精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高三上学期适应性测试（三）数学试题

玉溪一中2025-2026学年上学期高三适应性测试（三） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】由有意义可得， 所以，又， 所以， 故选：B 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行化简，再通过模公式求出模即可. 【详解】由题意，， 所以. 故选：D. 3. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式计算即可. 【详解】展开式通项为， 令，得，故系数为. 故选：D. 4. 设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（ ） A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：计算出，利用公式得到，得到先增大后减小， 方法二：设随机变量，得到的分布列，计算出，得到先增大后减小. 【详解】方法一：因为， 所以 ， 因为，，所以先增大后减小， 方法二：设随机变量，则的分布列为 －1 0 1 所以， 所以， 得到先增大后减小. 故选：D 5. 非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直数量积为零可求得与的关系式，即可求得夹角. 【详解】易知，即； 又，所以，即； 因此， 又，所以所求夹角为. 故选：C 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式求出，由求解即可. 【详解】由题可得：， 得或，又因为，所以，所以. 故选：C. 7. 若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 8. 已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一，由双曲线的第三定义可求；方法二，由离心率得，再由点差法和斜率公式可求. 【详解】方法一， 由双曲线的性质可得，且，． 方法二， 由题易知解得，双曲线的方程为． 由题知关于坐标原点对称，设，，， 由得． 直线的斜率分别为，且， ，，， ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，利用周期公式计算；选项B，代入看是否满足对称轴方程；选项C，通过解不等式确定的范围，结合正弦函数单调性判断；选项D，先求出的表达式，再代入值判断是否为零点. 【详解】选项A，的最小正周期为，所以A正确； 选项B，因为，所以的图象关于直线对称，所以B正确； 选项C，由，可得，则在上单调递增，所以C正确； 选项D，，，所以D不正确. 故选：ABC. 10. 已知等比数列中，，，为数列的前项和．下列说法正确的是（ ） A. 或 B. 或 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式计算得出通项，再分类讨论应用通项公式及求和公式计算求解判断各个选项. 【详解】等比数列中，，，设为数列的公比． 所以，所以或. 当时，； 当时，，所以A选项正确，B选项错误； 若，则，则，C选项正确； 若，则当，则，D选项错误； 故选：AC. 11. 已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，在区间单调递减 C. 当时，在区间上存在唯一极小值点 D. 当时，有2个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】对A选项，当时，可选用特殊值代入判断；对B 选项，求导，再对求得的导数求导，根据正负判断单调性即可，进而判断原函数的单调性；对C选项，时，，求导，再根据函数的性质进行判断即可；对D选项，利用单调性可判断 【详解】当时，若，则有，此时∴A错误． 当时，，令， 当时，，，在上递减．∴B正确． 当时，，令， 则，令，则， 当时，，递增，又，所以在上存在唯一的零点， 则当递减，当递增， 是在区间上的唯一极小值点，∴C正确． 当时，，定义域为，，恒成立 在定义域内为增函数， 不可能有2个零点. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由正、余弦定理求出底面的外接圆半径，利用圆心与球心的连线垂直于底面构成直角三角形即可求出外接球的半径，进而可得其表面积. 【详解】在底面中，，， 由余弦定理，可得， 设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为， 在中，由正弦定理可得，解得， 因为平面，平面，且球心到点的距离相等， 所以球心到底面的距离为， 在中，， 故该三棱锥外接球的表面积为， 故答案为： 13. 直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据函数单调性分析可知函数的对称中心为，进而可得，结合乘“1”法求最值. 【详解】对于函数， 令，解得且，可知函数的定义域为， 因为 ， 可知函数的对称中心为， 由题意可知：直线经过点， 则，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 14. 学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知结合全概率公式即可求解第2天选择套餐的概率；先求出第天选择套餐的概率，再由得解. 【详解】设“第天选择套餐”，则“第天选择套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式，得； 设“第天选择套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即， 则， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前48项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程求解等比数列的公比和首项，进而求得通项公式； （2）通过裂项求和求解 【小问1详解】 设公比为，由，有，解得. 又由，有，解得. 故，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由， 有. 16. 电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿．“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据： 线上宣传投入金额（万元） 20 30 40 50 60 70 游客满意度评分（分） 60 65 70 78 80 85 （1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断与两个变量线性相关性的强弱.（精确到小数点后两位）； （2）《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为； ①当时，设比赛结束时甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望； ②甲以获胜的概率为，求的最大值． 参考公式：相关系数，参考数据：． 【答案】（1），与两个变量线性相关性的很强 （2）①的分布列为： 3 4 5 期望为； ②的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求出，，，，，最后代入相关系数公式即可求得，根据的值判断线性相关性强弱即可. （2）①根据题意，，的取值可能为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.②根据题意，求得的表达式，再对求导，通过分析导数的正负确定函数的单调性，进而求出的最大值 【小问1详解】 由题意得，， ， ， ， 则. 因为，接近1，所以与两个变量线性相关性的很强. 【小问2详解】 ①由题意的取值可能为，且甲获胜的概率为， 当时，甲连胜3局或乙连胜3局： . 当时，前3局甲2胜1负，第4局甲胜；或前3局乙2胜1负，第4局乙胜： . 当时，前4局甲2胜2负，第5局甲胜；或前4局乙2胜2负，第5局乙胜： . 所以的分布列为： 3 4 5 期望. ②甲以获胜，即前4局甲2胜2负，第5局甲胜， 所以. 对求导得， 令，解得. 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 因此当时，取得最大值. 17. 如图，在几何体中，底面为平行四边形， 平面⊥平面. （1）证明:四边形为菱形; （2）若，且，，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1） 设，连接，过向作垂线，垂足为， 因为平面⊥平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以， 因为,平面，所以平面，所以， 因为为平行四边形，所以为菱形. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出线线垂直，进而证明平面，得出对角线垂直，进一步可得结论； （2）建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式可求答案. 【小问1详解】 设，连接，过向作垂线，垂足为， 因为平面⊥平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以， 因为,平面，所以平面，所以， 因为为平行四边形，所以为菱形. 【小问2详解】 因为，结合（1）可知底面为正方形， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则; ,; 设平面的一个法向量为，则， 令得，. 设平面的一个法向量为，则， 令得，. 设平面与平面的夹角为，则， 所以，即平面与平面的夹角的正弦值为. 18. 已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； （3）过点作，垂足为，求的最大值． 【答案】（1）； （2） 由（1）可得， 由题意知均存在且不等于0， 则设直线的方程为：， 则． 设直线方程为： 与椭圆方程联立得：，， 所以，因为， 故，因此． 同理． 斜率为 ， 故. （3）. 【解析】 【分析】（1）代入点坐标并结合离心率公式即可得到方程； （2）设直线的方程为：，联立椭圆方程得到韦达定理式，化简得到，再计算得，同理，最后代入化简即可； （3）求出直线过定点，再根据两点距离即可得到答案. 【小问1详解】 由已知得，即，得， 故， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知：直线的方程为：， 即 ， 所以直线过定点． 因为，由几何意义知：， 故的最大值为． 19. 设函数，其中为参数． （1）当时，求的单调区间． （2）求的取值范围，使得对所有实数成立． （3）设，其中为（2）中范围的右端点，记为的两个正实数解，为（2）中定义的正实数（满足）．证明：． （注：） 【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 （2） 的范围是，其中，是方程的唯一正实数解. （3） 由（2）得，为的两根，且， 设，， 则， 设，， 则，， 由在恒正且单调递增，在单调递减， 可得在单调递减， 由于则， 所以，， 所以单调递增，单调递增， 则， 所以单调递减，， 则， 而，则， 由于，，在单调递增， 所以，即得证. 【解析】 【分析】（1）求导利用基本不等式判断导数符号； （2）先根据偶函数缩小讨论范围，再分参来解恒成立问题，为了方便求导可以同时取对数，结合零点存在定理，利用隐零点来说明； （3）极值点偏移问题，可以构造差函数来解； 【小问1详解】 当时， ， ， 设，则 ， 根据基本不等式（当且仅当 ，即时取等号）， 所以 ，在上单调递增，在上单调递增， ， 所以当时，，当时，0， 所以的单调递减区间为 ，单调递增区间为. 【小问2详解】 由于，则为偶函数，且成立， 则只需要对于，恒成立，即恒成立， 又由于，，则只需恒成立， 设， 则， 由于在单调递增， 在单调递增，所以在单调递增， ，， 所以存在唯一，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 极小值，由于， 化简可得， 则，， 设，则时，对所有实数成立， 综上：的范围是，其中，是方程的唯一正实数解. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025-2026学年上学期高三适应性测试（三） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 3. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 28 4. 设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（ ） A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 5. 非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 10. 已知等比数列中，，，为数列的前项和．下列说法正确的是（ ） A. 或 B. 或 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，在区间单调递减 C. 当时，在区间上存在唯一极小值点 D. 当时，有2个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________ 13. 直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为__________. 14. 学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前48项和. 16. 电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿．“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据： 线上宣传投入金额（万元） 20 30 40 50 60 70 游客满意度评分（分） 60 65 70 78 80 85 （1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断与两个变量线性相关性的强弱.（精确到小数点后两位）； （2）《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为； ①当时，设比赛结束时甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望； ②甲以获胜的概率为，求的最大值． 参考公式：相关系数，参考数据：． 17. 如图，在几何体中，底面为平行四边形， 平面⊥平面. （1）证明:四边形为菱形; （2）若，且，，求平面与平面的夹角的正弦值. 18. 已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； （3）过点作，垂足为，求的最大值． 19. 设函数，其中为参数． （1）当时，求的单调区间． （2）求的取值范围，使得对所有实数成立． （3）设，其中为（2）中范围的右端点，记为的两个正实数解，为（2）中定义的正实数（满足）．证明：． （注：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $