4.4一次函数的应用（第1课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学八年级上册

4.3一次函数的应用（第1课时） 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第四章“一次函数”的第四节。内容包括：一运用一次函数解决实际问题，包括根据实际情境建立一次函数模型、利用函数图象与性质分析问题并求解。 （二）教学内容解析 从知识关联看，本节是在学生学习一次函数的概念、图象与性质后的综合应用，是对一次函数知识的深化，也为后续学习反比例函数、二次函数的应用奠定基础。 从能力培养看，通过实际问题的解决，能提升学生数学建模能力、分析和解决实际问题的能力，体会数学与生活的紧密联系。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】用待定系数法确定一次函数表达式 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1.学生能根据实际情境列出一次函数表达式，会利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题。 2.经历从实际问题抽象出一次函数模型的过程，培养数学建模思想和分析问题的能力。 3.感受数学在实际生活中的应用价值，增强学习数学的兴趣和信心。 （二）教学目标解析 1、达成“知识与技能”目标的标志：学生能独立根据题目中的数量关系写出一次函数解析式，能结合函数图象或代入求值的方法，求出实际问题中的未知量，如成本、利润、路程等。 2、 达成“过程与方法”目标的标志：在课堂例题和练习中，学生能主动分析题目中的变量关系，尝试将实际问题转化为数学问题，即建立一次函数模型，并用所学知识解决。 3、达成“情感态度与价值观”目标的标志：学生在讨论实际应用案例（如购物优惠、行程问题）时，能积极参与，主动分享思路，认识到数学在生活中的实用性。 三、学生学情分析 已有知识基础：学生已掌握一次函数的概念、图象（正比例函数是特殊的一次函数）和性质，会求一次函数的解析式，具备一定的代数运算能力。 存在的困难： 难以从复杂的实际情境中提取关键信息，找出变量之间的一次函数关系，建立数学模型。对实际问题中自变量的取值范围考虑不全面，容易忽略实际意义对自变量的限制（如人数、数量不能为负数或小数）。不能灵活结合函数图象分析问题，对图象中横纵坐标的实际含义理解不透彻。【教学难点】能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题 四、教学策略分析 1、情境教学法：创设贴近学生生活的实际情境，如“手机话费套餐选择”“商场促销活动”等，激发学生兴趣，引导学生从情境中提取数学信息。 2. 问题驱动法：通过设计层层递进的问题，如“这个问题中有哪些变量？”“变量之间是什么关系？”“如何用一次函数表示这种关系？”，引导学生逐步建立函数模型，解决问题。 3. 合作探究法：针对较复杂的实际问题，组织学生小组讨论，共同分析问题、交流思路，培养合作能力和思维能力。 4. 多媒体辅助教学：利用课件展示函数图象、实际问题场景，直观呈现变量关系，帮助学生理解图象与实际问题的联系。 五、教学过程分析 （一）复习引入 情境导入：展示某通讯公司的两种话费套餐： 套餐A：月租20元，每分钟通话费0.15元； 套餐B：月租0元，每分钟通话费0.3元。 提问：“每月通话多少分钟时，两种套餐的费用相同？选择哪种套餐更划算？”引导学生思考，引出本节课“一次函数的应用”主题。 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 活动一： 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（单位：m/s）与其下滑时间t（单位：s）之间的关系如图所示。 （1）写出v与t之间的关系式； （2）物体下滑3 s时速度是多少？ 解；（1）设v=kt ∵ (2,5)在图像上 ∴5=2k k=2.5 ∴v=2.5t （2）V=2.5t=2.5×3=７.５米／秒 活动目的：承接上一节“一次函数的图象”，这里的情境问题以图象形式呈现变量之间的关系。考虑到学生尚未学习二元一次方程组，这里选择的是正比例函数关系，以降低难度。 活动二： 思考·交流 确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？与同伴进行交流。 例1 在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）是所挂物体质量x（单位：kg）的一次函数。某弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm。写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度。 解：设y＝kx＋b，根据题意，得 14.5＝b， ① 16＝3k＋b。 ② 将①代入②，得 k＝0.5。 所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5。 当x＝4时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5。 因此，当所挂物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm。 练习：1：已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式． 解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得， ∴－5＝2k＋b，5＝b， 解得b＝5，k＝－5. ∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5. 2、已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的表达式。 解：设直线l为y=kx+b, 　　∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2. 又∵直线过点（0，2）， ∴2=-2×0+b, ∴b=2, ∴直线l的表达式为y=-2x+2. 活动三： 尝试·思考 某根蜡烛燃烧前长30 cm；燃烧时，剩下的长度y（单位：cm）是燃烧时间x（单位：h）的一次函数。当这根蜡烛燃烧2 h时，剩下的长度为18 cm。 （1）写出y与x之间的关系式； （2）这根蜡烛最多能燃烧多长时间？ （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1.一个正比例函数（≠）的图象经过点(2，－3)，它的表达式为(　　) A. y＝－ x B. y＝ x C. y＝ x D. y＝－ x 2.若一个正比例函数的图象经过A (3，－6)，B (m，－4)两点，则m的值为(　　) A. 2 B. 8 C. －2 D. －8 3. 2y-3与3x+1成正比例关系，且当x=2时，y=12，则求y与x的函数解析式 4. 已知直线经过点（1，2）和点（3，0），则这条直线的解析式为___________ 解：设（） 将点(1，2)，（3，0）代入上式， 得，解得 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $