4.3.2 等比数列的前n项和公式讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

4．3　等比数列

4．3．2　等比数列的前n项和公式

[新课程标准]

1．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．

2．掌握等比数列前n项和的性质．

3．掌握利用分组转化法、裂项相消法、错位相减法等求和．

4．通过等比数列前n项和的应用，培养学生数学运算的核心素养．　

第一课时　等比数列的前n项和

知识点一　等比数列的前n项和公式

(一)教材梳理填空

(二)基本知能小试

1．判断正误

(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　　)

(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　)

答案：(1)×　(2)√

2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　)

A．4  B．－4

C．2  D．－2

解析：选A　由S5＝＝44，得a1＝4.

3．数列{2n－1}的前99项和为(　　)

A．2100－1  B．1－2100  C．299－1  D．1－299

解析：选C　数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1.

知识点二　等比数列前n项和的性质

(一)教材梳理填空

(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝；若项数为2n＋1，则＝.

(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)．

(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列．

(二)基本知能小试

1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于(　　)

A．31  B．33  C．35  D．37

解析：选B　根据等比数列性质得＝q5，

∴＝25，∴S10＝33.

2．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　)

A．12  B．10

C．8  D．6

解析：选C　设该数列为a1，a2，…，a2n，公比为q，由题意可知＝q＝2，an＋an＋1＝24.又a1＝1，∴qn－1＋qn＝24，即2n－1＋2n＝24，解得n＝4，故项数为8.

题型一　等比数列的前n项和公式的基本运算

[学透用活]

等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此，当公比未知时，要对公比进行分类讨论．

 [典例1]　在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.

(1)若a1＝8，an＝，Sn＝，求n；

(2)若S3＝，S6＝，求an及Sn.

[解]　(1)显然q≠1，由Sn＝，即＝，

∴q＝.又an＝a1qn－1，即8×n－1＝，∴n＝6.

(2)法一：由S6≠2S3知q≠1，由题意得

②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2.

代入①得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，

Sn＝＝2n－1－.

法二：由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3.

∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，即q＝2.

代入①得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，

Sn＝＝2n－1－.

在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．　　

[对点练清]

1．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S20＝(210＋1)S10，则数列{an}的公比为(　　)

A．4  B．2  C．1  D．

解析：选B　设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，且S20＝(210＋1)S10，可得q≠1，则有＝(210＋1)·，可得1－q20＝(1＋210)(1－q10)，即为1＋q10＝1＋210，解得q＝2.

2．[多选]已知正项等比数列{an}中a1＝2，a5－2a3＝a4，设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　)

A．q＝2   B．an＝2n

C．S10＝2 047   D．an＋an＋1<an＋2

解析：选ABD　因为a5－2a3＝a4，所以a1q4－2a1q2＝a1q3，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又q>0，所以q＝2，所以A正确；数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n，所