福建省厦门双十中学2025-2026学年高二上学期第一次周考数学试题

厦门双十中学2025-2026学年上学期 高二数学第一次周考 (时间：120分钟满分：150分) 注意球项： 1答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上， 2.选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上， 3,非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上： 如船改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式 作答无效 4.考试结束后，将答题卡交回 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)， 1.已知向量a=(11,0),i=(-1,0,2),且a+6与2ā-6互相垂直，则k=（) A.-1 B.2 c D.片 2.若{a,6,是空间的一个基底，且向量=xa+b+z远，则(xy,z)叫向量在基底{a,6,下的 坐标，已知{a,6,d是空间的一个基底，{a+i,a-i,c是空间的另一个基底， 一个向量币在基底 a,6,下的坐标为(4,2,3)，则向量在基底{a+i,a-b,c}下的坐标是() A.（4,03) B.（3,13) C.(（12,3) D.(213) 3.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，M,N分别是4B,B,G上的点，且 BM=2AM,CN=2B,N.设B=a,AC=b,M=c,若∠BAC=90°， ∠B44=∠CA4=6C°，AB=AC=A4=1,则下列结论中正确的是（) A.-号a+5+ 33 B.-号 C.AB⊥BC D. cos(瓜，BG)-日 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形 O为△PBC的重心，PM-号PA,且PA=3,AB=2,则点O到直线DM的距 离为（) A- A.V66 B.66 C.3 D. 3 6 A 6 4 5.正三棱锥P-ABC中，G为△ABC的重心， P历=风元=uP丽，丽=P元，e(Q,,若PG交平面DEF于点M,且 PW=P心，则2+4的最小值为() A. B. C.1 A 试卷第1页，共4页 6.光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在 《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹊雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、 镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石切成的正四棱台，直观图如图 所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则 EF+GC+4D=() A.HA B.EB C.FA D.GB 7.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝斜面所 成的二面角为120°，测得从D,C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为DA=30m,CB=40m, 若AB=20V3m,则甲，乙两人相距（) A.70m B.703m C.90m D.903m 8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖脯A-BCD中， AB⊥平面BCD,∠BDC=90°，BD=2AB=2CD=2,E是BC的中点，H是△ABD内的动点（含 边界)，且EH/1平面ACD,则CA.E丽的取值范围是() A.[0,3] B [ c别 D 17 3,2] H B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列命题中正确的是（) A.若A,B,C,D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA≠可 B.若直线1的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线1与平面α所成的角等于 50° C.已知{a,五，c是空间的一个基底，则{a+s站+c,a+i+c也是空间的一个基底 D.已知0为坐标原点，向量0A=-i+2j-k,O=-3i+6j-3,0C=-2i+4j-2k,则点A,B,C 不能构成三角形 10.在空间直角坐标系中，0为坐标原点，0=（-7，-6，-2)，0丽=(（-1,2,0)，B=2.记0驴在0B 方向上的投影向量为ā，则() A.0P=(2,6,1) B.OP /04-20B C.cos∠B0P=2V205 D.a=（-2,4,0) 41 试卷第2页，共4页 1,正方体ABCD-A8GD中，点P满足示=xA正+y而+zky2∈0,1)，若正方体棱长为1， 则下列正确的有() A,若x=0,y+8=1,则CP1/平面AB,C B.若x+y+a1,则三棱锥P-8C0的体积为定值时 C.若2x=y=z,则点P到直线D,D的距离的最小值为5 D.若x+:=子，y月，则=面角P-40-岛的正弦值的最小值为9 13 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，在四面体OABC中，O=a,O丽=i,OC=c,点D为AC的中点， B 0正=}OD,则驱= （用a,b,c来表示) 13.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都 是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC 和BF上移动，且CM和BW的长度保持相等，记CM=BN=a(0<a<√2)，则 当MN的长最小时，异面直线MN与AF所成角的余弦值为 B 14.在四面体P-ABC中，3PD=PA+2PB,4PE=PB+3PC, 2PF=3PA-PC,设四面体P-ABC与四面体P-DEF的体积分别为V,'2, 则上的值为 四、解答题：共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)如图，在正方体ABCD-AB,C,D,中，E为棱CG的中点，点F在线段DB上，且 3DF=2FB.()设DA=a,DC=iDD=c试用a,6c表示，DE及DF: (2)求证：A,E,D,F四点共面. A D.. 试卷第3页，共4页 16.(15分)如图，在平行六面体ABCD-4BCGD中，底面ABCD是边长为2的正方形.侧棱A4的 长为4，且∠AAB=∠AAD=120°. D C (I)求AC的长；（②）求直线BD,与AC所成角的余弦值 B 17.（15分)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，A4⊥平面ABC,AB LAC,AB=AC=4,AA=2, 点D是棱BC的中点. (I)求证：AB∥平面ACD: (2)在棱上AC是否存在点M,其中AM=1AC(0<1<1),使得平面BAD与 B 平面4DM所成角的大小为60°，若存在，求出1；若不存在，说明理由 D 18.（17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=2, E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. (I)证明：平面AEF⊥平面PBC: Q诺直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为2S,求点P到平面4BF 的距离， D 19.(17分)△ABC中，AB=AC,AB LAC,BC=4,D是BC的中点，E是AB的中点，F是BD 的中点.如图，将△BEF和△ACD分别沿EF、AD向平面ADFE的同侧翻折至△MEF和△ADN的 位置，且使得DN∥MF. D (1)证明：=2ME; (②若MN=号，求三棱锥A-DBN的体积： (3)求平面DEM与平面AEMN的夹角的余弦值的最大值， 兴笛4而计，函 厦门双十中学2025-2026学年上学期 高二数学第一次周考参考答案 1.C2.B3.D 4.Λ 5.C 6.B 7.A 8.B 9.ACD 10.ACD 11.ACD 12.a-i+c: 6 13 6 2: 14.7 24 8.【详解】设F,G分别为AB,BD的中点，连接FG,EF,EG,如图， 易得FGIIAD,EF∥AC,EG11CD,因为FGc平而FG,ADa平面EFG, 所以AD/平面EFG,同理AC/I平面EFG,义因为AC,ADC平面ACD, ACAD=A,所以平面EFG/I平面ACD.因为EHII平而ACD,所以H为线 段FG上的点.由AB⊥平面BCD,CDc平面BCD,得AB⊥CD,又∠BDC-90, 则BD⊥CD,由ABI BD=B,AB,BDC平面ABD,得CD⊥平面ABD, B 因为EG11CD,所以EG⊥平面ABD,EG⊥FG,coS∠EFG-FC EF 因为0=24B2C0=2,所以o40-5,c=5,Fc-9 2 2 所以C.EH-2F.(EF+FH)-2EF'+2EF.FH -2EF2+2|EF,F阿cos(π-∠EFG)=2EF'-2|EF|FH cos∠EFG 7-2网F网=-5啊因为网列0当，所以am故选：8 1l.【详解】对于A,由x=0可得AP=yAD+:AA,且y+z=1可知P.D.A三点共线： 可知点P在线段AD上，连接AC,C,D,如图所示： D 由正方体性质可知AC,/1AC,又AC立平面AB,C,AC平面AB,C, B 所以AC,I1平面AB,C:同理可得AD11平面AB,C, 又AC⌒AD=A,且1，C,ADc平面A,CD, P 因此可得平面AC,D11平面AB,C,又因为C,Pc平面AC,D, 所以CPII平面AB,C,即A正确： D B 对于B,若x+y+z=1,可知P,B,D,A四点共面，即点P在平面BDA内， 由A选项中的分析可知，平面BDA /1平面B,CD,如图所示： D 此时点P到平面8，CD,的距离为正方体对角线的三分之一，即5 B 又三角形8C0,是边长为5的正三角形，其面积为S=专-9 则三棱锥P-ACD的体积为定值y-Sx5=×5x5-人即B错误： D： 33236 对于C,以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示： 则A(1,0,0).B(11,0),D(0,0,0,A(1,0,1,D(0,0,1) 所以AB=(0,1,0),AD=(-1,0,0),A4=(0,0,I),DD=(0,0.1): 又2x=y2,因此邪=(yx)-（-y5),即P-吃月 y 所以DP:-y兰，则点P到直线D,D的距离为 DE' DP.DD 9y2 DD Vg-2y+1 显然当y=号时.距离垃小为5 ,即C正确： 对于D,若x+: y行由选项C分析可知(-y)-(分*号- 2 设平面PAD的一个法向量为i=(x,,),则 0后=+y-(G+小=0 AD:方=-x,=0 解得=0，令=×，则判因此后=(0宁k 易知平面AD,B,的一个法向为m=(0.0,1), 所 则二面角P-4D-B的正弦值为N-os(m.而-1 同 又因为x+:=子，，火：0，.可知xe[ 当x=0时信任不是最小值， 1-cos2(m ) 所以x(o引时。 313 13 即二面角P-AD,-B的正弦值的最小值为3正，可得D正确。 故选：ACD 13 14.【详解】由3PD=PA+2PB一PD-PA=2(PB-PD)→AD=2DB一D为边BD上靠近B的三等分 点： 由4PE=PB+3PC三PE-PB=3(PC-PE)→BE=3EC3E为边BC上靠近C的四等分点： 由2PF=3Pi-PC→3(PF-P)=PF-PC→3AF=CF→F在CA的延长线上，且4g-) AC-2 显然四面体PABC与四面体PDEF共顶点且底面共而，则其高相同可设为h,结合题意可作图如下： 则兰=oE在底面连接FB,作附如下： V SMBC B 由9乐=不餐子 S.unc=AC ,易知 S.=1 S.FnC S.FBC 3 由D=2DB,即BD=1 ,则anE=BD1 BA 3 8A3'岛知 9 由BE=3EC,即EC-L 则E=Bc1 BC 4 SAFRC BC 4 由05e-2则w旺=Dxg-×2= BA 3'BC 4' DE=BA BC 3 4 4ScxMaC=21 135 15we362 1 --S--S一-O0S三S-0C-W。 245c 故谷案 24 15.【详解】(1)DA=DA-DD=a-C …2分 DE-DC+CE-DC-1DD-6-3c …4分 0F=0F-00-号0-0=号0g+D0)-00-号D8-00 …7分 @mE,号5--6-0+6--+-2ri 2 λ= a=2 所以有 5 2 4= 2+=5 5 5 …9分 则有0F=2DE+D,…1分 则向量DF、DE、D共面，必有A,E,D,F四点共面.…13分 16.【详解】(1)由图，可得4C,-A+AC=M+AC=M+B+D .…3分 则aC-M+B+D=网'+西+而'+2西+2B0+4D =,16+4+4+4×4×2× 2 =2 …7分 (2)注意到BD=BD+DD=D-AB+AM, …8分 则8DVA0-8+4'=而’+B'+A2DB-®M+2D =16+4+4=26, 10分 AC=AB+AD,AC=2 …12分 丽c(ō-B+从)B+)=D-西+M丽+瓜D -2x42分 -8 则BD,与AC所成角的余弦值为cos(BD,AC) BD·AC 8 2√6x2√5 3 …15分 BD·AC 17.【详解】(1)连接AC交AC,于点0，连接0D …2分 由于四边形ACC4为矩形，所以O为AC的中点， 又点D是棱BC的中点，故在△ABC中，OD是△ABC的中位线，因此OD11A,B…4分 ODc平面ACD,AB正平面AC,D,所以AB/1平面ACD…6分 A D B (2)由AA,⊥平面ABC可得AA,⊥AB,AA⊥AC,又因为AB⊥AC, 故以A为原点，以AB,AC,AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系如图， …7分 则A(0.0,0),A(0,0,2),B4,0,0,C0,4,0,2,2,9 由A=AC(0<1<1)得M(0,4入，0)… …9分 AB=(4,0,-2),BD=(-2,2,0）, 设平面BAD的法向量为m=(x,,z),则 m⊥AB(4x-2z=0 2x+2y=0取=2，得m仙山l2 11分 m⊥BD AM=(0,42,-2),DM=(-2,41-2,0), 设平面ADM的法向骨为n=(x,,z),则 万⊥A,M 4y-2:1=0 …13分 i⊥DM {-2x+41-2=0,取=2，得万=(2以-1,2). 故cos(m,n |21-1+1+4刘 1 V6xV1+(2-+42· 化简得8入2+22-1=0→(41-1)21+1）片0 由于0<入<1， 所以“4 故棱上AC存在点M,其中M=4C,即-子，使得平面BAD与平面ADM所成角的大小为6 15分 18.【详解】(1)方法一： 因为PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD, 所以PA⊥BC 因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC, 又因为PA∩AB=A, E 所以BC⊥平面PAB.(2分) 因为AEC平面PAB,所以AE⊥BC,(3分) 因为PA=AB,E为线段PB的中点， B ZA 所以AE⊥PB,(5分) 又因为PBOBC=B, 所以AE⊥平面PBC.（7分) 又因为AEC平而AEF, 所以平面AEF⊥平而PBC.(8分) 方法二： 因为PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, D 以A为坐标原点，以AB,AD,A炉的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,(1分) A 则A0,0,0),B(2,0,0,C(2,2,0,D(0,2,0,P0,0,2,E,0,, 设BF=e0,2]),则F(2,4,0), 所以AE=(L,0,1),AF=(2,4,0),P丽=(2,0，-2)，BC=(0,2,0),(3分) 设开=(：，水，)为平面AEF的法向量， 地行0所达0取2，则 则 则i=(4,2,),(5分) 设m=(:,,)为平面P8C的法向量， m·PB=0, 则 2x1-2z1=0 所以 mBc=02%=0, 取名=1，则y2=0,3,=1, 则=(1,0，)（7分) 因为分m=-1+0+1=0,所以方⊥元， 所以平面AEF⊥平而PBC(8分) (2)(基于(1)解法一) 因为PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,以A为坐标原点，以AB,AD,P的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系A-,(9分) ZA 6为 D A B 则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(1,0,1),(10分) 易知i=(0.L,O)是平面PAB的法向#(11分) 设BF=∈[0,2])，则F(2,40),所以A正=(0,0，)，AF=(2,1,0) 所以o(压，同 laFul 25 5 即户+4了，得1=.所以F=2L0.（1s分) .A正=0， 设万=(x,,)为平面AEF的法向量，则 方A正=0. 所以平面AEF的法向量i=(-1,2,1),(15分) 又因为AP=(0,0,2) 所以点P到平面AEF的距离为d=AP列 万 石·所以点P到半面F的距离为6 26 (17分) (另解)由(1)可知，∠BAF是直线F与平面PAB所成的角，(11分) 所以cos∠8AF= AB 25 AF√AB'+BF5 解符BF-号48=9c,故F是BC的中点.(1B分) 所以排=aB+8F=5,E=PB=5,EF=aP-E=6 △4EP的面积为Su匹AG,Er6 2 因为PA=B=2,△PME的面积为Su5e PAAB-1(15分) 4 设点P到平面AEF的距离为h,则有 3 6 3 解得h=5,所以点P到平面F的距离为 .(17分) 19.【详解】(I)~D是BC的中点，“翻折前BD=DC,翻折后DC=DN :F是BD的中点，∴翻折前BD=2BF=2FD,翻折后MF=FD 翻折后DN=2F,又“DN∥MF, 且DN,FM方向相同，.DN=2FM 又：E是AB的中点，F是BD的中点， 翻折前、后EFIIDA,DA=2FE, 且DA,FE方向相同，·DA=2FE, 翻折后，在△ADN中， N☑=ND+DA=-2FM+2FE=2MF+2FE=2ME；(5分) (2) D 过点N在平面NDF内作NP⊥DF,垂足为P,取ND的中点G,连接MG, 在VABC中，：AB=AC,AB⊥AC,D是BC的中点， 可知翻折前，AD LBC:翻折后，AD⊥DF,AD⊥DN, 又：DN∩DF=D,AD⊥平面DFN, 又：NPc平面DN,NP⊥AD, 又：ADODE=D,NP⊥平面ADE, ∴.NP就是三棱锥N-ADE的高 中，MG=FD=L,NGND 由余弦定理可知 p+2 cos∠MGN= 2x1x1 7)2 ..sin LMGN=sin ZNDP=25 24 =25 48 .NP DN.sin NDP= 25 6