四川省达州市达州中学2024-2025学年高三下学期高考数学模拟考试（一）

达州中学2024-2025学年度高2022级高三下学期高考数学模拟考试（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.设全集U={1,2,3,4,5,集合M满足CuM={1,3},则() A.2∈M B.3∈M C.4度M D.5度M 2.己知复数z1=1+i,22=2-i(为虚数单位，2=-1)，则复数z=Z2-z1对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量d,满足！a|=2,|b|=1,a-b1=2,则a在方向上的投影向量是() A员 B c D.2 4.函数y=x的图象大致为() x2+1 B. 5.己知直线l交抛物线C:x2=-18y于M,N两点，且MN的中点为(3，-2)，则直线的斜率为() A.-3 B.6 c D.-者 6.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，3a2+S6=2025,则a3=() A.224 B.225 C.2024 D.2025 7.若函数f(x),g(x)满足f(x)+xg(x)=x2,且f(1)=1,则f'(1)+g(1)=() A.1 B.2 C.3 D.4 8.甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再 从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为A:i=0,1,2),“从乙箱中取 出的球是黑球”为B,则() AP(Ao)=号 B.P(EA)=君 C.P(B)=号 D.P(A2B)=8 第1页，共8页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列计算结果为有理数的是() Atan号 B.21g2+1g25 C.3mn3-e D.log43·log36·log68 10.如图，在四面体ABCD中，点P,Q,M,N分别是棱AB,BC,CD,AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列 结论正确的为() Q G B A.AC/截面PQMN B.异面直线PM与BD所成的角为60° C.AC⊥BD D.BD⊥平面ACD 11.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆 和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 F(3,0),椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线y=t(t>0)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B,则下列 结论正确的是() y B F A.椭圆的离心率是 2 B.线段AB长度的取值范围是(O,3+3V2 C.△ABF面积的最大值是(W2+1) D.△OAB的周长存在最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 第2页，共8页 12.已知函数f(x-1)的定义域为(-2,3)，则函数f(x+1)的定义域为一 13.己知sin(a+9=子，则cos2a=一， 14.已知P(xo,yo)是抛物线y2=4x上一点，则V2x0+|x0-yo+3的最小值为 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题共13分)请用两种方法证明余弦定理。 16.(本小题15分) 记s为数列a,3的前n项和，4为数列5，的前n项积，己知号+号=2 (1)证明：数列bn}是等差数列； (2)求{an的通项公式. 17.(本小题15分) 在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解 答下列问题： (1)能否出现AC1BC的情况？说明理由； (2)求证：过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 18.(本小题17分) 如下图，在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且EF/ /AC;将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥： (1)求证：EF1PC: (2)若BE=2AE,二面角P-EF-C是直二面角，求二面角P-CE-F的正切值； (3)当PD1AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围. 19.(本小题17分) 已知a>0,函数f(x)=ax-xex. (1)求曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程 (2)证明函数f(x)存在唯一的极值点： (3)若]a,使得f(x)≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围. 第3页，共8页 达州中学2024-2025学年度高三下学期高考数学模拟考试（一) 参考答案及评分标准 一、单选题。（共40分） 1-4 ADDA 5-8 DBBD 二、多选题。（共18分） 9.BCD 10.AC 11.ABC 三、填空题。（共15分） 12.（-4,1) 13.-号 14.4-2 15.解：略，证明余弦定理的方法是很多的，证明对一种给6分，证明对两种给13分。 如果考生给出了多种解法，按照以下标准给分： 给出了三种及以上解法且有两种解法是正确的：给13分满分 给出了三种及以上解法，但只有一种解法正确，建议给9分，可以根据实际情况在这个分数 左右进行浮动给分。 给出了三种及以上解法，但没有任何一种解法是正确的，建议给6分，可以根据实际情况在 这个分数左右进行浮动给分。 给出了两种解法，一种对一种错，建议给9分，可以根据实际情况在这个分数左右进行浮动 给分。 给出了两种解法，全错，建议给3分，可以根据实际情况在这个分数左右进行浮动给分。 如果考生的卷面或者思维实在太乱，无法辨识有几种解法，可以按照3分这个基准进行左右 浮动给分。 16.解：(1)证明：当n=1时，b1=S1, 号+分-2，解得6：-是 当n≥2时，二=S,代入层+左-2， 消去5，可得+六=2，所以bn-b-1= bn 所以b是以为首项，为公差的等差数列. (2)由题意，得a1=S=a:=多 由a四.可得b=2+0-)×对安 第4页，共8页 长+片-2，可得。号 当n≥2时，an=Sn-Sn-1= n+2_n+1= 1 n(n+1) 显然a1不满足该式， n+1 n 3 n=1 所以an= 1 n(n+1)' n≥2 17.解：(1)曲线y=x2+mx-2与x轴交于A、B两点， 可设A(x1,0),B(x2,0),△=m2+8>0, 由韦达定理可得x1x2=-2, 若AC1BC,则kAc·kBc=-1, 即有号号-1， 即为x1x2=-1,这与x1x2=-2矛盾， 故不能出现AC⊥BC的情况： (2)证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx-2=0等价， 可得D=m,F=-2, 圆的方程即为x2+y2+mx+Ey-2=0, 由圆过C(0,1),可得0+1+0+E-2=0,可得E=1, 则圆的方程即为x2+y2+mx+y-2=0, 再令x=0,可得y2+y-2=0, 解得：y=1或-2. 即圆与y轴的交点为(0,1)，(0，-2)， 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3. 18解：(1)因为AC1BC,AC/EF, 所以EF⊥BC,即EF⊥FC,EF⊥PF,PF∩FC=F,PF,FCC平面PFC, EF1平面PFC,PCC平面PFC, 所以EF⊥PC. (2)因为二面角P-EF-C是直二面角， 所以平面PEFI平面EFC,平面PEF∩平面EFC=EF,PF L EF,PFC平面PEF,PF⊥平面EFC, 第5页，共8页 D 以FE,FC,FP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 设平面CEF法向量为元=(0,0,1)， p(0,0.c0,0),0,0).P元=o,-.正=-，0， 设平面PCE法向量为元=(x,y,Z) 2」 4 则mPC=0 即 -32=0 (m.CE=0 4 -3y=0 令z=1,得y=2,x=1,所以m=(1,2,1) 设二面角P-CE-F为0， 1 c0S0= 利 V6 × V1+4+I×1 G sm9-1-cos-V1-c52=1-g-月-@ tang =sing √30 6 Cos0 =√5： (3)以FE,FC,为x,y轴，过F作BC的垂线为z轴， B D 设P(0,m,t),t∈(0，，D(1,,0),A(2,,0),EG,0,0), A正=(-子，-，0)，PD=(1号m,-t),PE=后，-m,-t), 正p而=-号-专+号m=0, 得出m=号 设平面ABC的法向量为元=(0,0,1)， 第6页，共8页 设直线PE与平面ABC所成角为B, sinB= PET ltl 1 IPE 4+1 自2+（多2+是2 因为品≥卷是+1≥铝+1=忌 57 所以sinB= 1 1_457 受耍 57， 4 所以正弦位的取值范用围(Q,码. 19.(1)解：因为f'(x)=a-(x+1)ex, 所以f'(0)=a-1,而f(0)=0, 所以在(0，f(0)处的切线方程为y=(a-1)x(a>0): (2)令g(x)=f'(x)=(a-1)x(a>0) g'(x)=-(x+2)ex, 令g'(x)>0,得x<-2, 令g'(x)<0,得x>-2, ∴g(x)在(-∞，-2)上单调递增，在(-2，+∞)上单调递减， 又g(-2)=a+2>0, 且当x<-2时，(x+1)ex<0, 又a>0, ∴.a-(x+1)ex>0在(-∞，-2)上恒成立，即g(x)在(-∞，-2)上无零点， .a>0, ∴.n(a+1)>0, g[ln(a+1)]=a-[n(a+1)+1](a+1)=-1-(a+1)ln(a+1)<0, ∴g(x)在(-2，ln(a+1)上有一个零点，不妨记为xo, 当x<xo时，g(x)>0,当x>xo时，g(x)<0, f(x)在(-o,xo)上单调递增，在(xo,+o)上单调递减， ·xo为f(x)的极大值点，无极小值点，得证 (3)由(2)知，f(x)max=f(xo), 即ax0-xoexo≤a+b能成立， 又f'(xo)=0,即a-(xo+1)exo=0, .a=(x0+1)exo, 第7页，共8页 则(x0+1)e*o·xo-xoe*o≤(x0+1)e*0+b能成立， 即(x6-xo-1)exo≤b能成立， 由(2)知x0>-2. 令h(x)=(x2-x-1)ex(x>-2), h'(x)=(x2-x-1)ex+(2x-1)ex=(x2+x-2)e￥ 令h'(x)>0,解得，x>1, 令h'(x)<0,解得，-2<x<1 ∴h(x)在(-2,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， ..h(x)min =h(1)=-e, b的取值范围为[-e,+∞). 第8页，共8页