15.3.2 等边三角形 预习讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

 

2025-2026学年数学八年级上册人教版 第十五章 轴对称

15.3.2 等边三角形（预习讲义）

 

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学习目标

1. 知识与技能：

(1)                     理解等边三角形的概念，知道等边三角形是特殊的等腰三角形。

(2)                     掌握等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60度；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。

(3)                     掌握等边三角形的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

(4)                     理解并能运用“在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这一性质。

2. 过程与方法：

(1)                     通过观察、比较、归纳等数学活动，体验等边三角形性质和判定的探索过程。

(2)                     在解决问题的过程中，进一步体会转化、分类讨论等数学思想。

知识点梳理

1. 等边三角形的定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。
2. 等边三角形的性质：

(1)                     等边三角形的三条边都相等。

(2)                     等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60度。

(3)                     等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高和所对角的平分线所在的直线（这三条线互相重合）。

3. 等边三角形的判定：

(1)                     定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。

(2)                     判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

(3)                     判定定理2：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

4. 含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

重点知识讲解

1. 等边三角形的定义：

(1)                     讲解：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，特殊之处在于它的三条边都相等。因此，它具有等腰三角形的所有性质，同时还具有自身独特的性质。

(2)                     几何语言表示：在△ABC中，如果AB = BC = CA，那么△ABC是等边三角形。

2. 等边三角形的性质：

(1)                     性质1：三条边都相等。

• 讲解：这是由等边三角形的定义直接得出的。

(2)                     性质2：三个内角都相等，并且每一个内角都等于60度。

• 讲解：因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它的两个底角相等。由于三条边都相等，所以三个角都相等。又因为三角形内角和为180度，所以每个角都是180度除以3，等于60度。
• 几何语言表示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A = ∠B = ∠C = 60°。

(3)                     性质3：轴对称性及对称轴。

• 讲解：如同等腰三角形一样，等边三角形也是轴对称图形。但由于它的三条边都相等，所以它有三条对称轴。每条对称轴都是经过一个顶点和对边中点的直线（即每条边上的中线、高和所对角的平分线所在的直线，这三条线在等边三角形中是重合的）。
• 文字描述图形：可以想象一个等边三角形ABC，分别作出边BC的中线AD（D为BC中点），同时AD也是BC边上的高和∠BAC的角平分线，直线AD就是它的一条对称轴。同理，也可以作出另外两条对称轴。

3. 等边三角形的判定：

(1)                     判定方法1（定义法）：三条边都相等的三角形是等边三角形。

• 讲解：这是最基本的判定方法，直接根据定义判断。
• 几何语言表示：在△ABC中，∵AB = BC = CA，∴△ABC是等边三角形。

(2)                     判定方法2（判定定理1）：三个角都相等的三角形是等边三角形。

• 讲解：如果一个三角形的三个角都相等，根据三角形内角和定理，每个角都是60度。再根据“等角对等边”的性质，可以得出这个三角形的三条边都相等，因此它是等边三角形。
• 几何语言表示：在△ABC中，∵∠A = ∠B = ∠C，∴△ABC是等边三角形。

(3)                     判定方法3（判定定理2）：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

• 讲解：这是一个非常重要且常用的判定方法。前提是“等腰三角形”，即已经有两条边相等（或两个角相等），然后再有一个角是60度，那么这个三角形就是等边三角形。这里需要注意，这个60度的角可以是顶角，也可以是底角。
  • 情况一：当60度角是顶角时，两个底角和为120度，因为等腰三角形两底角相等，所以每个底角为60度，三个角都为60度，是等边三角形。
  • 情况二：当60度角是底角时，另一个底角也是60度，顶角为180度 - 60度 - 60度 = 60度，三个角都为60度，是等边三角形。
• 几何语言表示：在△ABC中，∵AB = AC（或∠B = ∠C），∠A = 60°（或∠B = 60°或∠C = 60°），∴△ABC是等边三角形。

4. 含30度角的直角三角形的性质：

性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

• 讲解：这个性质通常是通过等边三角形来证明的。
• 文字描述图形及推导思路：