专题03 一元二次方程的应用7大题型（期中专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题03 一元二次方程的应用 题型01 传播问题 题型05 工程问题 题型02 增长率问题 题型06 与图形有关的问题 题型03 数字问題 题型07 动态几何问题（难点） 题型04 营销问題（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型01 传播问题 1．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感．每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为 ． 2．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 人感染了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人． 3．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 4．今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 题型02 增长率问题 5．股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 6．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7200亿元．则我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为 ． 7．某超市购进一种商品，2022年商品每件的进价为125元，随着生产成本的降低，商品2024年每件的进价为80元．求这种商品每件进价的年平均下降率． 8．汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变． (1)求年平均增长率； (2)求该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？ 题型03 数字问題 9．一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A．36 B．63 C．36或63 D．或 10．两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（   ） A． B．5 C．17 D．51 11．两个连续的自然数的平方和为41，设较小的自然数为x，那么较大的自然数为 ．根据题意列出方程为 ． 12．一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是 ． 13．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是． (1)八进制数换算成十进制数是________； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 14．2025年7月1日是建党104周年纪念日，在本月月历表上可以用一个方框圈出4个数（如下图所示）．若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为84，求这个最小数． 题型04 营销问題（重点） 15．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 16．某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件元时，每天可售出件；售价每降低元，日销售量增加件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． (1)请写出日销售量（单位：件）与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围） (2)每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利元？ (3)该商家希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 17．益民商店经销某种商品，进价为每件80元，商店销售该商品每件售价高于80元且不超过120元．若售价定为每件120元时，每天可销售200件，市场调查反映：该商品售价在120元的基础上，每降价1元，每天可多销售10件，设该商品的售价为元，每天销售该商品的数量为件． (1)求与之间的函数关系式； (2)商店在销售该商品时，除成本外每天还需支付其余各种费用1000元，益民商店在某一天销售该商品时共获利8000元，求这一天该商品的售价为多少元？ 18．年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 19．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． (1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ (2)设后来该商品每件降价元，商场一天可获利润元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出与之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当取何值时，商场获利润不少于2160元？ 20．大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克，经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题： (1)填空：每千克水产品获利_______元，月销售量减少_______千克； (2)要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？ 题型05 工程问题 21．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 22．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 23．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 24．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 25．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 26．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 题型06 与图形有关的问题 27．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 28．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则这个正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 29．学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园．围墙最长可利用．与围墙平行的一边 上要预留宽的入口（如图中所示），不用砌墙．现在已备足可以砌长的墙的材料，问当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为？ 30．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数的解为 31．如图，要设计一幅长为，宽为的矩形图案，其中各有两条横、竖向的彩带，横、竖向彩带的宽度比为，彩带所占面积是图案面积的，设竖向彩带的宽为，则可列方程为 ． 32．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 题型07 动态几何问题（难点） 33．如图，在中，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时，点也从点开始沿射线方向以的速度运动． 秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为？ 34．如图，在矩形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿方向运动，点以的速度沿的方向运动．当其中一点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，矩形的面积为，当时，的值为 ． 35．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 36．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 37．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 38．如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． $专题03 一元二次方程的应用 题型01 传播问题 题型05 工程问题 题型02 增长率问题 题型06 与图形有关的问题 题型03 数字问題 题型07 动态几何问题（难点） 题型04 营销问題（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型01 传播问题 1．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感．每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后患流感的人数为：，第二轮传染后患流感的人数为：，经过两轮传染后共有81人患了流感，可列方程为：． 故答案为：． 2．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 人感染了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人． 【答案】 【详解】解：依题意，得：， 即． 解得： (不合题意，舍去)． 故答案为：． 3．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 【答案】6 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 4．今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 【答案】一共有8个人过生日． 【详解】解：设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．由题意得 整理可得 解得（舍） 答：一共有8个人过生日． 题型02 增长率问题 5．股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这两天此股票股价的平均增长率为 ∴， 即， 故选：A． 6．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7200亿元．则我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为 ． 【答案】 【详解】解：设我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为， 故答案为：． 7．某超市购进一种商品，2022年商品每件的进价为125元，随着生产成本的降低，商品2024年每件的进价为80元．求这种商品每件进价的年平均下降率． 【答案】这种商品每件进价的年平均下降率为 【详解】解：设这种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意得， 解得或（舍去） 答：这种商品每件进价的年平均下降率为． 8．汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变． (1)求年平均增长率； (2)求该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？ 【答案】(1) (2)125 【详解】（1）解：设年平均增长率为x， 依题意，得， 解得：（不合题意，舍去）． 答：年平均增长率为． （2）解：（万辆）． 答：该品牌汽车2011年的年产量为125万辆． 题型03 数字问題 9．一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A．36 B．63 C．36或63 D．或 【答案】C 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：， 解得． 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故选：C． 10．两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（   ） A． B．5 C．17 D．51 【答案】C 【详解】解：设较小的奇数为， 那么较大的奇数为， ， 解得：或， 当时 奇数为15， 17； 当时奇数为， ． 故选：C． 11．两个连续的自然数的平方和为41，设较小的自然数为x，那么较大的自然数为 ．根据题意列出方程为 ． 【答案】 【详解】解：∵两个连续的自然数中较小的自然数为x， ∴较大的自然数为． 根据题意得：． 故答案为：；． 12．一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是 ． 【答案】 【详解】解：设该三位数个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是． 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， ∴十位上的数字为，百位上的数字为． 故答案为：． 13．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是． (1)八进制数换算成十进制数是________； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）由题意得：，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 14．2025年7月1日是建党104周年纪念日，在本月月历表上可以用一个方框圈出4个数（如下图所示）．若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为84，求这个最小数． 【答案】这个最小数为． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为． 依题意，得． 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故答案为：这个最小数为． 题型04 营销问題（重点） 15．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【详解】（1）解：设日平均增长率为，由题意得：， 解得：，（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元，由题意得：， 解得：，（舍）， 答：每个玩偶降价元． 16．某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件元时，每天可售出件；售价每降低元，日销售量增加件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． (1)请写出日销售量（单位：件）与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围） (2)每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利元？ (3)该商家希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)元 (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：由题意得，， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件汉服降价元时，该商家平均每天可盈利元； （3）解：不能，理由如下： 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴不能平均每天盈利元． 17．益民商店经销某种商品，进价为每件80元，商店销售该商品每件售价高于80元且不超过120元．若售价定为每件120元时，每天可销售200件，市场调查反映：该商品售价在120元的基础上，每降价1元，每天可多销售10件，设该商品的售价为元，每天销售该商品的数量为件． (1)求与之间的函数关系式； (2)商店在销售该商品时，除成本外每天还需支付其余各种费用1000元，益民商店在某一天销售该商品时共获利8000元，求这一天该商品的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)这一天该商品的售价为110元 【详解】（1）解：该商品售价在120元的基础上，每降价1元，每天可多销售10件，设该商品的售价为元，每天销售该商品的数量为件． （2）解：由题意可知，设该商品的售价为元， 解得 答：这一天该商品的售价为110元． 18．年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 【答案】(1)普通票每张为元，票的每张为元 (2) 【详解】（1）解：设普通票的每张为元，则票的每张为元，， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则元， 答：普通票每张为元，票的每张为元； （2）解：， ， ，（舍）， 答：的值为． 19．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． (1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ (2)设后来该商品每件降价元，商场一天可获利润元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出与之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当取何值时，商场获利润不少于2160元？ 【答案】(1)2000（元）； (2)①2元或8元；②，图象见解析，当时，商场所获利润不少于2160元． 【详解】（1）商场经营该商品原来一天可获利润为：（元）； （2）①依题意得： 即 解得： 经检验：都是方程的解，且符合题意． 故商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元． （2）依题意得： ， 结合①并观察图象可得： 当时，， 当时，商场所获利润不少于2160元． 20．大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克，经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题： (1)填空：每千克水产品获利_______元，月销售量减少_______千克； (2)要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？ 【答案】(1)， (2)销售单价应涨价元． 【详解】（1）由题意可得：每千克水产品获利元，月销售量减少千克； 故答案为：，； （2）由题意可列方程：， 化为：， 解得：， 因为又要“薄利多销”， 所以不符合题意，舍去． 答：销售单价应涨价元． 题型05 工程问题 21．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 22．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 23．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 24．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 25．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 26．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 题型06 与图形有关的问题 27．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米， ∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形， ∴由题意可得：， 故选：A． 28．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则这个正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据图形和题意可得，其中， 则方程是 解得：（负值舍去）， 所以正方形的面积为， 故选：A． 29．学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园．围墙最长可利用．与围墙平行的一边 上要预留宽的入口（如图中所示），不用砌墙．现在已备足可以砌长的墙的材料，问当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为？ 【答案】 【详解】解：设， 则，， 则， 解得：或（舍去）, ∵, ∴不合题意，舍去， ∴ ∴当长度是时，矩形花园的面积为． 30．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数的解为 【答案】/ 【详解】解：由得， ∵阴影部分的面积为， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴方程的正数解为， 故答案为：． 31．如图，要设计一幅长为，宽为的矩形图案，其中各有两条横、竖向的彩带，横、竖向彩带的宽度比为，彩带所占面积是图案面积的，设竖向彩带的宽为，则可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：彩带面积是图案面积的， 空白部分面积是图案面积的， 可列方程为：． 故答案为：． 32．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 【答案】1 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， 整理，得：． 解得或34（舍去）， 所以小道进出口的宽度为． 故答案为：1． 题型07 动态几何问题（难点） 33．如图，在中，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时，点也从点开始沿射线方向以的速度运动． 秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为？ 【答案】或 【详解】解：①当P在线段上，Q在线段上时， ， ， ， 得（舍去）； ②当P在线段上，Q在线段延长线上时， ， ，得； ③当P在线段的延长线上，点Q在线段延长线上时， ， ， 解得，都不符合题意，舍去， 综上：或． 故答案为：或． 34．如图，在矩形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿方向运动，点以的速度沿的方向运动．当其中一点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，矩形的面积为，当时，的值为 ． 【答案】 【详解】，， ， ，当点到达点．即时、点停止运动． 如图1、当点在上运动时，，， 过点作于点M． 解得（舍去）． 如图2，当点在上运动时，2．； 过点作于点N． 解得 ∴均不符合题意，舍去． 综上所述，当时，． 故答案为． 35．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； （2）由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 36．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3），， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 37．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？ 【答案】(1)5秒 (2)秒 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答：P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 38．如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，或 【详解】（1）解：若点P在边上，，，， ，， ，， （）， 当时，， ， ， 解得； 当时，， ， ， 解得； 综上所述，当或时为直角三角形； （2）解：若点P在边上，，，， 过点P作于点H， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）； 若点P在边上，，（），（）， 过点P作于点M， ， ， （）， ， 解得，（舍去）； 综上所述，存在这样的值，使的面积为，且或． 【点睛】本题考查了几何动点问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，根据动点的路径分情况讨论及利用方程思想列方程求解是解题的关键． $