精品解析：湖南省永州市宁远一中崇德学校2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

2025年下期宁远一中崇德学校高二开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：集合，集合，所以,故选D. 考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算. 2. 函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 0或1个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念即可判断. 【详解】解析：当x＝1在函数f(x)的定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1有一个公共点(1，f(1))；当x＝1不在定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1没有公共点． 故选：C. 3. 与的图象关于（ ） A. 轴对称 B. 直线对称 C. 原点对称 D. 轴对称 【答案】B 【解析】 【分析】利用反函数的性质即可得出结论. 【详解】函数与互为反函数，故其图象关于直线对称． 故选：. 4. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦型函数的最值，即可求得结果. 【详解】原式 ，所以函数的最小值为. 故选：C 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式以及求函数的最值，属综合基础题. 5. 已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径cm，则扇形的周长为 A. cm B. 60cm C. cm D. 1 080cm 【答案】C 【解析】 【分析】由条件利用扇形的弧长公式，求得扇形的弧长l的值，可得扇形的周长为l+2r 的值． 【详解】∵一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的弧长l＝α•rπ•20＝6π（cm）， 则扇形的周长为l+2r＝6π+2×20＝（6π+40）cm， 故选C． 【点睛】本题主要考查角度与弧度的互化，弧长公式的应用，属于基础题． 6. 在中，，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积公式求出答案. 【详解】由题意得的夹角为， . 故选：D 7. 对于每一个实数x，设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可根据、、图像绘出的图像，进而根据函数图象求出最大值即可. 【详解】因为取、、三个函数中的最小值， 所以可根据、、图像绘出的图像， 如图： 联立，解得，的最大值为， 故选：D. 8. 若满足，的有两个，则边长的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以 , 因此 ，选D. 点睛：判断三角形解的个数的两种方法 ①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断ABD选项；举反例可判断C选项. 【详解】A选项，不等式两边同乘，得，为真命题. B选项，，则，利用同向可加性，可知，为真命题. C选项，取，满足，但，为假命题. D选项，，，故，又，利用同向可乘性，可知，为真命题. 故选：ABD 10. 下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（ ） A. p：中，，q：中，； B. p：， q：； C. p：，q：； D. p：，q：关于x的方程有两个实数解． 【答案】AD 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义依次判断各个选项. 【详解】对于A，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当时，有，当时，有，所以p是q的充要条件； 对于B，由，得，则一定成立，而当时，如，不成立，所以p是q的充分不必要条件； 对于C，由可知，当时，；当时，；而当时，若，则，若，则，所以p是q的既不充分也不必要条件； 对于D，当时，关于x的方程只有一个实根，若关于x的方程有两个实数解时，则，得且，所以p是q的必要不充分条件； 故选：AD 11. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的图象的对称轴方程为 B. 的图象的对称中心坐标为 C. 的单调递增区间为 D. 的单调递减区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】 首先根据图象平移求函数的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】的图象上所有点向左平移个单位长度，得到，再向上平移4个单位长度后得到， A. 令，解得，函数的对称轴是，故A正确； B.令，解得：，所以函数的对称中心，故B不正确； C.令，解得：，所以函数的单调递增区间是，故C正确； D.令，解得：，所以函数单调递减区间是，，故D不正确. 故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或. 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是________． 【答案】(1,4) 【解析】 【分析】由恒过(0,1)，结合与的关系确定P点的坐标. 【详解】由恒过(0,1)，而是由向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到， ∴P点坐标为(1,4)． 故答案为：(1,4)． 13. 已知函数，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域求解. 【详解】因为, 所以， 故答案为： 【点睛】本题主要考查分段函数求值，属于基础题.. 14. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】转化为二次方程有解，利用判别式大于等于0 求解 【详解】若命题“”是真命题， 则，解得或 故答案为：或 四，解答题：本题共5个小题，共77分． 15. 设函数（其中，，）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为． （1）求的解析式； （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由在处取得最大值2，可 得，，图象与x轴的相邻两个交点的距离为，可得，，即得解； （2）可化简原式为，结合，即得解 【详解】（1）由题设条件知的周期， 即，解得． 因在处取得最大值2，所以． 从而， 所以，． 又由得， 故的解析式为． （2） ． 因，且， 故的值域为． 16. 如图所示，在长方体中，，点E是的中点. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，连接，易得，再利用线面平行的判定定理证明. （2）由长方体的特征得到，再由，利用线面垂直的判定定理证得平面即可. （3）易得，再由平面平面，得到，可得平面，由是二面角的平面角求解. 【详解】（1）如图所示： 连接交于点O，连接，则O为的中点. ∵E是的中点，∴ 又平面，平面， ∴平面. （2）由题意可知，四边形是正方形， ∴. ∵平面，平面， ∴. ∵平面，平面，， ∴平面. 又平面， ∴，即. （3）在中，，，， ∴ ∵平面平面， ∴. ∵平面，平面，， ∴平面. 又∵平面， ∴. ∴是二面角的平面角. 在A中，∵，，， ∴， ∴二面角的正切值为. 【点睛】方法点睛：几何法求线线角、线面角、二面角的常用方法： （1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． （2）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解． （3）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质． 17. 在中，点在边上，， （1）若，求 （2）若，求的值 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）在中，利用余弦定理求的长；（2）由条件可知，在和中，利用正弦定理表示，再根据三角恒等变形计算的值. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ， 即， 解得，(负值舍去). （2）在中， ∵，， ∴， 在中， 由正弦定理得， ∴①， 在中， 由正弦定理得， ∴②， 由①②得， ∴， 即， ∴， 即， ∴. 【点睛】方法点睛：本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题型，1.一般解三角形已知两角一边，首先用正弦定理解三角形，2.已知两边和其中一边的对角，求角用正弦定理解三角形，求边用余弦定理解三角形，3.已知两边和夹角，用余弦定理解三角形，已知三边，用余弦定理解三角形.4.每个三角形条件不全时，也可根据两个三角形，建立方程组求解. 18. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，E是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 平面，平面，， ，，， ，， 又，平面，平面， 平面，平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，然后结合勾股定理利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量，利用平面与平面夹角的向量公式列式求得，再利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，取中点， 、、分别为轴、轴、轴正向，建立空间直角坐标系， 则，，.设， 则，，，， 取，则，为平面的法向量. 设为平面的法向量，则， 即，取，，，则. 依题意，，则. 于是，. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)． （1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数； （2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？ 【答案】（1）f(x)＝；（2）475件． 【解析】 【分析】（1）根据年需求量为500件，由0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件和固定成本0.5万元，每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元求解. （2）根据（1）的结果，分别利用二次函数和一次函数的性质求得值域，再取并集. 【详解】（1）当0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件． 所以, 即f(x)＝. （2）当0<x≤5时，f(x)＝－x2＋4.75x－0.5， 所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值， f(x)max＝10.781 25(万元)． 当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)． 故当年产量为475件时，当年所得利润最大． 【点睛】方法点睛：（1）很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如本题．（2）求函数最值常利用基本函数法，基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的值域时，应先求每一段上的值域，然后取并集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期宁远一中崇德学校高二开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则 A. B. C. D. 2. 函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 0或1个 D. 无数个 3. 与的图象关于（ ） A. 轴对称 B. 直线对称 C. 原点对称 D. 轴对称 4. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径cm，则扇形的周长为 A. cm B. 60cm C. cm D. 1 080cm 6. 在中，，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 7. 对于每一个实数x，设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若满足，的有两个，则边长的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（ ） A. p：中，，q：中，； B. p：， q：； C. p：，q：； D. p：，q：关于x的方程有两个实数解． 11. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的图象的对称轴方程为 B. 的图象的对称中心坐标为 C. 的单调递增区间为 D. 的单调递减区间为 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是________． 13. 已知函数，则__________ 14. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_______． 四，解答题：本题共5个小题，共77分． 15. 设函数（其中，，）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为． （1）求的解析式； （2）求函数的值域． 16. 如图所示，在长方体中，，点E是的中点. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）求二面角的正切值. 17. 在中，点在边上，， （1）若，求 （2）若，求的值 18. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，E是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)． （1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数； （2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $