精品解析：江西省宜春市樟树中学2025-2026学年高三上学期开学作业数学试题

樟树中学2026届高三上学期开学数学作业 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A=,B={−2,0,1,2},则(　　) A. {0,1} B. {−1,0,1} C. {−2,0,1,2} D. {−1,0,1,2} 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集. 详解： 因此AB=，选A. 点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 3. 函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数，， 即 则有 ，解得 ，故选D. 4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（ ） A. 14 B. 30 C. 42 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式计算即得 【详解】因为等差数列的首项，公差为， 所以 故选：B. 5. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的一个零点 B. 是函数的极小值点 C. 是函数的极大值点 D. 函数在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知为导函数的图象，导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可. 【详解】根据导函数的图像可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 可知是函数的极值点，不足以说明是函数零点. 因为函数在上单调递增，可知不是函数的极小值点，也不是函数的极大值点， 所以ABC不正确，故D正确. 故选：D. 6. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由为奇函数化简不等式，再结合函数的单调性及定义域进行求解即可. 【详解】∵设，，所以为奇函数. 易知在区间上单调递增，所以在区间上单调递增. 因为不等式，即得， 所以，所以， 因为函数的定义域为，所以且， 所以， 又函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：A. 7. 已知函数，对满足恒成立，则的值为（   ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据，列式化简求出的值． 【详解】因为，且， 所以， ， 即， 即，即， 故，所以. 故选：B 8. 已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先条件等式变形为，再通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据不等式，比较大小. 【详解】由可知，， 设，，，所以在单调递增， 因为，，所以. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 方程有3个不相等的实根 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用幂函数性质求解参数判断A，利用幂函数性质得到为奇函数判断B，结合题意得到，求解出实根判断C，利用导数判断函数的单调性判断D即可. 【详解】对于A，因为幂函数， 所以，解得，故A错误， 对于B，由已知得，则， 由幂函数的性质得为奇函数，故B正确， 对于C，令，可得，则， 解得或，得到方程有3个不相等的实根，故C正确， 对于D，因为，所以，则在上单调递增， 由已知得，则，又， 可得，故D错误. 故选：BC 10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是递增数列 D. 当时，的最大值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件求出，可判断AB；写出数列的前n项和公式，可判断CD. 【详解】设等差数列的公差为， 由是与的等比中项，得， 即，解得，故AB正确； 则，，， 所以，又随的增大而减小，所以数列是递减数列，故C错误； 当时，，所以的最大值为8，故D正确. 故选：ABD 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对数函数的单调性判断符号可判断A。利用对数的运算计算可判断B，根据换底公式及对数的运算可判断CD. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，故B正确； 因为，故C错误； 因为 ，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是等差数列，且，，则的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】设等差数列的公差为， 【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. 13. 若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围. 考点：对数函数的性质及函数的值域. 【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围. 14. 已知函数，且曲线上有且仅有两个不同的点满足：存在过该点的两条曲线的切线，且它们相互垂直，则的值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数的几何意义，求过一点的函数切线，根据斜率之间的关系，列出方程，求出参数的值. 【详解】已知，则， 设切点为，切线斜率， 根据切线方程，可得， 过该点有两条曲线的切线，则有两个解，因式分解得，解得或， 所以另一个切点的横坐标为，此点切线斜率为， 此两条切线垂直，则， 令，则原方程为，化简得， 此方程只有一个正数解，则， 则， 解得，因为，即，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】借助一元二次不等式的解法计算即可得. 【小问1详解】 因为，所以，解得； 【小问2详解】 因为，所以，即， 此时有，解得． 16. 已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前n项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等比中项可得，即可得公差和通项公式； （2）由题意可得，利用裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 因为成等比数列，则， 且，则，即，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 设数列的前n项的和为， 因为，则， 所以. 17. 如图，三棱锥中，平面，，为棱上一点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理结合题意得到平面，再利用面面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，结合题意求出关键点的坐标和关键平面的法向量，最后利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 因为平面， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 因为，设， 则， 设，可得，， 因为，所以，可得，解得， 故， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，解得， 可得平面的一个法向量为． 又，设与平面所成的角为， 则． 18. 已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． （1）求的标准方程． （2）若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）在轴上存在定点，使得，且点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率，以及点在双曲线上联立即可. （2）根据题意，设直线的方程，直线与双曲线联立方程组可得，直线与直线相交可求得，假设存在定点，使得，由题中条件可得，利用进行计算即可. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为（，）， 由已知得，解得， 故双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 依题意，直线的斜率必存在，设其方程为， 由，可得，因为直线与双曲线的右支相切于点， 设，则有， 整理得，由根与系数的关系可得，则， 于是，即，又直线与直线相交于点，所以， 假设存在定点，使得，如图，连接，，因为线段的中点为， 所以，即， 不妨设，则，， 得到， 所以有，解得，即， 故在轴上存在定点，使得． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，设的两个零点为，求证：. 【答案】（1） （2）单调增区间为，单调减区间为 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求，再求导得，进而得切线方程； （2）先求导，利用导数研究单调性即可求解； （3）结合（2）易得，即是的一个的零点，不妨设，要证，只需证，转化问题为证，进而构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以， 所以切线方程为：； 【小问2详解】 所以， 当时，由， 所以单调增区间为，单调减区间为； 【小问3详解】 当时，， 由（2）有单调增区间为，单调减区间为， 又，所以是的一个零点，不妨设， 要证，只需证， 又因为，且在上单调递减， 从而只需证即可， 又， 令， 所以，所以在上单调递增， 所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 樟树中学2026届高三上学期开学数学作业 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A=,B={−2,0,1,2},则(　　) A. {0,1} B. {−1,0,1} C. {−2,0,1,2} D. {−1,0,1,2} 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A. B. C. D. 4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（ ） A. 14 B. 30 C. 42 D. 60 5. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的一个零点 B. 是函数的极小值点 C. 是函数的极大值点 D. 函数在区间上单调递增 6. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，对满足恒成立，则的值为（   ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 方程有3个不相等的实根 D. 10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是递增数列 D. 当时，的最大值为8 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是等差数列，且，，则的通项公式为__________． 13. 若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是__________． 14. 已知函数，且曲线上有且仅有两个不同的点满足：存在过该点的两条曲线的切线，且它们相互垂直，则的值为_____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求解下列不等式： （1） （2） 16. 已知公差的等差数列的前n项的和为，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）若数列满足，求数列的前n项的和. 17. 如图，三棱锥中，平面，，为棱上一点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． （1）求的标准方程． （2）若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，设的两个零点为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $