5.1.1 变化率问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5．1　导数的概念及其意义

5．1.1变化率问题

[新课程标准]

1．借助物理背景了解平均速度与瞬时速度．

2．借助几何背景了解曲线的割线与切线，并会求切线方程．

3．体会极限思想，培养学生数学抽象、数学运算的核心素养．　

(一)教材梳理填空

1．瞬时速度的定义

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

2．瞬时速度的计算公式

把当＝中Δt无限趋近于0时，＝的极限，记为 ，为物体在t s时的瞬时速度．

3．抛物线的切线的斜率

(1)切线的概念

如图，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线在点P0处的切线．

(2)斜率的计算公式

当Δx无限趋近于0时，k＝的极限，记为 .

(二)基本知能小试

1．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为(　　)

A．6＋Δt  B．6＋Δt＋

C．3＋Δt  D．9＋Δt

答案：A

2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为(　　)

A．6  B．18

C．54  D．81

解析：选B　∵s(t)＝3t2，t0＝3，

∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32

＝18Δt＋3(Δt)2.

∴ ＝(18＋3Δt)＝18，故应选B.

3．抛物线f(x)＝3x2＋1在点(2,13)处的切线方程为________．

解析：切线的斜率为 ＝12＋3Δx＝12，

∵切线过点(2,13)，

∴所求切线方程为y－13＝12(x－2)，

即12x－y－11＝0.

答案：12x－y－11＝0

题型一　运动物体的平均速度

[学透用活]

[典例1]　已知s(t)＝5t2.

(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；

(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度．

[解]　(1)＝＝＝＝30.5 (m/s)．

(2)＝＝＝＝30.05 (m/s)．

求平均速度的一般步骤

(1)先计算对应值的改变量f(x2)－f(x1)；

(2)再计算自变量的改变量x2－x1；

(3)求平均速度.　　

[对点练清]

1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为(　　)

A．0.41  B．3  C．4  D．4.1

解析：选D　＝＝4.1.

2.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小

关系为(　　)

A．v2＝v3＜v1  B．v1＜v2＝v3

C．v1＜v2＜v3  D．v2＜v3＜v1

解析：选C　由题意得，v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由题图易知kOA＜kAB＜kBC，∴v1＜v2＜v3，故选C.

题型二　求瞬时速度

[学透用活]

[典例2]　已知质点M做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为s＝2t2＋3.

(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求平均速度；

(2)求质点M在t＝2时的瞬时速度．

[解]　＝＝＝4t＋2Δt.

(1)当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．

(2)当t＝2时，瞬时速度v＝＝(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．

即质点M在t＝2时的瞬时速度为8 cm/s.

设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下．

(1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))；

(2)求平均速度：＝；

(3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数)．　　

[对点练清]

一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)．

(1)求该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；

(2)求该质点在t＝1时的瞬时速度．

解：(1)该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝

＝(－6－3Δt)(m/s)．

(2)由(1)知，当Δt趋近于0时，趋近于－6，

所以该质点在t＝1时的瞬时速度为－6 m/s.