4.2.2 等差数列的前n项和公式讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

4．2．2　等差数列的前n项和公式

[新课程标准]

1．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．

2．掌握等差数列前n项和的性质并应用．

3．会解决与等差数列前n项和有关的实际应用问题．

4．通过掌握等差数列前n项和的公式及应用，培养学生数学运算的核心素养；通过对等差数列前n项和性质的应用，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养．　

第一课时　等差数列的前n项和

(一)教材梳理填空

　等差数列的前n项和公式

[微思考]

等差数列的前n项和公式可变形为Sn＝na1＋d＝n2＋n.那么我们说“等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数”，这种说法对吗？为什么？

提示：不正确．当d≠0时，Sn是n的二次函数，且不含有常数项；当d＝0时，Sn＝na1，不是n的二次函数．

(二)基本知能小试

1．判断正误

(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　)

(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．(　　)

(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，S偶－S奇＝an＋1.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝6，则S5等于(　　)

A．10  B．12

C．15  D．30

解析：选C　因为等差数列{an}中，a2＋a4＝6，故a1＋a5＝6，所以S5＝＝＝15.故选C.

3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.

解析：∵an＝－5n＋2，

∴数列{an}是等差数列，且a1＝－3，公差d＝－5，

∴Sn＝＝－.

答案：－

题型一　等差数列前n项和的计算

[学透用活]

 [典例1]　(1)在等差数列{an}中，a4＝9，a9＝－6，若Sn＝63，求n的值．

(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.

[解]　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

则解得

∴Sn＝18n－n(n－1)＝63，解得n＝6或n＝7.

故n的值为6或7.

(2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

则Sn＝na1＋d.

将S12＝84，S20＝460分别代入，

得解得

∴S28＝28a1＋d＝28×(－15)＋14×27×4

＝1 092.

法二：设此等差数列的前n项和Sn＝an2＋bn.

∵S12＝84，S20＝460，

∴解得

∴Sn＝2n2－17n，∴S28＝2×282－17×28＝1 092.

等差数列中的基本计算

(1)利用基本量求值

等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．

(2)结合等差数列的性质解题

等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．　　

[对点练清]

1．等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于(　　)

A．160  B．180  C．200  D．220

解析：选B　由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24得a2＝－8，

由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，

S20＝×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180.

2．(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　)

A．－2　　　　　B．　　　　　C．1　　　　　D．

解析：选D　设等差数列{an}的公差为d，由S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝1，得a1＋4d＝，所以a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝，故选D.

3．[多选]数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则(　　)

A．a1＝1   B．d＝－

C．a2＋a12＝10   D．S10＝40

解析：选ACD　设数列{an}的公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1.又a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40.由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.

 

题型二　等差数列前n项和的应用

[学透用活]