4.4 数学归纳法讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

4.4　数学归纳法(选学内容，不作考试要求)

　　　　　

高频考点一|等差(比)数列的基本运算

[例1]　等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

[解]　(1)设{an}的公比为q.

由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n.

∴数列{an}的通项公式为an＝2n.

(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.

设{bn}的公差为d，则

解得∴bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.

∴数列{bn}的通项公式为bn＝12n－28.

∴数列{bn}的前n项和

Sn＝＝6n2－22n.

等差数列、等比数列各有五个相关量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差数列、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法．　　

[集训冲关]

1．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，则S10的值为(　　)

A．－110  B．－90  C．90  D．110

解析：选D　∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，a7是a3与a9的等比中项，

∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，

∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.故选D.

2．已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？

解：(1)设等差数列{an}的公差为d.

因为a4－a3＝2，所以d＝2.

又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.

所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2.

(2)设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，

所以q＝2，b1＝4.

所以b6＝4×26－1＝128.

由128＝2n＋2得n＝63.

所以b6与数列{an}的第63项相等．

高频考点二|等差(比)数列的基本运算

[例2]　记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2.

(1)证明：数列{bn}是等差数列．

(2)求{an}的通项公式．

[解]　(1)证明：由＋＝2，

得bn＝＝＋，

亦可得2＋＝2Sn＝2＋(n≥2)，

即bn－1＝(n≥2)，所以bn－bn－1＝.

由＋＝2，可得b1＝.

所以{bn}是首项为，公差为的等差数列．

(2)由(1)知bn＝＋(n－1)＝1＋，

所以Sn＝＝＝(n≥2)．

当n＝1时，S1＝b1＝，满足上式，所以Sn＝.

所以an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2)．

当n＝1时，a1＝S1＝b1＝≠－，

所以an＝

判断和证明数列是等差(比)数列的方法

(1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an为与正整数n无关的常数．

(2)中项公式法：

①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列；

②若a＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2且an≠0)，则{an}为等比数列．

(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列．

(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；

Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是公比不为1的等比数列．　　

[集训冲关]

1.(多选)已知Sn是公比为q的正项等比数列{an}的前n项和，若a1＋a2＝3，a2a4＝16，则下列说法正确的是(　　)

A．q＝2

B．数列{Sn＋1}是等比数列

C．S8＝255

D．数列{lg an}是公差为2的等差数列

解析：选ABC　根据题意，设等比数列{an}的公比为q(q>0)，

对于A，若a1＋a2＝3，a2a4＝16，则a3＝4，a1q2＝4，解得a1＝1，q＝2，A正确；

对于B，由a1＝1，q＝2，则Sn＝＝2n－1，则有Sn＋1＝2n，故数列{Sn＋1}是公比为2的等比数列，B正确；

对于C，由Sn＝2n－1，则S8＝28－1＝255，C正确；