列算式的方法解决. 我们引入一种新的方法来解决这个问题.在这个问题中，甲、乙两队的行进速度是已知的，行进的时间和路程是未知的.如果设两队行进的时间为x h，根据“路程=速度X时间”，甲队和乙队的行进路程可以分别表示为1.2x km和 0.8x km，从而甲、乙两队距大本营的路程可以分别表示为(1.2x+1)km和(0.8x+3)km,甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时 甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程， 1.2x十1=0.8x十3. 这样，我们就根据实际问题中的相等关系，得到了一个含有未知数x的等式通过本章的学习，我们将能够从这个含有未知数x的等式中解出未知数的值x=5，从而求出5h后甲队追上乙队. 如果设这枚纪念币的长为x mm，则纪念币的宽可以表示为x mm. 依据长方形的面积公式，可得 问题2 右图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4 000 mm2. 长和宽的比为8:5（即宽是长的）.这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 知识点1 方程的定义 新知探究 x2 =4 000. 由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念币的长，进而可以求出纪念币的宽. 知识点1 方程的定义 新知探究 1.2x+1=0.8x+3 3x=4(x-5) x2 =4000 3(x+5)=4x 观察 上面得到的这些等式有什么共同点呢？ 问题：一辆客车和一辆卡车同时从 A 地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是 70 km/h，卡车的行驶速度是 60 km/h，客车比卡车早 1h 经过 B 地. A，B 两地间的路程是多少？ 分析：设卡车从 A 地到 B 地的行驶时间为 t h，则客车从 A 地到 B 地的行驶时间为 (t - 1) h，通过路程的相等关系: 客车从 A 地到 B 地的路程 = 卡车从 A 地到 B 地的路程 归纳 列方程解实际问题初始的两步: (1) 分析题意，圈画关键词、列表或画图找出相等关系； (2) 设未知数，根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式 —— 方程. 例1 若关于 x 的方程 是一元一次方程，则 n 的值为 . 2 或－2 【变式题】加了限制条件，需进行取舍 方程 是关于x的一元一次方程，则 m = . 1 注：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件： ①未知数的次数为 1；②未知数的系数不为 0. 例2 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 用一根长 24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？ 解：设正方形的边长为 x cm. 等量关系：正方形边长×4=周长， 列方程： . 新知探究 知识点2 一元一次方程 溯源 用“元”表示未知教，源于我国宋元时期的“天元术”. 天元术指的是用“天元”表示未知数，进而列出方程. 现存的使用天元术的最早著作是这一时期我国数学家李冶（1192-1279）于1248年所著的《测圆海镜》，书中的“立天元一”相当于现在的“设未知数x”. 后来在研究涉及多个未知数的问题时，又引入“地元”“人元”“物元”等表示多个未知数. 随堂练习 1. 判断 x=2 和 x=4 是不是方程2x-3=5的解. 解：将x=2代入，2×2-3=1≠5，所以x=2不是该方程的解； 将x=4代入，2×4-3=5，所以x=4是该方程的解. 习题解析 1.是下列哪个方程的解 （ ）   2.哪些是一元一次方程？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）. 3.若是方程的一个解，则的值为（ ）   A. 0 B. 2 C. 1 D. -1   B √ √ C 习题解析 4.下列方程：①；②；③ ；④； ⑤；⑥其中是方程的是 ，是一元一次方程的是_______.(填序号) 5.根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其是不是一元一次方程. （1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？ （2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔共20 支，两种铅笔各买了多少支？ ①②③④⑤ ②③ （1）设沿跑道跑周，，是一元一次方程 （2）设甲， ，是一元一次方程 若设甲种铅笔买了支，则乙种铅笔买了支 此时方程怎么列？还是一元一次方程吗？ 习题解析 6.（1）若关于x的方程2是一元一次方程，则n的值为 . （2）已知方程 是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程． （3）关于的方程有一个解是，求的值． （2）， 注：一次项的系数不能为0 （3）把代入到方程中得， 解得， 习题解析 7.已知代数式. （1）化简M； （2）如果是关于x的一元一次方程，求M的值. （1） （2）由题意得， 解得， 1. 将数值代入方程左边进行计算; 2. 将数值代入方程右边进行计算; 3. 若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是． 判断一个数值是不是方程的解的步骤： 新 知 小 结 新知三 列简单的一元一次方程解决实际问题 根据下列问题，设未知数并列出方程(只列不解） （1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？ （2）某校女生占全校学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 解：设正方形的边长为xcm. 列方程： 4x=24 解：设这个学校为x个学生，那么女生数为0.52x，男生数为（1-0.52）x . 列方程：0.52x-（1-0.52）x=80 合 作 探 究 3. 已知方程 是关于x的 一元一次方程，求m 的值，并写出其方程． 所以原方程为－4x+3 = －7. 解：因为方程 是 关于x的一元一次方程， 所以|m|－1 = 1，且m－2≠0，得m = －2. 小结 （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）一元一次方程的三个特征各指什么？ （3）从实际问题中列出方程的关键是什么？ $