24.3 正多边形和圆（同步练习）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.3 正多边形和圆 一．选择题（共7小题） 1．如图，若⊙O的半径为R，则它的外切正六边形的边长为（　　） A． B． C．2R D．6R 2．有一边长为的正三角形，则它的外接圆的面积为（　　） A． B． C．4π D．12π 3．如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，在BC边上以B为顶点作正方形BEMN，若∠ABN＝45°，则该n边形的内角和为（　　） A．900° B．1080° C．1260° D．1440° 4．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝22.5°，则这个正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的周长为4π，则边心距OM的长为（　　） A． B． C． D． 6．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的外接圆半径是（　　） A．2 B． C．1 D．21 7．如图，北京隆福寺毗卢殿明间藻井现藏于北京古代建筑博物馆中，其设计独特，由正八边形、菱形和圆形组合而成．中间雕着一条栩栩如生的盘龙，由整块金丝楠木精雕细琢而成，细节之处彰显匠人技艺．其中正八边形一个内角大小为（　　） A．108° B．120° C．135° D．150° 二．填空题（共7小题） 8．如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣2，0），则点D的坐标为　 　 ． 9．已知正方形ABCD内接于⊙O，则边AB所对的圆周角的度数为 　 　 ． 10．如图，将边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK的AB边重合叠放在一起，则∠GBC的度数是　 　 ． 11．如果过正多边形的一个顶点可以画出5条对角线，那么这个多边形的每个内角为　 　 °． 12．已知一个正多边形的外角是40°，则这个正多边形的边数为 　 　 ． 13．如图，正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O，连接HD；若线段HD恰好是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n＝　 　 ． 14．正六边形的边长是2，则此正六边形的半径为　 　 ，边心距为　 　 ，面积为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE． （1）求证：AE＝DE； （2）求证：AE+CEDE． 16．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法： （1）如图，作直径AD； （2）作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点； （3）连接AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形． 请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由． 17．如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB＝2，连接DG． （1）求证DG∥AB； （2）DG的长为 　 　 ． 18．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4． （1）求正六边形的边心距； （2）求正六边形ABCDEF的面积． 19．【观察思考】某公园中的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按照如图方式铺设． 【规律总结】 （1）图1开始，每增加一块正六边形地砖，正方形地砖会增加 　 　 块，正三角形地砖会增加 　 　 块； （2）若铺设这条小路共用去a块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为 　 　 块，正三角形地砖的数量为 　 　 块（用含a的代数式表示）； 【问题解决】 （3）已知每块正方形地砖的面积为0.36m2，现已知铺设这条小路使用的正方形地砖的总面积为90.36m2，求铺设这条小路共用多少块正六边形地砖？ 24.3 正多边形和圆 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．如图，若⊙O的半径为R，则它的外切正六边形的边长为（　　） A． B． C．2R D．6R 【答案】B 【分析】求出∠AOD＝30°，然后解直角三角形求出AD，再根据边长AB＝2AD计算即可得解． 【解答】解：如图，∠AOD＝360°÷12＝30°， 所以，AD＝OD•tan30°R， 所以，外切六边形的边长AB＝2ADR． 故选：B． 【点评】本题考查了正多边形和圆，主要利用了解直角三角形，熟记正多边形的性质并求出切点与相邻的顶点所对的圆心角的度数是解题的关键． 2．有一边长为的正三角形，则它的外接圆的面积为（　　） A． B． C．4π D．12π 【答案】C 【分析】正三角形的边长为2，可得其外接圆的半径为2cos30°2，故其面积为4π． 【解答】解：∵正三角形的边长为3， ∴其外接圆的半径为2cos30°2， ∴其面积为4π． 故选：C． 【点评】本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60度． 3．如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，在BC边上以B为顶点作正方形BEMN，若∠ABN＝45°，则该n边形的内角和为（　　） A．900° B．1080° C．1260° D．1440° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得出∠EBN＝90°，即可得出∠ABC＝135°，再根据正多边形的每个内角都相等以及多边形的内角和定理列出（n﹣2）×180°＝135°n，即可求出n的值，然后求其内角和即可． 【解答】解：∵四边形BEMN是正方形， ∴∠EBN＝90°， ∵∠ABN＝45°， ∴∠ABC＝∠ABN+∠EBN＝135°， ∵AB，BC，CD是正n边形的三条边， ∴（n﹣2）×180°＝135°n， 解得n＝8， ∴该n边形为正八边形， ∴其内角和是（8﹣2）×180°＝1080°， 故选：B． 【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质以及多边形的内角和定理是解题的关键． 4．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝22.5°，则这个正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】易得点O是正多边形外接圆的圆心，那么∠ADB为所对的圆周角，进而求得正多边形的中心角，即可求得正多边形的半径． 【解答】解：作出⊙O，连接OA，OB． ∵点O为正多边形的中心， ∴A，B，C，D在以点O为圆心的圆上， ∴∠ADB为所对的圆周角， ∴∠AOB＝2∠ADB＝45°， ∴这个正多边形的边数为：8． 故选：B． 【点评】本题考查正多边形和圆的相关知识．理解正多边形的中心是它外接圆的圆心并进行应用是解决本题的关键． 5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的周长为4π，则边心距OM的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的面积求出OA＝OB＝2，证明△OAB是等边三角形，得到AB＝OA＝OB＝2，由垂径定理得到，再由勾股定理求出OM即可． 【解答】解：∵⊙O的周长为4π， ∴OA＝OB＝2 ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴， ∴△OAB是等边三角形， ∴AB＝OA＝OB＝2 ∵OM⊥AB， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键． 6．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的外接圆半径是（　　） A．2 B． C．1 D．21 【答案】A 【分析】先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，再求多边形的半径． 【解答】解：设多边形的边数为n． 因为正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形外角和为360°， 根据题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2， 解得：n＝6． 故正多边形为6边形． 边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形， 所以正多边形的半径等于2． 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质；熟练掌握正六边形的性质，求出正多边形的边数是解决问题的关键． 7．如图，北京隆福寺毗卢殿明间藻井现藏于北京古代建筑博物馆中，其设计独特，由正八边形、菱形和圆形组合而成．中间雕着一条栩栩如生的盘龙，由整块金丝楠木精雕细琢而成，细节之处彰显匠人技艺．其中正八边形一个内角大小为（　　） A．108° B．120° C．135° D．150° 【答案】C 【分析】正八边形的每个内角相等，由此即可计算， 【解答】解：∵正八边形的每个内角相等， ∴正八边形一个内角大小是135°． 故选：C． 【点评】本题考查正多边形和圆，关键是掌握正多边形的各内角相等． 二．填空题（共7小题） 8．如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣2，0），则点D的坐标为　（2，0）　 ． 【答案】（2，0）． 【分析】根据点A的坐标求出OA的长，再根据正六边形的性质求出OD，进而求出D的坐标即可． 【解答】解：∵A点的坐标为（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∴OD＝2， ∴D（2，0）， 故答案为（2，0）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 9．已知正方形ABCD内接于⊙O，则边AB所对的圆周角的度数为 　45°或135°　 ． 【答案】45°或135°． 【分析】连接OB，OC，求出BC所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答． 【解答】解：圆内接正方形的边BC所对的圆心角360°÷4＝90°，则360°﹣90°＝270°， 根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半， BC所对的圆周角的度数是9045°或270°135°． 故答案为45°或135°． 【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，属于基础题，要注意分两种情况讨论． 10．如图，将边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK的AB边重合叠放在一起，则∠GBC的度数是　12°　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】据正五边形和正六边形性质可得答案． 【解答】解：∵在正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK中，∠ABG108°，∠ABC120°， ∴∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°， 故答案为：12°． 【点评】本题考查了正多边形与圆，多边形的内角与外角，利用了正五边形的内角，正六边形的内角． 11．如果过正多边形的一个顶点可以画出5条对角线，那么这个多边形的每个内角为　135　 °． 【答案】135． 【分析】根据过正多边形的一个顶点可以画出5条对角线求出这个多边形是正八边形，再根据多边形内角和定理以及正多边形的每个内角相等即可求出这个正多边形的每个内角． 【解答】解：如果过正多边形的一个顶点可以画出5条对角线，那么这个多边形是正八边形， 所以它的每个内角为135°， 故答案为：135． 【点评】本题考查了正多边形和圆，多边形的对角线，熟知正多边形的每个内角相等、多边形内角和定理以及过n边形的一个顶点可以画出（n﹣3）条对角线是解题的关键． 12．已知一个正多边形的外角是40°，则这个正多边形的边数为 　9　 ． 【答案】9． 【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°， 据此可得40°， 解得n＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了正多边形和圆，解答本题的关键要明确正多边形的每个外角相等，且其和为360°． 13．如图，正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O，连接HD；若线段HD恰好是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n＝　12　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接OH、OD、OA，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接六三角形的中心角得到∠HOA＝60°，∠DOA＝90°，∠DOH＝∠DOA﹣∠HOA＝90°﹣60°＝30°，然后计算n． 【解答】解：连接OH、OD、OA，如图， ∵正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O， ∴∠HOA60°， ∠DOA90°， ∠DOH＝∠DOA﹣∠HOA＝90°﹣60°＝30°， ∴n12， 即HD恰好是同圆内接一个正十二边形的一边． 故答案为12． 【点评】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念是解决本题的关键． 14．正六边形的边长是2，则此正六边形的半径为　2　 ，边心距为　　 ，面积为　6　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH的长，继而求得正六边形的面积． 【解答】解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC360°＝60°， ∵OB＝0C， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝OC＝2， ∴它的半径为2，边长为2； ∵在Rt△OBH中，OH＝OB•sin60°＝2， ∴边心距是：； ∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝626． 故答案为：2，，6． 【点评】本题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 三．解答题（共5小题） 15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE． （1）求证：AE＝DE； （2）求证：AE+CEDE． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）证明，即可得出AE＝DE． （2）连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．证明，推出AE＝CF，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴AE＝DE． （2）证明：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC， ∵∠EDF＝90°， ∴∠F＝90°﹣45°＝45°， ∴DE＝DF． ∵∠ADC＝∠EDF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF． 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴， 即． 【点评】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 16．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法： （1）如图，作直径AD； （2）作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点； （3）连接AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形． 请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用锐角三角函数关系得出∠BOE＝60°，进而得出∠COE＝∠BOE＝60°，再利用圆心角定理得出答案． 【解答】解：两位同学的方法正确． 连BO、CO， ∵BC垂直平分OD， ∴直角△OEB中．cos∠BOE， ∠BOE＝60°，由垂径定理得∠COE＝∠BOE＝60°， 由于AD为直径，∴∠AOB＝∠AOC＝120°， ∴AB＝BC＝CA， 即△ABC为等边三角形． 【点评】此题主要考查了垂径定理以及圆心角定理和等边三角形的判定等知识，得出∠AOB＝∠AOC＝120°是解题关键． 17．如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB＝2，连接DG． （1）求证DG∥AB； （2）DG的长为 　22　 ． 【答案】（1）详见解答； （2）22． 【分析】（1）根据正八边形的性质、圆内接正八边形的性质以及圆周角定理得出∠ABG＝∠BGD，由平行线的判断得出结论； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用圆周角定理以及直角三角形的边角关系求出MD，DG即可． 【解答】（1）证明：∵八边形ABCDEFGH是⊙O的内接正八边形， ∴， ∴， ∴∠ABG＝∠BGD， ∴AB∥DG； （2）解：如图，连接ODOEOF，过点E、F分别作DG的垂线，垂足为M、N，则MN＝EF＝AB＝2， ∵八边形ABCDEFGH是⊙O的内接正八边形， ∴∠DOE＝∠EOF45°， ∴∠NGF∠DOF＝45°＝∠MDE， 在Rt△MDE中，∠MDE＝45°，DE＝2， ∴MDDE， 同理NG， ∴DG222． 故答案为：22． 【点评】本题考查正多边形与圆，掌握圆内接正八边形的性质、直角三角形的边角关系以及圆周角定理是正确解答的前提． 18．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4． （1）求正六边形的边心距； （2）求正六边形ABCDEF的面积． 【答案】（1）正六边形的边心距为； （2）． 【分析】（1）连接OC、OD，过点O作OH⊥CD于H，证明△COD等边三角形，利用三角函数即可求解； （2）根据正六边形ABCDEF的面积＝6S△COD即可求解． 【解答】解：（1）连接OC、OD，过点O作OH⊥CD于H，则∠OHC＝∠OHD＝90°， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COD＝60°， ∴∠COH＝30°，△COD为等边三角形， ∴，CD＝OC＝4， ∴圆心O到CD的距离， 即正六边形的边心距为； （2）正六边形ABCDEF的面积． 【点评】本题考查了正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，三角函数，掌握正六边形的性质是解题的关键． 19．【观察思考】某公园中的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按照如图方式铺设． 【规律总结】 （1）图1开始，每增加一块正六边形地砖，正方形地砖会增加 　5　 块，正三角形地砖会增加 　4　 块； （2）若铺设这条小路共用去a块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为 　（5a+1）　 块，正三角形地砖的数量为 　（4a+2）　 块（用含a的代数式表示）； 【问题解决】 （3）已知每块正方形地砖的面积为0.36m2，现已知铺设这条小路使用的正方形地砖的总面积为90.36m2，求铺设这条小路共用多少块正六边形地砖？ 【答案】（1）5；4； （2）（5a+1）；（4a+2）； （3）铺设这条小路共用50块正六边形地砖． 【分析】（1）观察图形可以得出正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块； （2）根据图形找出规律即可； 【解答】解：（1）从第一块地砖开始往后，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块， 故答案为：5；4； （2）若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，则正方形地砖的数量为（5a+1）块；三角形地砖的数量为（4a+2）块； 故答案为：（5a+1）；（4a+2）； （3）由（2）可知，若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，则正方形地砖的数量为（5a+1）块， ∵每块正方形地砖的面积为0.36m2， ∴0.36（5a+1）＝90.36， 解得a＝50， 答：铺设这条小路共用50块正六边形地砖． 【点评】本题考查了正多边形与圆，代数式求值，理解题意，正确列出代数式并求值是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $