14.3 角的平分线 课件 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦全等三角形中的角平分线性质与判定，从角平分线的定义出发，通过新课导入中几何语言的规范表达，自然衔接已知距离相等推导出角平分线的结论，构建起“性质—判定”的双向认知支架，帮助学生建立清晰的逻辑链条。 资料亮点突出，体现核心素养中的“抽象能力”“推理意识”和“模型意识”。例如，在例题中引导学生从两条角平分线交于一点出发，逐步推理出三条角平分线共点的结论，强化了由特殊到一般的归纳推理过程。变式练习巧妙融合面积与周长关系，用OM=4和周长32求面积，将角平分线性质转化为代数运算模型，实现知识迁移与应用。此设计既提升学生数学建模与逻辑推理能力，又为教师提供可直接使用的结构化教学路径，增强课堂实效性。

第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定 一、新课导入 O D P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1.叙述角平分线的性质定理 不必再证全等 E 二、探究新知 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE 几何语言： 猜想: 思考：这个结论正确吗？ 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP B A D O P E 证明猜想 知识点1 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 角的平分线的判定 图形 已知条件 结论 C 1 2 P D E O C B 1 A 2 P D E OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE P D E O B A P D E C 角的平分线的性质和判定的区别与联系 两个定理的条件与结论是相反的 PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB 三、典例精析 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 例1 教材59页 8题 【例题】 如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P. 求证：(1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等； D E F A B C P N M BP平分∠ABC， PD⊥AB，PE⊥BC, 垂足是D，E， PD=PE CP平分∠ACB， PE⊥BC，PF⊥AC ,垂足是E，F， PE=PF PD=PE=PF 【例题】 如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P. 求证：(1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等； D E F A B C P N M 证明：（1）过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA,垂足分别为D，E，F. ∵ BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴ PD=PE . 同理 PE=PF . ∴ PD=PE=PF . 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 【例题】 如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P. 求证：(2) △ABC的三条角平分线交于一点. D E F A B C P N M 证明：(2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等, ∴点P在∠A的平分线上， ∴△ABC的三条角平分线交于一点. 归纳总结：三角形三个内角的平分线交于一点，而且这个点到三边的距离相等. 四、巩固练习 M E N A B C P O D 变式：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4. (1)求点O到△ABC三边的距离和. 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 答案：12 解：连接OC M E N A B C P O D 变式：如图，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP⊥BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4. (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 1、应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2、联系角平分线性质： 距离 面积 周长 条件 知识与方法 五、课堂小结 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有 ∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°. 例3 方法总结：由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数． 1. 如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ的度数为( ) A、20° B、30° C、35° D、40° C 2.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 C 六、课后作业 解：QM=QN.理由如下： ∵PE⊥OA，PF⊥OB，PE=PF， ∴OP平分∠AOB， ∵QM⊥OA，QN⊥OB， ∴QM=QN． 3.如图，点P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E，点F，且PE=PF．点Q是OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别为点M和点N，QM与QN相等吗？为什么？ 达标反馈 4.如图所示，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC. 证明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分别为Q，M，N. 因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上， 所以PM = PQ，PN = PQ， 所以PM = PN. N Q M 又PM⊥AE，PN⊥AF， 所以 AP平分∠BAC. $