5.1.1 变化率问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦导数概念入门的变化率问题，系统梳理从平均速度到瞬时速度的极限过渡，以及曲线割线到切线的斜率计算，为后续导数定义与应用搭建从具体到抽象的学习支架。 通过物理与几何背景引入，结合“学透用活”典例与分层练习渗透极限思想，培养数学抽象与运算素养。课中助教师高效授课，课后检测覆盖不同层次，帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

5．1　导数的概念及其意义 5．1.1变化率问题 [新课程标准] 1．借助物理背景了解平均速度与瞬时速度． 2．借助几何背景了解曲线的割线与切线，并会求切线方程． 3．体会极限思想，培养学生数学抽象、数学运算的核心素养．　 (一)教材梳理填空 1．瞬时速度的定义 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．瞬时速度的计算公式 把当＝中Δt无限趋近于0时，＝的极限，记为 ，为物体在t s时的瞬时速度． 3．抛物线的切线的斜率 (1)切线的概念 如图，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线在点P0处的切线． (2)斜率的计算公式 当Δx无限趋近于0时，k＝的极限，记为 . (二)基本知能小试 1．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为(　　) A．6＋Δt B．6＋Δt＋ C．3＋Δt D．9＋Δt 答案：A 2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为(　　) A．6 B．18 C．54 D．81 解析：选B　∵s(t)＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32 ＝18Δt＋3(Δt)2. ∴ ＝(18＋3Δt)＝18，故应选B. 3．抛物线f(x)＝3x2＋1在点(2,13)处的切线方程为________． 解析：切线的斜率为 ＝12＋3Δx＝12， ∵切线过点(2,13)， ∴所求切线方程为y－13＝12(x－2)， 即12x－y－11＝0. 答案：12x－y－11＝0 题型一　运动物体的平均速度 [学透用活] [典例1]　已知s(t)＝5t2. (1)求t从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t从3秒到3.01秒的平均速度． [解]　(1)＝＝＝＝30.5 (m/s)． (2)＝＝＝＝30.05 (m/s)． 求平均速度的一般步骤 (1)先计算对应值的改变量f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量x2－x1； (3)求平均速度.　　 [对点练清] 1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为(　　) A．0.41 B．3 C．4 D．4.1 解析：选D　＝＝4.1. 2.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为(　　) A．v2＝v3＜v1 B．v1＜v2＝v3 C．v1＜v2＜v3 D．v2＜v3＜v1 解析：选C　由题意得，v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由题图易知kOA＜kAB＜kBC，∴v1＜v2＜v3，故选C. 题型二　求瞬时速度 [学透用活] [典例2]　已知质点M做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为s＝2t2＋3. (1)当t＝2，Δt＝0.01时，求平均速度； (2)求质点M在t＝2时的瞬时速度． [解]　＝＝＝4t＋2Δt. (1)当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)． (2)当t＝2时，瞬时速度v＝＝(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)． 即质点M在t＝2时的瞬时速度为8 cm/s. 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下． (1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))； (2)求平均速度：＝； (3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数)．　　 [对点练清] 一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)． (1)求该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求该质点在t＝1时的瞬时速度． 解：(1)该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝ ＝(－6－3Δt)(m/s)． (2)由(1)知，当Δt趋近于0时，趋近于－6， 所以该质点在t＝1时的瞬时速度为－6 m/s. 题型三　抛物线的切线 [学透用活] [典例3]　已知函数f(x)＝x2，x0＝－2. (1)分别令Δx＝2,1,0.5，求f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的相应割线的斜率，并画出过点(x0，f(x0))的相应割线； (2)求函数f(x)＝x2在x＝x0处的切线的斜率，并画出曲线f(x)＝x2在点(－2,4)处的切线． [解]　(1)当Δx＝2,1,0.5时，区间[x0，x0＋Δx]相应为[－2,0]，[－2，－1]，[－2，－1.5]． 函数f(x)＝x2在这些区间上相应割线的斜率分别为 ＝＝－2， ＝＝－3， ＝＝－3.5. 其相应割线如图(1)所示，分别是过点(－2,4)和点(0,0)的直线l1，过点(－2,4)和点(－1,1)的直线l2，过点(－2,4)和点(－1.5,2.25)的直线l3. (2)f(x)＝x2在区间[－2，－2＋Δx]上割线的斜率为＝＝－4＋Δx. 当Δx趋近于0时，函数f(x)＝x2在区间[－2，－2＋Δx]上割线的斜率趋近于－4， 所以函数f(x)＝x2在x＝x0处的切线斜率k0＝－4. 曲线f(x)＝x2在点(－2,4)处的切线为直线l，如图(2)． 求曲线的切线方程，首先求割线的斜率，然后利用极限思想得切线的斜率，最后由切点在切线上求曲线切线方程．　　 [对点练清] 1．求曲线f(x)＝x2＋1在点P处的切线的斜率以及切线方程． 解：由已知可得，切线的斜率为 k＝ ＝ ＝ ＝＝1. 故切线方程为y－＝x－1，即y＝x＋. 2．已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx，f(2＋Δx))(Δx>0)． (1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的范围； (2)求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的方程． 解：(1)由题意得，割线AB的斜率为 ＝ ＝ ＝＝－3－Δx， 由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2， 又因为Δx>0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)． (2)由(1)知函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率为 k＝＝(－3－Δx)＝－3， 又f(2)＝－22＋2＝－2， 所以切线的方程为y－(－2)＝－3(x－2)， 即3x＋y－4＝0. [课堂思维激活]　 一、应用性——强调学以致用 1．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．6 解析：选B　由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1，故选B. 二、创新性——强调创新意识和创新思维 2.某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H3(H为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为′ m3/h，观察图象可知瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是(　　) A．t1 B．t2 C．t3 D．t4 解析：选C　如图所示，平均融化速度实际上是点A与点B连线的斜率k；瞬时融化速度实际上是曲线V(t)在某时刻的切线斜率．通过对比，曲线在t3时刻的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是t3. [课下过关检测]　 1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，为(　　) A．从t时刻到t＋Δt时刻物体的平均速度 B．在t 时刻物体的瞬时速度 C．当时间为Δt时物体的速度 D．在时间t＋Δt时物体的瞬时速度 解析：选B　中Δt趋于0时得到的数值是物体在t时刻的瞬时速度． 2．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1,1＋d]上的平均速度为(　　) A．2d＋4 B．－2d＋4 C．2d－4 D．－2d－4 解析：选D　平均速度为＝－4－2d.故选D. 3．一根金属棒的质量y(单位：kg)关于长度x(单位：m)的函数关系式为f(x)＝3，则从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是(　　) A. kg/m B． kg/m C. kg/m D． kg/m 解析：选B　从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是＝＝(kg/m)． 4．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　) A．1 B． C．－ D．－1 解析：选A　切线的斜率为＝2a. 又∵切线的斜率为2，∴a＝1. 5．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t＋t3，则该物体在时间间隔内的平均加速度为________． 解析：平均加速度＝＝. 答案： 6．过曲线y＝x2上两点A(2,4)和B(2＋Δx,4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为________． 解析：因为kAB＝＝＝＝Δx＋4，所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1. 答案：4.1 7．曲线y＝－3x2＋2x＋1在点(－2，－15)处的切线方程为________． 解析：由 ＝(－3Δx＋14)＝14，可得所求切线方程为y＋15＝14(x＋2)，即14x－y＋13＝0. 答案：14x－y＋13＝0 8．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(s表示位移大小，单位：m；t表示时间，单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度大小为8 m/s，则常数a为________． 解析：因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt.当t＝2时，瞬时速度大小为li ＝4a，可得4a＝8，所以a＝2. 答案：2 9．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)． (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度； (3)求t＝0到t＝2时的平均速度． 解：(1)初速度v0＝ ＝ ＝ (3－Δt)＝3， 即物体的初速度为3 m/s. (2)v＝ ＝ ＝ ＝ (－Δt－1)＝－1，即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反． (3)＝＝＝1， 即t＝0 s到t＝2 s时的平均速度为1 m/s. 10．若一物体的运动方程如下：(位移s的单位：m，时间t的单位：s)s＝ 求：(1)物体在[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． 解：(1)因为物体在[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在[3,5]内的平均速度为＝＝24 m/s. (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为＝ ＝ ＝3Δt－18， 所以物体在t＝0处的瞬时速度为＝(3Δt－18)＝－18. 即物体的初速度为－18 m/s. (3)物体在t＝1时的瞬时速度，即为函数在t＝1处的瞬时变化率． 因为＝ ＝ ＝3Δt－12， 所以函数在t＝1时的瞬时变化率为＝(3Δt－12)＝－12. 即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. 1．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 解析：选A　因为点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，所以b＝1.又＝＝a，由切线方程x－y＋1＝0知斜率k＝1，故a＝1. 2．物体的运动方程为S＝(位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度． 解：物体在[1,1＋Δt]内的平均速度为 ＝ ＝＝ ＝(m/s)， 即物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度为 m/s. 3．已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化(温度不变)，下表记录了某温度下该化学物质在溶液中反应时不同时刻t的浓度C(t). t 0 2 4 6 8 C(t) 0.080 0 0.057 0 0.040 8 0.029 5 0.021 0 试根据上表求下列时间段内的平均反应速率： (1)2≤t≤6；(2)2≤t≤4；(3)0≤t≤2. 解：(1)＝＝0.006 875. (2)＝＝0.008 1. (3)＝＝0.011 5. 学科网（北京）股份有限公司 $