精品解析：2025年江苏省镇江市丹阳市华南实验初级中学数学中考练习卷

2025年江苏省镇江市丹阳市华南中学数学中考练习卷 一、单选题 1. 在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.00015米．用科学记数法表示0.00015是（　　） A. 1.5×104 B. 0.15×10﹣3 C. 1.5×10﹣4 D. 0.15×103 2. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是，则这块扇形铁皮的半径是（ ） A. B. C. D. 4. 若、在函数的图象上，则、的关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 如图，四边形中，，，，点，分别是边和对角线的中点，且与对角线交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 6. 如图，是外接圆，半径为4，连接，，，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 8. 如图，四边形是边长为的正方形，是平面内一点，，将绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，则长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为4，延长至E使，以为边在上方作正方形，延长交于M，连接，，H为的中点，连接分别与，交于点N、K：则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如题图，正五边形内接于圆，过点A切线与直线，相交于点F，G，直线，相交于点H，下列结论中：①；②；③；④当正五边形的边长为2时，线段的长是．正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题 11. 二次函数图像上部分点的坐标满足下表：那么____________． 0 1 12. 如图，在平面直角坐标系中，边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为______． 13. 如图，在边长为5的正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．则______，当E点从A点运动到C点时，点F的运动路径长是__________． 14. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，边在x轴上， ，点，若点C在一个反比例函数图象上，则该反比例函数的表达式是 ____________________． 15. 如图，，，射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是______． 16. 如图，在中，，点O是的内心，点D是中点，延长交于M，若，则______． 三、解答题 17. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______； （2）甲、乙是该校两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 18. 某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？ 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，按要求画图． （1）在图中画出一个面积为4的等腰三角形（点C在小正方形的顶点上），使A，B，C中任意两点都不在同一条网格线上； （2）在图中画出一个面积为5的直角三角形（点F在小正方形的顶点上），使D，E，F中任意两点都不在同一条网格线上，连接，直接写出的长． 20. 如图，矩形中，点在边上，求作点，使点在边上且．（不写作法，保留作图痕迹） 21. 如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 某数学活动小组研究一款如图①简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图②是该秤的电路图，已知串联电路中，电流（单位：）与定值电阻．可变电阻（单位：）之间关系为 ，电源电压恒为， 定值电阻的阻值为． 根据与之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … 4 p 2 （1）填空： ， ； （2）该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图③中描出实数对的对应点，画出函数 的图象，并写出一条此函数图象关于增减性的性质． （3）若电流表量程是，可变电阻与踏板上人的质量之间函数关系如图④所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 23. 如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． （1）求b，c； （2）若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； （3）如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 24. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）连接，若点是抛物线上的动点，当时，求点的坐标； （3）若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 25. 问题情境：在中，为斜边上一动点，以为斜边作等腰直角． （1）特例发现：如图1，当点在线段上时，求证：； （2）类比探究：如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； （3）学以致用：如图3，在内部确定一个四边形，且满足下列条件：①四边形的顶点与的顶点重合，顶点分别在的边上；②；③四边形的对角线交于点，直线经过的顶点． 已知，求四边形的面积的值． 26. 【问题发现】 （1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为 ； ； 【类比探究】 （2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3所示，在中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江苏省镇江市丹阳市华南中学数学中考练习卷 一、单选题 1. 在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.00015米．用科学记数法表示0.00015是（　　） A. 1.5×104 B. 0.15×10﹣3 C. 1.5×10﹣4 D. 0.15×103 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00015＝1.5×10﹣4． 故选：C． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】解：连接． ∵是O的切线， ∴， 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短， 又∵、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3. 已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是，则这块扇形铁皮的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥与其侧面展开图之间的关系，利用底面周长展开图的弧长可得答案． 【详解】解：设这个扇形铁皮的半径为，由题意得， 解得． 故这个扇形铁皮的半径为， 故选C． 4. 若、在函数的图象上，则、的关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数的性质：，当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小．根据，y随x增大而减小，再根据，可得出a、b的大小． 【详解】解：∵， 又∵， ∴y随x增大而减小， ∵、，且， ∴　 故选：C． 5. 如图，四边形中，，，，点，分别是边和对角线的中点，且与对角线交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的中位线，得，，从而说明点为的中点，则为的中位线，求出的长，即可得出答案． 【详解】解：点，分别是边和对角线的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 点为的中点， 为的中位线， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，平行线分线段成比例等知识，判断点为的中点是解题的关键． 6. 如图，是的外接圆，半径为4，连接，，，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角度计算，扇形面积公式，等腰三角形性质等．根据题意可得，再利用等腰三角形性质得，再利用扇形面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积：， 故选：D． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算，根据负整数指数幂，积的乘方，单项式相除，完全平方公式运算法则逐一排除即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 8. 如图，四边形是边长为的正方形，是平面内一点，，将绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，则长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接交于点，连接，，可证，得，再证，得，当取得最小值时，的值最小，点在以点为圆心，以为半径得圆弧上运动，当点共线时，的值最小，最小值为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点，连接， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，，，即， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的值最小， 如图所示， ∵， ∴点在以点为圆心，以为半径得圆弧上运动，当点共线时，的值最小，最小值为， ∴长的最小值为， 故选：D ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，理解图示，合理作出辅助线是关键． 9. 如图，正方形的边长为4，延长至E使，以为边在上方作正方形，延长交于M，连接，，H为的中点，连接分别与，交于点N、K：则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，，，，求得，，根据全等三角形的定理定理得到，即可判断①；根据全等三角形的性质得到，推出，得到，即可判断②；根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到即可判断③；根据矩形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； 【详解】解：∵正方形的边长为4，， ∴，，， ∵H为的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， 延长交于M， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，故④错误， 故选B； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 10. 如题图，正五边形内接于圆，过点A的切线与直线，相交于点F，G，直线，相交于点H，下列结论中：①；②；③；④当正五边形的边长为2时，线段的长是．正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，求解，可得，，故①符合题意；证明是的垂直平分线，可得过圆心，可得，可得，证明，可得，故②符合题意；证明，可得，，设，设正五边形的边长为，可得，证明，设，可得，故③不符合题意；当正五边形的边长为2时，结合③可得：，，进一步可得线段的长是，故④符合题意. 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于圆， ∴，， ∴，，故①符合题意； ∴，而， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴过圆心， ∵为圆的切线， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； 由②得：， ∴， 同理可得：， 同理可得：， ∴，， ∴设， 设正五边形的边长为， ∵， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去） ∵， ∴， 设， ∴，， 同理：， ∴， ∴，故③不符合题意； 当正五边形的边长为2时， 结合③可得：，， ∴， ∴线段的长是，故④符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，切线的性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键。 二、填空题 11. 二次函数图像上部分点的坐标满足下表：那么____________． 0 1 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解． 【详解】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线， 所以和时的函数值相等， 即当时，y的值为． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质．证明，推出，由反比例函数的性质求得，，再求得，据此求解即可． 【详解】解：过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接， ∴，，， ∵D是边的中点，即， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象， ∴， 同理， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 13. 如图，在边长为5的正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．则______，当E点从A点运动到C点时，点F的运动路径长是__________． 【答案】 ①. ##90度 ②. 10 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点E作于点M，于点N，可证四边形是正方形，再证，通过证明，推出，可求出；然后根据点E的位置判断出点F的位置，进而求解出点F的运动路径长． 【详解】解：如图，过点E作于点M，于点N， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， 四边形是矩形， ，， ， 又，， ， ， 矩形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； 当点E和点A重合时， ∵四边形是正方形， ∴此时点F和点B重合， 当点E运动到点C时， ∴ ∴点F的运动路径长是． 故答案为： 14. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，边在x轴上， ，点，若点C在一个反比例函数图象上，则该反比例函数的表达式是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，菱形性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，先根据三角函数公式求出点C的坐标，再根据待定系数法求解． 【详解】解：在菱形中，， 过C作于点D， 则：， 解得：， ， ， 设反比例函数的解析式为：， ， 故答案为：． 15. 如图，，，射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，连接，根据点关于的对称点为，可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，，从而可知点、、在以点为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，所以当最大时，的值最大，当旋转角时，点、、共线，线段为的直径，根据，可得圆的直径是，即可求出面积的最大值是． 【详解】解：如下图所示，连接， 点关于的对称点为， 是的垂直平分线， ，， 又， ， 点、、在以点为圆心，为半径的圆上， ， 优弧所对的圆心角是， ， ， 又， ， ， 等腰直角三角形， ， ， 当最大时，的值最大， 当旋转角时，点、、共线，线段为的直径， 此时最大且， ， 则面积的最大值是． 故答案为：． 16. 如图，在中，，点O是的内心，点D是中点，延长交于M，若，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】过点A作交延长线于点，连接并延长交于点，连接，可得，则为等腰直角三角形，由平行线分线段成比例定理得到，则，可得，设，由勾股定理得，解得：，则，由，得到，即可求解． 【详解】解：过点A作交延长线于点，连接并延长交于点，连接， ∵点O是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴ ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，点D是中点， ∴， ∴， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴， 设， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形内心的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 三、解答题 17. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据将圆形转盘四等分，即可求解； （2）画出树状图即可求解． 【小问1详解】 解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D， ∴任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率为： 故答案为： 【小问2详解】 解：画出树状图，如图： 共有种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有种 故甲和乙选到不同活动项目的概率为： 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率的相关知识．掌握相关结论并正确求解是解答的关键． 18. 某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？ 【答案】每天要想获得504元的利润，每件应降价3元 【解析】 【分析】设每天要想获得504元的利润，且更有利于减少库存，设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．本题考查一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． 【详解】解：设每件应降价x元． 根据题意列方程，， 解得，，， ∵尽快减少库存， ∴舍去， 故， 答：每天要想获得504元的利润，每件应降价3元． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，按要求画图． （1）在图中画出一个面积为4的等腰三角形（点C在小正方形的顶点上），使A，B，C中任意两点都不在同一条网格线上； （2）在图中画出一个面积为5的直角三角形（点F在小正方形的顶点上），使D，E，F中任意两点都不在同一条网格线上，连接，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）作底为，高为的等腰三角形即可； （2）作直角边分别为，的直角三角形即可，利用两点间距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． ． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． 20. 如图，矩形中，点在边上，求作点，使点在边上且．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，在矩形中作，交于点即可．解题的关键是掌握基本作图，矩形的性质及相似三角形的判定． 【详解】解：如图，在矩形中作，交于点， 由作图可知：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 则点即为所作． 21. 如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角可得出，连接，利用切线的性质可得出，利用等边对等角和对顶角的性质可得出，等量代换得出，然后利用三角形内角和定理求出，即可得证； （2）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，利用可求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． 22. 某数学活动小组研究一款如图①简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图②是该秤的电路图，已知串联电路中，电流（单位：）与定值电阻．可变电阻（单位：）之间关系为 ，电源电压恒为， 定值电阻的阻值为． 根据与之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … 4 p 2 （1）填空： ， ； （2）该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图③中描出实数对的对应点，画出函数 的图象，并写出一条此函数图象关于增减性的性质． （3）若电流表量程是，可变电阻与踏板上人的质量之间函数关系如图④所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 【答案】（1）， （2）作图见详解，电流随可变电阻的增大而减小 （3）电子体重秤可称的最大质量为千克 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数图象的综合运用，掌握自变量，函数值的计算方法，待定系数法求解析是解题的关键． （1）根据题意，分别把，代入，即可求解； （2）根据函数图象作图的方法，列表、描点、平滑曲线连接的方法即可求解； （3）根据题意可求出可变电阻与踏板上人的质量之间函数关系为，根据电流表量程，电流与电压，电阻的函数关系可求出子体重秤可称的最大质量． 【小问1详解】 解：已知电流（单位：）与定值电阻．可变电阻（单位：）之间关系为 ，电源电压恒为， 定值电阻的阻值为， ∴当时，，即； 当时，， 解得，，即； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意， … 1 2 3 4 6 … 4 3 2 根据表格数据在平面直角坐标系中描点如下， ∴根据图示，电流随可变电阻的增大而减小； 【小问3详解】 解：根据题意，设可变电阻与人的质量的函数关系为，且该直线过，， ∴， 解得，， ∴可变电阻与人的质量的函数关系为：， ∴可变电阻随人的质量增大而减小， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∵， ∴不能超过； 当时，， 解得，， ∴， 解得，， ∴电子体重秤可称的最大质量为千克． 23. 如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． （1）求b，c； （2）若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； （3）如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∵的面积， ∴，即点， 将点坐标代入二次函数表达式得：， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的表达式为， 令，即， 解的，或， ∴点，， 如图所示，过点作轴于点， 设点M的坐标为， ∴，，，， ∵ ∴ ， ∵， ∴当时，S最大值， 答：四边形的面积S的最大值为． 【小问3详解】 解：设点P的坐标为，则，，， 当时，即， 解得（舍去）或3，即点P的坐标为； 当时，则， 解得或，即点P的坐标为或； 当时，则， 解得，即点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）连接，若点是抛物线上的动点，当时，求点的坐标； （3）若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）满足条件的点有两个，其坐标分别为或 【解析】 【分析】（1）由，得到，运用待定系数法即可求出抛物线解析式，将其化为顶点式，即可得到顶点D的坐标； （2）过作轴于点，设，则．证明，得到，即，分两种情况求解即可； （3）设对角线交于点，由点关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形，得到设，则坐标为．将点M代入抛物线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∵抛物线过点， ， 解得：， 抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，在抛物线上任取一点，过作轴于点， 设， 则． ， ． ， ， ， ， ， 当点在轴上方时，有， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为， 当点在轴下方时，有， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为， 综上可知点的坐标为或； 小问3详解】 解：如图，设对角线交于点， 点关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形， 点为抛物线对称轴与轴的交点，点在抛物线的对称轴上， 设，则坐标为． 点在抛物线的图象上， ， 解得：或， 满足条件的点有两个，其坐标分别为或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 25. 问题情境：在中，为斜边上一动点，以为斜边作等腰直角． （1）特例发现：如图1，当点在线段上时，求证：； （2）类比探究：如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； （3）学以致用：如图3，在内部确定一个四边形，且满足下列条件：①四边形顶点与的顶点重合，顶点分别在的边上；②；③四边形的对角线交于点，直线经过的顶点． 已知，求四边形的面积的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）成立，理由见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定与性质即可得到结论； （2）根据题中条件，得到，，即，进而，利用两个三角形全等判定得到，再由全等性质得出对应边相等即可得证； （3）先证明四边形是圆内接四边形，且为直径，利用勾股定理以及三角函数的定义求得相关线段的长，再由三角形面积公式求解即可得到答案. 【小问1详解】 证明：在中，， ， 以为斜边作等腰直角， ， ， ， 是等腰直角三角形，且， ； 【小问2详解】 解：依然成立， 理由如下： 取中点，连接，如图所示： 在中，，是等腰直角三角形斜边中线， ， ， 以为斜边作等腰直角， ， ， ，，即， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（1）（2）的证明过程可知，， ∵， ∴，，且， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是圆内接四边形，且为直径， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，圆内接四边形的性质，解直角三角形，掌握相关性质是解题的关键． 26. 【问题发现】 （1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为 ； ； 【类比探究】 （2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3所示，在中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长． 【答案】（1），（2），（3）或 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，，进一步求得，即可得到答案； （2）类似于（1）的思路，先证明，得到，，在利用等腰直角三角形的性质即得答案； （3）分当在内部和外部两种情况，均可证明，分别利用勾股定理列方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）和均为正三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， B、D、E三点共线， ， ， ， 综上所述，线段、之间的数量关系是，； 故答案为：，． （2），； 和均为等腰直角三角形， ，， ，， 在和中， ，，， ， ， 又， ， ，， ， ， ，， ； （3）的长为或．理由如下： 分两种情况： ①如图1，当在内部时， ，，， ， ， 未旋转前， 为的中位线， ，，，， 图1中，，， ， ， ， ， ，， ， ， 设 ，则，， 在中，， 解得或（舍去）， ； ②如图2，当在外部时， 同①，得， 则，， 设 ，则，， 在中，， 解得或（舍去）， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 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