4.3.1 等比数列的概念讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

4．3　等比数列

4．3.1　等比数列的概念

[新课程标准]

1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．

2．掌握等比数列的性质并应用．

3．通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养学生数学抽象、数学运算的核心素养；通过对等比数列性质的应用，培养学生逻辑推理的核心素养．　

第一课时　等比数列的概念及通项公式

知识点一　等比数列的概念

(一)教材梳理填空

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0)．

2．等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab.

(二)基本知能小试

1．判断正误

(1)等比数列中至少含有三项．(　　)

(2)等比数列每相邻两项的比都相同．(　　)

(3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　)

(4)任何两个数都有等比中项．(　　)

(5)若G2＝ab，则G一定是a，b的等比中项．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×

2．下列数列为等比数列的是(　　)

A．2,22,3×22，…  B．，，，…

C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…  D．0,0,0，…

解析：选B　A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中项可为0，不符合定义．

3．2＋和2－的等比中项是(　　)

A．1  B．－1  C．±1  D．2

答案：C

4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．

答案：x≠0

知识点二　等比数列的通项公式

(一)教材梳理填空

已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝a1qn－1.

(二)基本知能小试

1．判断正误

(1)等比数列{an}的首项为a1＝1，公比为2，则an＝2n－1.(　　)

(2)数列a，a3，a5，a7，…的通项公式为an＝a2n－1.(　　)

答案：(1)√　(2)×

2．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－，则a6＝(　　)

A．1  B．－1

C．2  D．

答案：B

3．在等比数列{an}中，a3＝2，a6＝16，则数列{an}的公比是(　　)

A．－2  B．

C．2  D．4

答案：C

题型一　等比数列的通项公式

[学透用活]

 [典例1]　在等比数列{an}中，

(1)a4＝2，a7＝8，求an；

(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.

[解]　设首项为a1，公比为q.

(1)法一：因为所以

由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，

于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.

法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝.

所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝2.

(2)法一：因为

由得q＝，从而a1＝32.

又an＝1，所以32×n－1＝1，

即26－n＝20，所以n＝6.

法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.

由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.

由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.

等比数列通项公式的求法

(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．

(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　　

[对点练清]

1．若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是(　　)

A．0  B．1或－2

C．－1或2  D．－1或－2

解析：选C　设首项为a1，公比为q，显然a1q≠0.由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2.

2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

解析：选D　因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.

题型二　等比中项及应用

[学透用活]

[典例2]　等比数列{an}的前三项之和为168，a2－a5＝42，求a5与a7的等比中项．

[解]　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.

因为a2－a5＝42，所以q≠1，