2.1.2有理数的减法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025－2026学年人教版数学七年级上册大单元教学分层优化练

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 2.1.2有理数的减法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 有理数减法的基本法则 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即：a - b = a + (-b) （将减法转化为加法，再利用加法法则计算） 要点诠释 1.变减为加：将减号（−）改为加号（+），同时把减数（b）变为它的相反数（-b）。 按加法法则计算：同号相加：绝对值相加，符号不变。异号相加：绝对值相减，符号取绝对值较大者的符号。 2. 符号处理：减号变加号后，减数的符号必须同时改变。 零的特殊性：a−0=a，0−a=−a。 3、总结口诀 “减号变加号，减数变相反；再按加法算，符号看大小。” 题型1 有理数的减法法则 例1．有理数的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的减法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系；数形结合 【解析】【解答】解：由题意中的图像可知， A．表示两个负数和一个正数相加，两个负数之和的绝对值比正数大，结果取负值，即结果小于0，A选项不符合题意； B．从图像观察，两个负数之和的绝对值比正数大，，B选项不符合题意； C．表示和之间的距离，也表示和之间的距离，C选项符合题意； D．表示和之间的距离，表示和之间的距离，和之间的距离大于和之间的距离，D选项不符合题意； 故答案为：C． 【分析】根据数轴上点的位置可得，然后根据有理数的加减法则和绝对值的意义解题即可． 【变式1-1】．点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b．以下结论①②③④，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【知识点】有理数的减法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系 【解析】【解答】解：由数轴图知：， ①.∴，①正确； ②.，②错误； ③.，③正确； ④.由图知，故，④错误． ∴正确的是①③． 故选：C． 【分析】本题考查数轴与绝对值以及有理数加减相关的概念.观察数轴图A点和B点与原点的位置关系和距离可得：，利用绝对值的意义可得：，据此可判断说法①；利用有理数的减法运算可得，据此可判断说法②；利用有理数的加法运算可得，据此可判断说法③；根据，利用相反数的意义可得，据此可判断说法④. 【变式1-2】．下列说法正确的是（　　） A．可能是正数 B．一定是正数 C．两个有理数相加，和一定大于加数 D．两个有理数相减，差一定小于被减数 【答案】A 【知识点】有理数的减法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则 【解析】【解答】解：A.可能是正数，说法正确，符合题意； B、不一定是正数，也可能是0，说法错误，不符合题意； C、两个有理数相加，和不一定大于加数，例如两个负数相加，和小于加数，说法错误，不符合题意； D、两个有理数相减，差不一定小于被减数，例如一个正数减去一个负数，差比被减数大不符合题意； 故选：A． 【分析】根据有理数的加减法法则，绝对值的定义逐项判断解答即可． 【变式1-3】．下列说法中，正确的是　 　（将正确的答案序号填写横线上） ①两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②所有的有理数都能用数轴上的点表示； ③如果 ， ，那么 ； ④正数和负数统称为有理数； ⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等． 【答案】②③ 【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；有理数及其分类；有理数的加法；有理数的减法法则 【解析】【解答】解：①两数相加，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数，故①不符合题意； ②所有的有理数都能用数轴上的点表示，故②符合题意； ③如果 ， ，那么 ，故③符合题意； ④正有理数与负有理数和0统称为有俩胡，故④不符合题意； ⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，故⑤不符合题意． 正确的是②；③． 故答案为②；③． 【分析】根据有理数的加法法则、数轴的特征、有理数的分类及特征、有理数的加法法则、绝对值的意义，进行逐一判断即可. 题型2利用有理数减法法则计算 例2．计算： （1）(-38)-(-35). （2）(-1.7)-|-2.5|. （3） （4） 【答案】（1）解：原式=(-38)+(+35)=-3. （2）解：原式=-1.7-2.5=-(1.7+2.5)=-4.2. （3）解：原式 （4）解：原式 【知识点】有理数的减法法则；化简含绝对值有理数 【解析】【分析】利用有理数的减法运算法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）分析求解即可. 【变式2-1】． 计算： （1）（-2.5）-1.5； （2） （3）（-1）-（-4）-3； （4）。 【答案】（1）解：原式= （2）解：原式= （3）解：原式= （4）解：原式= 【知识点】有理数的减法法则 【解析】【分析】有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 【变式2-2】． 计算： （1）0-（-8）； （2） （3） （4）4.8-（-1.2）+（-6）。 【答案】（1）解：原式=0+8=8 （2）解：原式=1.5+1.5=3 （3）解：原式= （4）解：原式=4.8+1.2-6=0 【知识点】有理数的减法法则 【解析】【分析】有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 【变式2-3】．列式并计算： （1）求与的差的相反数. （2）一个加数是-7，和是-11，求另一个加数. 【答案】（1）解：==- （2）解：-11-(-7)=-11+7=-4 【知识点】有理数的减法法则；求有理数的相反数的方法 【解析】【分析】（1）根据题意易得，计算可得结果； （2）根据题意易得这个数=-11-(-7)，计算可得结果. 知识点2 有理数减法的实际应用 根据问题中提供的信息，建立有理数减法模型，进而解决实际问题 要点诠释： 有理数减法在现实生活中有广泛的应用，以下是几个典型的实际场景和对应的解析： 1.财务收支计算关键点：连续减法表示多次支出，结果为0说明收支平衡。 2.温度变化测量关键点：温度上升（加正数）、下降（加负数）均可视为有理数运算。 3.海拔高度差异关键点：减去负数等于加正数，体现“差值”的实际意义。 4.时间轴上的倒计时关键点：负数减法表示时间线上的反向调整。 5.商业利润与亏损关键点：不同计算方式对应不同业务解释。 题型3 有理数减法的实际应用 例3．甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、-15m和-10m，那么最高的地方比最低的地方高_________m. 答案：35 解析：最高甲，最低乙， 所以最高比最低高. 【变式3-1】．某矿井下A,B,C三处的海拔高度分别为米,米,米. (1)求A处比C处高多少米？ (2)求B处比C处高出多少米？ 答案：(1)A处比C处高32.2米 (2)B处比C处高米 解析：(1)(米), 答：A处比C处高32.2米； (2)(米), 答：B处比C处高米. 【变式3-2】．某服装厂计划平均每天生产400套运动服,下表是该厂某一周的生产情况(超出计划产量的记为“”,不足计划产量的记为“”)： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)试求出表中被污染的数据； (2)该服装厂星期五生产了多少套运动服？ 答案：(1)表中被污染的数据是 (2)该服装厂星期五生产了392套运动服 解析：(1)依题意得,星期五工厂多生产运动服为： ,, , ∴表中被污染的数据是； (2)由(1)得：该服装厂星期五生产的运动服比平均数量少8件, ∴套, ∴该服装厂星期五生产了392套运动服. 【变式3-3】一名足球守门员练习折返跑,从球门的位置出发,向前记作正数,返回记作负数,他的记录如下(单位：米)：+6,-2,+10,-8.-7,+11,-10. (1)守门员是否回到了原来的位置？ (2)守门员一共走了多少路程？ 答案：(1)回到了原来的位置 (2)54米 解析：(1)根据题意得： . 答：回到了原来的位置. (2) 米. 答：守门员一共走了54米. 题型4有理数加减法的实际应用 例4．某检修小组从A地出发,在东西向的马路上检修线路,如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,一天中七次行驶纪录如下.(单位：千米) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求收工时距A地多远？ (2)在第次纪录时距A地最远. (3)若每千米耗油升,问共耗油多少升？ 答案：(1)收工时距A地0千米 (2)在第五次纪录时距A地最远 (3)共耗油升 解析：(1)千米. 答：收工时距A地0千米. (2)第一次距A地：千米； 第二次距A地：千米； 第三次距A地：千米； 第四次距A地：千米； 第五次距A地：千米； 第六次距A地：千米； 第七次距A地：千米； , ∴在第五次纪录时距A地最远. (3) 升, 答：共耗油升. 【变式4-1】．遵义市足球联赛中,由于两队水平相当,根据场上攻守形势,守门员会在门前来回跑动,如果以球门线为基准,向前跑记作正数,返回跑记作负数.一段时间内,某守门员的跑动情况记录如下(单位：m)：+8,-3,+5,-6,+10,-8,+4,-9.(假定开始计时时,守门员正好在球门线上) (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米(包括10米),则对方球员挑射极可能造成破门.请问在这一时间段内,对方球员有几次挑射破门的机会？通过计算说明. 答案：(1)守门员最后不能回到球门线上,离球门线1米处 (2)守门员离开球门线的最远距离达14米 (3)对方球员有3次挑射破门的机会 解析：(1)根据题意得：(米) 则守门员最后不能回到球门线上,离球门线1米处； (2)(米), (米), (米) (米), (米), (米), (米) 则守门员离开球门线的最远距离达14米； (3)根据题意得：10米,14米,10米； 则对方球员有3次挑射破门的机会. 【变式4-2】．现如今,很多农产品改变了原来的销售模式,实行了网上销售,刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品放到了网上,他原计划每天卖80斤冬枣,但由于种种原因,实际每天的销售量与原计划相比有出入,下表是某周的销售情况.(超额记为正,不足记为负,单位：斤) 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +4 -3 -5 +14 -8 +21 -6 (1)根据记录的数据可知前四天共卖出_____斤. (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售_____斤. (3)该周实际销售量达到计划量了吗? (4)若冬枣每斤按5元出售,平均每斤冬枣需付运费2元,则小明本周一共收入多少元? 答案：(1)330斤 (2)26斤 (3)该周实际销售量达到计划量 (4)1731元 解析：(1)计算前四天共卖出的斤数 星期一卖出斤；星期二卖出斤；星期三卖出斤； 星期四卖出斤. 前四天共卖出斤. (2)计算销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售的斤数 销售量最多的一天是星期六卖出斤；销售量最少的一天是星期三卖出75斤. 多销售斤. (3)判断该周实际销售量是否达到计划量 该周实际销售量为(星期五卖出斤,星期日卖出斤) 计算得577斤. 计划量为斤. 因为,所以该周实际销售量达到计划量. (4)计算小明本周的收入 总收入=(售价-运费)×总销量 每斤冬枣售价5元,运费2元,所以每斤实际收入元. 总销量为577斤. 本周收入为元. 【变式4-3】“十一黄金周”期间，某风景区7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 1 2 3 4 5 6 7 人数变化 （万人） 注：9月30日游客人数为3万人． 问： （1）七天内游客人数最多的一天有多少万人？ （2）游客人数最少的一天是第几天？ （3）人数最多的一天与人数最少的一天相差多少万人？ 【答案】（1）解：1日的人数是：（万人）； 2日的人数是：（万人）； 3日的人数是：（万人）； 4日的人数是：（万人）； 5日的人数是：（万人）； 6日的人数是：（万人）； 7日的人数是：（万人）． 则七天内游客人数最多的一天有5.8万人； 故答案为：5.8. （2）解：由（1）得：游客人数最少的一天是第7天； 故答案为：7. （3）解：人数最多的一天与人数最少的一天相差万人， 故答案为：万人. 【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加减混合运算的实际应用 【解析】【分析】（1）根据表格中的数据分别求出每一天的人数，再求出最多的人数即可； （2）根据（1）的计算结果可得最少的人数； （3）利用最多的人数减去最少的人数即可. （1）1日的人数是：（万人）； 2日的人数是：（万人）； 3日的人数是：（万人）； 4日的人数是：（万人）； 5日的人数是：（万人）； 6日的人数是：（万人）； 7日的人数是：（万人）． 则七天内游客人数最多的一天有5.8万人； （2）由（1）得：游客人数最少的一天是第7天； （3）人数最多的一天与人数最少的一天相差万人， 题型5 有理数加减混合运算 例5．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【知识点】有理数的减法法则；有理数的加、减混合运算；有理数的加法法则 【解析】【分析】（1）根据同号有理数加法法则运算即可； （2）根据减法法则先变成加法后，再计算加法即可； （3）先去括号，再根据加减法法则，从左到右依次计算； （4）先去括号，去绝对值符号，再根据加减法法则，从左到右依次计算即可． 【变式5-1】．计算：． 【答案】解：原式 ． 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，将减法转变为加法，并写成省略加号与括号的形式，进而根据有理数的加减法法则从左至右依次计算得出答案. 【变式5-2】．计算：； 【答案】解： ． 【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的加法运算律 【解析】【分析】本题考查了加减混合运算，以及加法交换律和结合律，根据题意，先将和为整数的两个数分别结合为一组，小数部分的数结合为一组数，结合有理数的运算法则，进行计算，即可求解. 【变式--3】． （1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 【答案】（1）解：原式等于 =-44+11+（-15） =-33-15 = -48 （2）解：原式等于 =-21+15-83 =-6-83 =-89 （3）解：原式等于 = = = =-13 （4）解：原式等于 = = = 【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的加法运算律 【解析】【分析】（1）（2）根据有理数加减法则，依次从左往右相加减； （3）根据有理数加法结合律，把能够化简为整数的结合计算； （4）有绝对值的先打开绝对值，在按照有理数加法结合律，计算. 题型6选择简便方法进行有理数加减混合运算 例6．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】解： 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】根据范例中的方法，先对带分数进行拆解，将带分数拆分成（整数和真分数），然后再对整数部分进行重组，分数和分数进行重组，最后再进行运算即可。 【变式6-1】．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：｜7-6｜=7-6；｜6-7｜=7-6；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①｜23-47｜=_________；②=_________； （2）当a>b时，｜a-b｜=_________；当a<b时，｜a-b｜=_________； （3）计算：． 【答案】（1）47-23， （2）a-b，b-a （3）解： 【知识点】有理数的加、减混合运算；求有理数的绝对值的方法；化简含绝对值有理数 【解析】【解答】（1）解：①|23-47|=47-23；②； 故答案为：47-23，； （2）解：当a＞b时，|a-b|=a-b；当a＜b时，|a-b|=b-a； 故答案为：a-b，b-a 【分析】（1）根据绝对值的性质，然后再式子进行去绝对值即可。 （2）根据绝对值的性质：当绝对值内的数大于0时，去掉绝对值号不需要变号；当绝对值内的数小于0时，去掉绝对值号要变号，据此即可求解。 （3）根据绝对值的性质，然后再结合分数的加减运算法则，去掉绝对值后再进行运算即可。 （1）解：①|23-47|=47-23；②； 故答案为：47-23，； （2）解：当a＞b时，|a-b|=a-b；当a＜b时，|a-b|=b-a； 故答案为：a-b，b-a； （3）解： ． 【变式6-2】．计算： （1） （2） 【答案】（1）解：设 则 即 （2）解：设 则 即 【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）；有理数的巧算 【解析】【分析】（1）中后面的加数都是前一个加数的4倍，将每个数都乘以4后，新得到的和式与原和式中绝大部分的项都相同，从而可以相减，消去相同的项. （2）中后面的加数是前一个加数的 ，类似的，将每一个数都乘以 ，两个和式中也会出现大量相同的项. 【变式6-3】．计算： 【答案】解：原式 1.6）=-10+5+0=-5. 【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的加法运算律 【解析】【分析】观察本题的六个加数， 和 ）分母相同，一1.6和- 互为相反数，—3.19和—6.81的和刚好为整数，可以将它们分别结合，通过这样的组合凑整，可大大提高计算速度. 有理数计算时通常将互为相反数的、同分母的、易于通分的，或和为整数的数先结合，这样可以使运算简便. 题型7 有理数加减混合运算的实际应用 例7．在一次劳动实践课上，某数学兴趣小组帮助果农采摘芒果，一共采摘了筐，以每筐千克为标准重量，超过标准量的千克数记为正数，等于标准量的千克数记为，不足标准量的千克数记为负数，称重后记录（单位：）如下： 序号 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 第6筐 第7筐 第8筐 第9筐 第10筐 称重 解答下列问题： （1）在这筐芒果中，第筐芒果的实际称重为______千克； （2）以每筐芒果千克为标准，这筐芒果总计超过或不足多少千克？ 【答案】（1）26 （2）解：，∴这筐芒果总计不足千克． 【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加减混合运算的实际应用 【解析】【解答】解：（1）每筐千克为标准重量，超过标准量的千克数记为正数，等于标准量的千克数记为，不足标准量的千克数记为负数， ∴第筐芒果的实际称重为， 故答案为：； 【分析】（1）根据题设表格中的数据，结合正负数表示的意义，求和计算，即可求解； （2）根据正负数表示的意义，有理数的加减运算法则算，求得这10筐超出与不足的量，即可求解． （1）解：每筐千克为标准重量，超过标准量的千克数记为正数，等于标准量的千克数记为，不足标准量的千克数记为负数， ∴第筐芒果的实际称重为， 故答案为：； （2）解：， ∴这筐芒果总计不足千克． 【变式7-1】．“十一”黄金周期间，小明与同学相约外出游玩，妈妈给了他元微信零花钱，如图是他微信钱包零钱明细的截图，请你解决如下问题（假设他初始余额为）： 零钱明细 微信红包—来自妈妈 扫二维码付款—给奶茶店 扫二维码付款—给便利店 红包—来自小华 扫二维码付款—给超市 扫二维码付款—给蛋糕店 滴滴出行 红包—来自小林 （1）截图中哪一笔支出费用最大，最大费用为多少？ （2）小明回家后想起来误删了一条景点门票的交易记录，他微信最终显示余额为元，请帮他计算出景点门票价格． 【答案】（1）解：∵， ∴给超市这笔支出最大，最大费用是155元； （2）解：根据题意，得（元）， ∴景点门票价格为40元. 【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加减混合运算的实际应用 【解析】【分析】（1）比较每笔支出款项的绝对值即可； （2）根据题中支出和收入情况列算式即可求解. （1）解：给超市这笔支出最大（或第三笔支出最大，或第五笔交易记录），最大费用是元 （2）解：根据题意，列出式子：元 答：景点门票价格元； 【变式7-2】．出租车司机小王某天下午营运全是东西走向的玄武大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：单位：千米 ，，，，，，，，， （1）将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？ （2）若汽车耗油量为升千米，这天下午汽车共耗油多少升？ （3）出租车油箱内原有升油，请问：当时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？若不需要加油，说明理由． 【答案】（1）解：千米 即将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是西边千米处； （2）解：升 即汽车耗油量为升千米，这天下午汽车共耗油升； （3）解：当时，升 升 即小王途中需要加油，至少需要加升油． 【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用；有理数乘法的实际应用 【解析】【分析】（1）将题干中的数据相加，再根据结果分析判断即可； （2）将题干中的数据的绝对值相加，再利用“总油耗=每千米的油耗×总路程”列出代数式即可； （3）将a=0.05代入（2）中的代数式求解即可. 【变式7-3】．如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为　 　cm； （2）图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　； （3）由（1） （2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生：你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？ 【答案】（1）8 （2）14；22 （3）解：结合（1）（2），将妙妙的年龄记为点A，将奶奶的年龄记为点B，如图 可知AB==156=52； 所以A表示的数为-37+52=15，即妙妙的年龄为15岁； B表示的数为15+52=67，即奶奶的年龄为67岁。 答：妙妙的年龄为15岁，奶奶的年龄为67岁。 【知识点】数轴上两点之间的距离；有理数的加减混合运算的实际应用 【解析】【解答】（1）由图可知，三段木棒的总长度为30-6=24，故每段长为24÷3=8，故答案为8. （2）由（1）可知这根木棒的长为8cm， ∴点A表示6+8=14；点B表示6+8+8=22； 故答案为：8；22. 【分析】（1）由图象可知3倍的AB长为30-6=24 ( cm )，即可求A B的长度； ( 2 ) A点在6的右侧，距离6有8个单位长度，故A点为14； B点在A点右侧，距离A点有8个单位长度，故B点为22； ( 3 ) 本题考查运用知识的迁移能力，利用数形结合的方法巧妙地解决生活中的问题.由（1）（2）的引导示范，将妙妙的年龄记为点A，将奶奶的年龄记为点B，由“我若是你现在这么大，你还要37年才出生：你若是我现在这么大，我就119岁啦！” 分析出左端数字为-37，右端数字为119：再求出AB的长度，然后可分别求出A、B的值. 例8 .如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． 若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm； 图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ； 由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？ 【答案】（1）．8 （2）．14，22 （3）．解：由奶奶的说法可知：当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为（-37）岁， ∴奶奶与妙妙的年龄差为：[119-(-37)]÷3=156÷3=52（岁）， ∴奶奶现在的年龄为：119-52=67（岁）. 答： 奶奶现在 37岁. 【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用；数轴的动点往返运动模型 【解析】【解答】解：（1）观察数轴并结合题意可知： 这根木棒长为：（30-6）÷3=8（cm）； 故答案为8． （2）由（1）可知这根木棒长为8cm， ∴图中点A所表示的数为：， 点B所表示的数为：30-8=22． 故答案为：14，22． 【分析】（1）根据题意和图象可知长的3倍=（cm），然后用这个差除以3即可求解； （2）由（1）可知AB的长位8cm，然后根据题意可知A点在6的右侧8个单位长度，B点在30的左侧的8个单位长度，结合数轴的意义即可求解； （3）根据（1）（2）中的模型可把奶奶与妙妙的年龄差看作一条线段，[119-(-37)]即为两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差，奶奶现在的年龄就是数轴上AB所在的位置，用119减去两人的年龄差即为所求． （1）观察数轴可知三根木棒长为（cm），则这根木棒的长为（cm）； 故答案为8． （2）．， ． 所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22． 故答案为：14，22． （3）．当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为岁， 所以奶奶与妙妙的年龄差为：（岁）， 所以奶奶现在的年龄为（岁）． 【变式8-2】．在东西走向的适园路上，有A、B两个共享单车投放点，A在B的西面． （1）某天小明骑共享自行车从A地出发行驶，他行驶里程记向东为正，向西为负，单位：千米如下：+5，+1，﹣3，﹣2，+3．问最后小明停下的C地距离A地多远？ （2）现从甲、乙两厂家向A、B两地运送自行车．已知甲有14辆自行车，乙有22辆自行车；A地需20辆自行车，B地需16辆自行车．甲、乙两家向A、B两地的运费如下表．当甲、乙两厂家各运往A、B两地多少辆自行车时，总运费等于703元？ 运往 运费（元/辆） 甲厂家 乙厂家 A地 24 18 B地 25 16 （3）已知A，B两处相距12km，小明在（1）中的C处自行车出现损坏，小明看了下时间是下午13：30，只能下车以4km/h的速度从C向B推行，同时在B处的浔浔借了一辆电动车以20km/h的速度从B到A骑行，在骑行的BC途中遇到了浔浔，于是浔浔马上骑电动车先将小明的自行车送到A处还了，然后马上返回去追以原速向B处步行的小明，追上后让小明坐电动车回到B处，还车时间忽略不计，问下午　 　点　 　分赶到B处. 【答案】（1）根据题意得，+5+1﹣3﹣2+3＝4， ∴最后小明停下的C地距离A地有4千米． （2）设甲厂家向A地运输x辆自行车，则甲厂向B地运输（14﹣x）辆自行车， 乙厂家向A地运输（20﹣x）辆自行车，乙厂向B地运输（2+x）辆自行车， 根据题意得，24x+25（14﹣x）+18（20﹣x）+16（2+x）＝703， 解得，x＝13， 答：甲厂家向A地运输13辆自行车，则甲厂向B地运输1辆自行车，乙厂家向A地运输7辆自行车，乙厂向B地运输13辆自行车． （3）14；42 【知识点】一元一次方程的其他应用；正数、负数的实际应用；有理数的加减混合运算的实际应用 【解析】【解答】解：（3）浔洵第一次遇到小明所花时间： 此时小明距离A地距离为： 则浔洵将自行车还到A地所花时间为： 此时小明距离A地距离为： 则浔洵接到小明需要： 此时距离B地距离为： 一起回到B地需要： ∴下午14：42回到达B地， 故答案为：14，42. 【分析】（1）根据有理数的加法计算法则，计算即可； （2）设甲厂家向A地运输x辆自行车，则甲厂向B地运输（14﹣x）辆自行车，乙厂家向A地运输（20﹣x）辆自行车，乙厂向B地运输（2+x）辆自行车，根据题中表格列出方程，解此方程即可求解； （3）根据路程和速度求出每一次行动所需要的时间，最后将时间加起来即可求解. 【变式8-3】．若在一个的方格中填写了9个不同的数字,且使得每一横行,每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等,则称这个的方格为“幻方”. （1）图1是一个“幻方”,则______;______;______;请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系; （2）小明要将,,,0,2,4,6,8,10这9个数填入如图2所示的“幻方”中,每个小方格中填入一个不同的数,并且使每一横行,每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和均相等,小明经过研究,发现在“幻方”中,中间数是上述9个数的平均数. ①求中间数m的值; ②请你帮小明将如图2所示的“幻方”的空白方格填满. 答案：（1）1,,5;图1中所有数的和是“幻和”的3倍; （2）①; ②见详解. 解析:（1）根据题意,则 , ,,; 所有数据的和为:, ; 图2中所有数的和是“幻和”的3倍; 故答案为:1,,5; （2）①这9个数的平均数为: , 中间数m的值是2; ②由①可知,, 这个表格的幻和为:; 填入表格的数,如下图所示: 0 10 2 6 8 4 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．计算的结果等于（　　） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【知识点】有理数的减法法则 【解析】【解答】解：原式 。 故答案为：D． 【分析】根据有理数的减法法则，直接进行计算即可得出答案。 2．某次数学测试的平均成绩是80分，小王得了85分，记作分，小李的成绩记作分，表示得了　　分 A．67 B．62 C．72 D．83 【答案】C 【知识点】有理数的减法法则；具有相反意义的量 【解析】【解答】解：由题意可得，小李的成绩记作分， 则（分， 故小李得了72分， 故答案为：C． 【分析】根据正负数表示的实际意义进行计算即可. 3．要使算式□3的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数的加法法则 【解析】【解答】解：， ， ， ， ， 使算式的运算结果最小，应填入的运算符号是， 故选：C． 【分析】 同号两数相加，结果取相同符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，结果取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 同号两数相乘，结果为正，并把绝对值相乘； 异号两数相乘，结果为负，并把绝对值相乘． 4．如图，数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点A表示的数为1，则点C表示的数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．-1 【答案】B 【知识点】有理数的加、减混合运算；数轴上两点之间的距离 【解析】【解答】若将点 A 先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位长度看作一次移动，则点 A 是向右移动3个单位长度，所以点 C表示的数为1+3=4. 故答案为：B. 【分析】根据数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加，可判断C的位置. 5．已知，，且，则的值等于（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】有理数的减法法则；化简含绝对值有理数 【解析】【解答】∵|x|＝5，|y|＝2， ∴x＝±4，y＝±2， ∵xy＞0， ∴当x＝8时，y＝2； 当x＝﹣5时，y＝﹣6． 故答案为：C． 【分析】根据绝对值的法则求出x，y的值，由xv>0确定x，y的值，再代入计算即可。 6．某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资。在某次运输模拟测试中，出发时搭载货物重量为400kg，记录装载卸载货物的数据如下：+20，-50，+30，-60，+25，-80（正数表示新装载的货物重量，负数表示卸载的货物重量，单位：kg）。模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是（　　） A．265kg B．275kg C．280kg D．285kg 【答案】D 【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用 【解析】【解答】解：400 +20-50+30-60+25-80=285(kg)， 则 模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是 285kg 故答案为：D. 【分析】400和装载卸载货物的数据加起来就可得到模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量. 7．定义“[]”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数. 例如：，，在式子中，对相邻的两个数字间任意添加一个或两个“[]”，然后得出式子运算结果，称此为“取整操作”. 例如：， . 下列说法： ①不存在“取整操作”，使其运算结果与原式运算结果相等； ②存在“取整操作”的运算结果为整数； ③所有的“取整操作”共有6种不同运算结果； 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 解析：依题意，原式： ∴存在“取整操作”，使其运算结果与原式运算结果相等；故①是错误的； ∴不存在“取整操作”的运算结果为整数；故②是错误的； ∴所有的“取整操作”共有6种不同运算结果,分别是；故③是正确的； 故选：B 8．一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（　　） A．99 B．100 C．101 D．102 【答案】C 【知识点】有理数的加、减混合运算；探索规律-计数类规律 【解析】【解答】解：设点A所表示的数为a， 则第1次爬行后的点所表示的数为， 第2次爬行后的点所表示的数为， 第3次爬行后的点所表示的数为， 第4次爬行后的点所表示的数为， …， ∴第2n次爬行后的点所表示的数为， 故第2022次爬行后的点所表示的数为， 则第2023次爬行后的点所表示的数为． ∵第2023次刚好爬到数轴上的原点处， ∴， 则， 即点A所表示的数为． ∵， ∴表示的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度． ∵第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处， 第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处， 第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处， ……， ∴第次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，且， 即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为， ∴从第1923次开始（包括第1923次），后面的每次爬行都经过这个数． ∵， ∴小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是101． 故选：C． 【分析】本题考查数字变化的规律和有理数的加减运算，根据题意，分别求得第1次，第2次，第3次，第4次爬行后的点所表示的数，总结得到第2n次爬行后的点所表示的数为，得到第2023次爬行后的点所表示的数为，再由第1次，第3次，第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处，进而得到第次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，进而得到答案. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．　 　． 【答案】 【知识点】有理数的减法法则 【解析】【解答】解：． 故答案为：． 【分析】将减法运算化成加法运算求解即可． 10．已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，使0表示的点与2表示的点重合，则8表示的点与数　 　表示的点重合． 【答案】 【知识点】翻折变换（折叠问题）；有理数的减法法则；数轴上两点之间的距离 【解析】【解答】解：∵0表示的点与2表示的点重合， 折叠点为， 设8表示的点与数x表示的点重合，则，解得x=-6， ∴8表示的点与数-6表示的点重合． 故答案为：． 【分析】根据两点关于中点对称求出即可. 11．我们把分子为1的负分数叫做单位负分数，如，，…，任何一个单位负分数都可以拆分成两个不同的单位负分数的和，如；，……，观察上述式子，把表示为两个单位负分数之和应为　 　. 【答案】 【知识点】探索数与式的规律；有理数的减法法则；探索规律-等式类规律 【解析】【解答】，， ， 所以答案为 【分析】 观察等式得，其分母依次是两个连续自然数及它们的乘积，即有规律：. 12．一个加数是，和是，则另一个加数是　 　． 【答案】 【知识点】有理数的减法法则 【解析】【解答】解：， 即另一个加数是-5. 故答案为：． 【分析】本题中和是-12，一个加数是-7，列式为-12-（-7），先去括号得出-12+7，然后计算即可. 13．计算： 　 　． 【答案】-2012 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【解答】∵ ， ， ， 即每四项结果为 ， ∵2012÷4=503， ∴ ． 故答案为：-2012． 【分析】观察算式可知共2012个数，从第一个数开始4个数结合，且结果为-4，共得503个-4的和，利用乘法计算即得. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．计算： （1）5-（-5）； （2）0-7-5； （3）（-1.3）-（-2.1）； （4） 【答案】（1）解：5-（-5）=5+5=10 （2）解：0-7-5=0+（-7）+（-5）=-7+（-5）=-12 （3）解：（-1.3）-（-2.1）=（-1.3）+2.1=2.1-1.3=0.8； （4）解： 【知识点】有理数的减法法则 【解析】【分析】 有理数减法的规则：减去一个数等于加上这个数的相反数 . 15． 计算： （1）-12+18+（-7）-15； （2）。 【答案】（1）解：原式=-12+18-7-15=-16 （2）解：原式= 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】利用有理数的加减运算法则和运算律进行计算即可. 16．计算： （1） （2） 【答案】（1）解：原式 （2）解：原式： 【知识点】有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】(1)先将带分数和小数转换为分数，去括号，再利用加法交换律和结合律分组计算同分母分数，最后求和； (2)先将带分数和小数转换为分数，去括号，再利用加法交换律和结合律分组计算同分母分数，最后求和. 17．在计算两个数减法：，由于不小心，减数被墨水污染； （1）嘉淇误将后面的“”看成了“”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； （2）请你正确计算此道题． 【答案】（1）解：由题意，得被墨水污染的减数为 （2）解： 【知识点】有理数的减法法则；有理数的加法法则 【解析】【分析】（1）由两个加数与和的关系，即可求出被墨水污染的减数； （2）把求出的被墨水污染的减数代入加法算式计算，即可得出正确结果． 18．近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，我国新能源汽车产销量大幅增加．小王家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如下表所示．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0"． 　 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______． （2）小王家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小王家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】（1）49 （2）解：由题意得，，； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：（元）， 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用 【解析】【解答】（1）解：由题意得，， 所以路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天， 所以， 故答案：49； 【分析】（1）将表格记录的各个数据比较大小可得：行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，然后将两数相减即可得出答案； （2）求出记录的各个数据的和，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）分别求出行驶400km的汽油费和电费，再求差即可． （1）解：由题意得，， 所以路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天， 所以， 故答案：49． （2）解：由题意得，，； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：（元）， 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 19．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则；两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … （1）从如图所示位置开始，第一局结束后甲在数轴上代表的数为　 　，乙在数轴上代表的数为　 　； （2）若第四局结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上的位置相距多少个单位长度？ （3）从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距2个单位长度，请直接写出k的值． 【答案】（1）-5；5 （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负，根据规则三局之后甲对应的数为：， 根据规则三局之后乙对应的数为：， ∵第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2， ∴第四局游戏的结果使乙向西移动1个单位长度， ∴第四局游戏为平局， ∴乙第四局的手势是布，第四局游戏结束后甲表示的数为， ∴此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度； （3）解：刚开始甲乙两人相距个单位长度， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲、乙的距离缩小个单位长度， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度， 最终甲与乙的位置相距2个单位长度， 共需缩小个单位长度或个单位长度， ，， 的值为7或5． 【知识点】有理数的减法法则；有理数的除法法则；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；有理数的加法法则；数轴的点常规运动模型 【解析】【解答】解：（1）完成了第一局移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； 故答案为：；5； 【分析】（1）利用规则：若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度，结合数轴上两点间的距离公式，即可得结论； （2）由前三局来看，甲一平一胜一负，根据规则分别计算出前三局结束后甲、乙表示的数，再根据第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，可得第四局游戏为平局，据此可得第四局乙的手势和第四局结合后甲、乙表示的数，进而可求出二者的距离，即可求解； （3）根据规则，推出甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度，由最终甲与乙的位置相距2个单位长度，得到共需缩小个单位长度或个单位长度，据此可得答案。 （1）解：完成了第一局移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； 故答案为：；5； （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 根据规则三局之后甲对应的数为：， 根据规则三局之后乙对应的数为：， ∵第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2， ∴第四局游戏的结果使乙向西移动1个单位长度， ∴第四局游戏为平局， ∴乙第四局的手势是布，第四局游戏结束后甲表示的数为， ∴此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度； （3）解：刚开始甲乙两人相距个单位长度， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲、乙的距离缩小个单位长度， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度， 最终甲与乙的位置相距2个单位长度， 共需缩小个单位长度或个单位长度， ，， 的值为7或5． 20．某个体水果店经营某种水果，每千克进价元，售价元，10月1日至10月5日经营情况依次如下表： 　 1日 2日 3日 4日 5日 购进 55 50 55 50 40 售出 46 49 51 48 41 损耗 4 3 4 2 2 （1）若9月30日晚库存为零，则10月1日晚库存为______； （2）就10月3日这一天的经营情况看，当天是赚了还是赔了多少钱？ （3）10月1日到10月5日该个体户共赚多少钱？ 【答案】（1）5 （2）解：51×4.5-55×2.8 =229.5-154 =75.5. 答：当天是赚了，赚了元. （3）解：由题意得： （46+49+51+48+41）×4.5-（55+50+55+50+40）×2.8 =1057.5-700 =357.5. 答：10月1日到10月5日该个体户共赚元. 【知识点】有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用 【解析】【解答】（1）解：由题意得：55+（-46）+(-4) =55+（-50） =5. ∴10月1日晚库存为， 故答案为：5. 【分析】（1）根据具有相反意义的量可知：购进为“+”，售出、 损耗 为“-”；将9月30日的购进、售出、 损耗相加即可求解； （2）由题意，用10月3日这一天的销售额减去进价即可求解； （3）由题意，用10月1日到10月5日这5天的销售额减去进价即可求解. B抓核心 三大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 2.1.2有理数的减法（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 有理数减法的基本法则 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即：a - b = a + (-b) （将减法转化为加法，再利用加法法则计算） 要点诠释 1.变减为加：将减号（−）改为加号（+），同时把减数（b）变为它的相反数（-b）。 按加法法则计算：同号相加：绝对值相加，符号不变。异号相加：绝对值相减，符号取绝对值较大者的符号。 2. 符号处理：减号变加号后，减数的符号必须同时改变。 零的特殊性：a−0=a，0−a=−a。 3、总结口诀 “减号变加号，减数变相反；再按加法算，符号看大小。” 题型1 有理数的减法法则 例1．有理数的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】．点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b．以下结论①②③④，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【变式1-2】．下列说法正确的是（　　） A．可能是正数 B．一定是正数 C．两个有理数相加，和一定大于加数 D．两个有理数相减，差一定小于被减数 ． 【变式1-3】．下列说法中，正确的是　 　（将正确的答案序号填写横线上） ①两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②所有的有理数都能用数轴上的点表示； ③如果 ， ，那么 ； ④正数和负数统称为有理数； ⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等． 题型2利用有理数减法法则计算 例2．计算： （1）(-38)-(-35). （2）(-1.7)-|-2.5|. （3） （4） 【变式2-1】． 计算： （1）（-2.5）-1.5； （2） （3）（-1）-（-4）-3； （4）。 【变式2-2】． 计算： （1）0-（-8）； （2） （3） （4）4.8-（-1.2）+（-6）。 【变式2-3】．列式并计算： （1）求与的差的相反数. （2）一个加数是-7，和是-11，求另一个加数. 知识点2 有理数减法的实际应用 根据问题中提供的信息，建立有理数减法模型，进而解决实际问题 要点诠释： 有理数减法在现实生活中有广泛的应用，以下是几个典型的实际场景和对应的解析： 1.财务收支计算关键点：连续减法表示多次支出，结果为0说明收支平衡。 2.温度变化测量关键点：温度上升（加正数）、下降（加负数）均可视为有理数运算。 3.海拔高度差异关键点：减去负数等于加正数，体现“差值”的实际意义。 4.时间轴上的倒计时关键点：负数减法表示时间线上的反向调整。 5.商业利润与亏损关键点：不同计算方式对应不同业务解释。 题型3 有理数减法的实际应用 例3．甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、-15m和-10m，那么最高的地方比最低的地方高_________m. 【变式3-1】．某矿井下A,B,C三处的海拔高度分别为米,米,米. (1)求A处比C处高多少米？ (2)求B处比C处高出多少米？ 【变式3-2】．某服装厂计划平均每天生产400套运动服,下表是该厂某一周的生产情况(超出计划产量的记为“”,不足计划产量的记为“”)： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)试求出表中被污染的数据； (2)该服装厂星期五生产了多少套运动服？ 【变式3-3】一名足球守门员练习折返跑,从球门的位置出发,向前记作正数,返回记作负数,他的记录如下(单位：米)：+6,-2,+10,-8.-7,+11,-10. (1)守门员是否回到了原来的位置？ (2)守门员一共走了多少路程？ 题型4有理数加减法的实际应用 例4．某检修小组从A地出发,在东西向的马路上检修线路,如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,一天中七次行驶纪录如下.(单位：千米) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求收工时距A地多远？ (2)在第次纪录时距A地最远. (3)若每千米耗油升,问共耗油多少升？ 【变式4-1】．遵义市足球联赛中,由于两队水平相当,根据场上攻守形势,守门员会在门前来回跑动,如果以球门线为基准,向前跑记作正数,返回跑记作负数.一段时间内,某守门员的跑动情况记录如下(单位：m)：+8,-3,+5,-6,+10,-8,+4,-9.(假定开始计时时,守门员正好在球门线上) (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米(包括10米),则对方球员挑射极可能造成破门.请问在这一时间段内,对方球员有几次挑射破门的机会？通过计算说明. 【变式4-2】．现如今,很多农产品改变了原来的销售模式,实行了网上销售,刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品放到了网上,他原计划每天卖80斤冬枣,但由于种种原因,实际每天的销售量与原计划相比有出入,下表是某周的销售情况.(超额记为正,不足记为负,单位：斤) 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +4 -3 -5 +14 -8 +21 -6 (1)根据记录的数据可知前四天共卖出_____斤. (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售_____斤. (3)该周实际销售量达到计划量了吗? (4)若冬枣每斤按5元出售,平均每斤冬枣需付运费2元,则小明本周一共收入多少元? 【变式4-3】“十一黄金周”期间，某风景区7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 1 2 3 4 5 6 7 人数变化 （万人） 注：9月30日游客人数为3万人． 问： （1）七天内游客人数最多的一天有多少万人？ （2）游客人数最少的一天是第几天？ （3）人数最多的一天与人数最少的一天相差多少万人？ 题型5 有理数加减混合运算 例5．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式5-1】．计算：． 【变式5-2】．计算：； 【变式--3】． （1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 题型6选择简便方法进行有理数加减混合运算 例6．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【变式6-1】．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：｜7-6｜=7-6；｜6-7｜=7-6；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①｜23-47｜=_________；②=_________； （2）当a>b时，｜a-b｜=_________；当a<b时，｜a-b｜=_________； （3）计算：． 【变式6-2】．计算： （1） （2） 【变式6-3】．计算： 题型7 有理数加减混合运算的实际应用 例7．在一次劳动实践课上，某数学兴趣小组帮助果农采摘芒果，一共采摘了筐，以每筐千克为标准重量，超过标准量的千克数记为正数，等于标准量的千克数记为，不足标准量的千克数记为负数，称重后记录（单位：）如下： 序号 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 第6筐 第7筐 第8筐 第9筐 第10筐 称重 解答下列问题： （1）在这筐芒果中，第筐芒果的实际称重为______千克； （2）以每筐芒果千克为标准，这筐芒果总计超过或不足多少千克？ 【变式7-1】．“十一”黄金周期间，小明与同学相约外出游玩，妈妈给了他元微信零花钱，如图是他微信钱包零钱明细的截图，请你解决如下问题（假设他初始余额为）： 零钱明细 微信红包—来自妈妈 扫二维码付款—给奶茶店 扫二维码付款—给便利店 红包—来自小华 扫二维码付款—给超市 扫二维码付款—给蛋糕店 滴滴出行 红包—来自小林 （1）截图中哪一笔支出费用最大，最大费用为多少？ （2）小明回家后想起来误删了一条景点门票的交易记录，他微信最终显示余额为元，请帮他计算出景点门票价格． 【变式7-2】．出租车司机小王某天下午营运全是东西走向的玄武大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：单位：千米 ，，，，，，，，， （1）将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？ （2）若汽车耗油量为升千米，这天下午汽车共耗油多少升？ （3）出租车油箱内原有升油，请问：当时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？若不需要加油，说明理由． 【变式7-3】．如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为　 　cm； （2）图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　； （3）由（1） （2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生：你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？ 例8 .如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． 若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm； 图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ； 由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？ 【变式8-2】．在东西走向的适园路上，有A、B两个共享单车投放点，A在B的西面． （1）某天小明骑共享自行车从A地出发行驶，他行驶里程记向东为正，向西为负，单位：千米如下：+5，+1，﹣3，﹣2，+3．问最后小明停下的C地距离A地多远？ （2）现从甲、乙两厂家向A、B两地运送自行车．已知甲有14辆自行车，乙有22辆自行车；A地需20辆自行车，B地需16辆自行车．甲、乙两家向A、B两地的运费如下表．当甲、乙两厂家各运往A、B两地多少辆自行车时，总运费等于703元？ 运往 运费（元/辆） 甲厂家 乙厂家 A地 24 18 B地 25 16 （3）已知A，B两处相距12km，小明在（1）中的C处自行车出现损坏，小明看了下时间是下午13：30，只能下车以4km/h的速度从C向B推行，同时在B处的浔浔借了一辆电动车以20km/h的速度从B到A骑行，在骑行的BC途中遇到了浔浔，于是浔浔马上骑电动车先将小明的自行车送到A处还了，然后马上返回去追以原速向B处步行的小明，追上后让小明坐电动车回到B处，还车时间忽略不计，问下午　 　点　 　分赶到B处. 【变式8-3】．若在一个的方格中填写了9个不同的数字,且使得每一横行,每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等,则称这个的方格为“幻方”. （1）图1是一个“幻方”,则______;______;______;请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系; （2）小明要将,,,0,2,4,6,8,10这9个数填入如图2所示的“幻方”中,每个小方格中填入一个不同的数,并且使每一横行,每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和均相等,小明经过研究,发现在“幻方”中,中间数是上述9个数的平均数. ①求中间数m的值; ②请你帮小明将如图2所示的“幻方”的空白方格填满. 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．计算的结果等于（　　） A． B．0 C．3 D．6 2．某次数学测试的平均成绩是80分，小王得了85分，记作分，小李的成绩记作分，表示得了　　分 A．67 B．62 C．72 D．83 3．要使算式□3的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号是（　　） A． B． C． D． 4．如图，数轴上一点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点A表示的数为1，则点C表示的数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．-1 5．已知，，且，则的值等于（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 6．某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资。在某次运输模拟测试中，出发时搭载货物重量为400kg，记录装载卸载货物的数据如下：+20，-50，+30，-60，+25，-80（正数表示新装载的货物重量，负数表示卸载的货物重量，单位：kg）。模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是（　　） A．265kg B．275kg C．280kg D．285kg 7．定义“[]”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数. 例如：，，在式子中，对相邻的两个数字间任意添加一个或两个“[]”，然后得出式子运算结果，称此为“取整操作”. 例如：， . 下列说法： ①不存在“取整操作”，使其运算结果与原式运算结果相等； ②存在“取整操作”的运算结果为整数； ③所有的“取整操作”共有6种不同运算结果； 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8．一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（　　） A．99 B．100 C．101 D．102 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．　 　． 10．已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，使0表示的点与2表示的点重合，则8表示的点与数　 　表示的点重合． 11．我们把分子为1的负分数叫做单位负分数，如，，…，任何一个单位负分数都可以拆分成两个不同的单位负分数的和，如；，……，观察上述式子，把表示为两个单位负分数之和应为　 　. 12．一个加数是，和是，则另一个加数是　 　． 13．计算： 　 　． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．计算： （1）5-（-5）； （2）0-7-5； （3）（-1.3）-（-2.1）； （4） 15． 计算： （1）-12+18+（-7）-15； （2）。 16．计算： （1） （2） 17．在计算两个数减法：，由于不小心，减数被墨水污染； （1）嘉淇误将后面的“”看成了“”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； （2）请你正确计算此道题． 18．近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，我国新能源汽车产销量大幅增加．小王家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如下表所示．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0"． 　 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______． （2）小王家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小王家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 19．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则；两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … （1）从如图所示位置开始，第一局结束后甲在数轴上代表的数为　 　，乙在数轴上代表的数为　 　； （2）若第四局结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上的位置相距多少个单位长度？ （3）从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距2个单位长度，请直接写出k的值． 20．某个体水果店经营某种水果，每千克进价元，售价元，10月1日至10月5日经营情况依次如下表： 　 1日 2日 3日 4日 5日 购进 55 50 55 50 40 售出 46 49 51 48 41 损耗 4 3 4 2 2 （1）若9月30日晚库存为零，则10月1日晚库存为______； （2）就10月3日这一天的经营情况看，当天是赚了还是赔了多少钱？ （3）10月1日到10月5日该个体户共赚多少钱？ B抓核心 三大题型提升练 A夯基础 四大题型提分练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 学科网（北京）股份有限公司 $