13.3.1 三角形的内角与外角 课件 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

本讲义聚焦三角形内角和定理这一核心知识点，从情境导入中三类三角形的误解出发，引导学生辨析错误认知，自然过渡到小学剪拼验证方法的回顾与反思，再通过三种不同辅助线构造方式完成严谨几何证明，层层递进构建完整知识体系。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、数学思维与数学语言的融合应用。例如，用“小判官”角色激发学生观察现实现象的兴趣，培养几何直观与批判性思维；通过平行线“移角”转化平角的证法，强化逻辑推理能力；在例题与练习中融入方位角、角度比例等真实情境，提升学生用数学语言表达实际问题的能力。课中便于教师开展探究式教学，课后可作为学生自主复习与查漏补缺的重要资源，尤其适合用于巩固定理理解、训练方程思想及拓展综合应用能力。

13.3.1 三角形的内角 13.3 三角形的内角与外角 第1课时 三角形的内角和 学习目标 经历探究活动的过程，多角度探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性. 获取添加辅助线的思路和方法，能用平行线的性质证明三角形内角和等于180°. 应用三角形内角和定理解决实际问题，提高发现问题和解决问题的能力. 1 2 3 我是锐角三角形，我的形状最小，我的内角和最小. 我是直角三角形，我的形状最大，我的内角和肯定最大. 不对，我是钝角三角形，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 情境导入 (有误差) (只能对有限个三角形使用这些方法) 在小学我们已经知道，三角形的内角和等于180°，我们是如何验证这一结论的？ 1 测量 2 剪拼方法 3 折叠方法 探究新知 这样的方法获得的结论可靠吗？ 这些验证不是数学证明，需要通过推理的方法来证明. 知识点 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180°. 命题证明 A B C 已知：△ABC. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 画图写出 已知求证 证明过程 ？ 知识点 三角形的内角和 你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？ A B C A B C B C B A B C A A B C ······ 将三个角拼合到一起的目的是什么？ 为了得到一个平角. 有了平角，根据平角定义，就得到了180°. 知识点 三角形的内角和 探 究 从下图给出的操作过程中，你能发现证明的思路吗？ B B C C A l A B C l 1 2 3 4 5 直线 l 与△ABC 的边 BC 有什么关系？ 直线 l∥BC 证明思路： 过点A作直线l//BC 由平行线的性质转移∠B和∠C 由平角定义得到 180° 知识点 三角形的内角和 A B C l 1 2 3 4 5 已知：△ABC. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. ∵∠1，∠4，∠5 组成平角， ∴∠1 +∠2 + ∠3 = 180°(等量代换). ∴∠1 +∠4 + ∠5 = 180°(平角定义). 有其他证法吗？ 知识点 三角形的内角和 ∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等) 证法1：过点A作l∥BC， ∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等) 三角形的内角和定理 A B C 三角形的内角和等于180°. 几何语言： 在△ABC 中， ∠A +∠B +∠C = 180° 知识点 三角形的内角和 B B C A A l 从下图给出的操作过程中，你能发现其他证明的思路吗？ A B C l 1 2 3 4 5 知识点 三角形的内角和 探 究 延长 BC，过点 C 作直线 l，使 l // AB. ∵l // AB，∴∠1 =∠4 (两直线平行，内错角相等). 且 ∠2 =∠5. ∵∠3，∠4，∠5 组成平角， ∴∠1 +∠2 + ∠3 = 180°(等量代换). ∴∠3 +∠4 + ∠5 = 180°(平角定义). A B C l 1 2 3 4 5 证法2： (两直线平行，同位角相等). 知识点 三角形的内角和 C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°， ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 同学们还有其他的方法吗？ 知识点 三角形的内角和 通过前面的操作和证明过程，你有什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？ C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n 借助平行线“移角”功能，将三个角转化成一个平角. 转化思想 ①依据平角定义，得到180° 除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？ 思路②如何添加辅助线？ 利用平行线的性质，转移角 添加平行线(辅助线) ②两直线平行，同旁内角互补 A B C l 2 1 F 1 4 2 3 D E A B C 知识点 三角形的内角和 证法三 证法四 知识点 三角形的内角和 针对训练 1.如图，说出各图中∠1 的度数. 30° 105° 1 （2） 80° 50° 1 （1） 22° 1 （3） 50° 45° 68° ∠1 = 180°– 50°– 80° = 50° ∠1 = 180°– 105°– 30° = 45° ∠1 = 180°– 22°– 90° = 68° 3. 如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . B A C D 4 1 3 2 E 40° （ 280 ° 2. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=　　　　． 100° 例 1 如图，在△ABC 中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线. 求∠ADB 的度数. 教材P12例题 第1题 A C B D A C B D 教材P12例题 第1题 解：由∠BAC ＝ 40°，AD 是△ABC 的角平分线，得 在△ABD 中， ∠ADB = 180° – ∠B – ∠BAD = 180° – 75° – 20° = 85°. ∠BAD ＝ ∠BAC ＝ 20°. 教材P13练习 第2题 2. 如图，在△ABC 中，∠A = 40°，求∠B + ∠C + ∠ADE + ∠AED 的度数. C A B D E 随堂演练 教材P13练习 第2题 C A B D E 解：在△ADE 中， ∠ACD +∠AED = 180° –∠A = 180° – 40° = 140° . 在△ABC 中， ∠B +∠C = 180° – ∠A = 180° – 40° = 140° . ∴ ∠B + ∠C + ∠ADE + ∠AED = 140° + 140° = 280° . 随堂演练 1.如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°， ∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B –∠BCD=80°. 变式 题 3.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求∠C的度数. 解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°) ＝130°. 2.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为(　　) A．30°　　B．40°　 C．50° 　D．60° D 4.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(　　) A．45° B．54° C．40° D．50° C 5. 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°， 求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.  6.直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°， 则∠2＝________． 40° l1 l2 基本图形 由三角形的内角和定理易得 ∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 3 4 归纳总结 7.在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x ＋ 15)， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°. 方程的思想与三角形内角和定理的综合应用 方法点拨： 三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解. 8. 在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数． 分析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数． 比例关系可考虑用方程思想求角度. 解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB， 设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°， ∴∠A＝30°，∠ACB＝90°. ∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°. ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝ ×90°＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°. ②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 _________三角形 . ①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= . ③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°， ∠C= ∠A + 10°， 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= . 102° 直角 60° 50° 70° 9.完成下列各题. 解析：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形的内角和定理得：x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=90°. 教材P12例题 第2题 例 2 下图是 A，B，C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80° 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向. 从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 北 北 C A B D E 80° 40° ？ 50° ？ 教材P12例题 第2题 分析：A，B，C 三岛的连线构成△ABC，所求的∠ABC ，∠ACB 是△ABC 的内角. 如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求∠ACB. 北 北 C A B D E 80° 40° ？ 50° ？ 教材P12例题 第2题 解：∠CAB = ∠BAD – ∠CAD = 80° – 50° = 30°. 由 AD // BE，得 ∠BAD +∠ABE = 180°. 在△ABC 中， ∠ACB = 180° – ∠ABC – ∠CAB = 180° – 60° – 30° = 90°. 答：从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°， 从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°. 所以∠ABE = 180° – ∠BAD = 180° – 80° = 100°， ∠ABC = ∠ABE – ∠EBC = 100° – 40° = 60°. 北 北 C A B D E 80° 40° 50° 你还能给出其他解法吗？ 教材P12例题 第2题 解：过点 C 作 CF // AD，则 CF // BE. ∴∠1 = ∠3 ，∠2 = ∠4 (两直线平行，内错角相等) ∴∠ACB = ∠1 +∠2 = ∠3 +∠4 = 50° + 40° = 90° (等量代换) 所以∠ABC = 180° – ∠BAD – ∠4 = 180° – 80° – 40° = 60°. 由 AD // BE，得 ∠BAD +∠ABE = 180°. 北 北 C A B D E 80° 40° 50° 1 2 F 3 4 答：从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°， 从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°. 教材P13练习 第1题 1. 如图，从 A 处观测 C 处的仰角 ∠CAD = 30°，从 B 处观测 C 处的仰角 ∠CBD = 45°. 从 C 处观测 A，B 两处的视角∠ACB 是多少度？ C A B D 随堂演练 教材P13练习 第1题 C A B D 解：在△ABC 中， ∠ACD = 180° – (∠BAD +∠CAD) = 180° – (30° + 90°) = 60° . 在△BCD 中， ∠BCD = 180° – (∠CBD +∠D) = 180° – (45° + 90°) = 45° . ∴∠ACB =∠ACD –∠BCD = 60° – 45° = 15° . 随堂演练 3. 已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角. （1）若∠A = 95°，∠B = 40°，则∠C =_____； （2）若∠A :∠B :∠C = 4 : 5 : 9，则∠C =_____； （3）若∠A = 2∠B = 6∠C，则∠B =_____. （1）∠C = 180°–∠A –∠B 45° （2）设∠A = 4x°，则∠B = 5x°，∠C = 9x° ∴ 4x + 5x + 9x = 180 解得 x = 10 90° 54° （3）设∠C = x°，则∠A = 6x°，∠B = 3x° ∴ 6x + 3x + x = 180 解得 x = 18 随堂演练 1.如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？ 随堂演练 解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向， ∴ ∠ABD＝60°. 又∵ ∠DBE＝90°， ∴ ∠ABE＝90°–∠ABD＝90°–60°＝30°. ∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向， ∴ ∠ACE＝90°–40°＝50°. ∴ ∠BAC＝∠ACE–∠ABE＝50°–30°＝20°. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°. （2024·四川凉山州中考）如图，在△ABC中，∠BCD=30°， ∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是______． 解析：∵CD是边AB上的高， ∴∠CDB=∠CDA=90°. ∵∠BCD=30°，∠ACB=80°， ∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°，∠CBD=90°-∠BCD=60°. ∴∠CAB=90°-∠ACD=40°. ∵AE是∠CAB的平分线​，∴∠EAB= ∠CAB=20°. ∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=100°． 100° 随堂演练 1. 如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°， ∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C） =180°–（78°+60°） =42°． 随堂演练 2.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数. 解：∵∠B=42°，∠C=78°， ∴∠BAC=180°–∠B –∠C=60°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD= ∠BAC=30°， ∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°. 3.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°–60°=120°． 【思考】你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？ 解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°– （∠ABC+∠ACB） =180°– （180°–∠A）=90°+ ∠A ． 证法 转化为一个平角或同旁内角互补 应用 求角度 三角形的内角和等于180° 课堂小结 $