专题02 一元二次方程10大题型（期中专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题02 一元二次方程 题型1 直接开平方 题型6 含绝对值的一元二次方程 题型2 配方法 题型7 换元法（难点） 题型3 因式分解法（重点） 题型8 判断一元二次方程根的情况（重点） 题型4公式法 题型9 确定字母的取值或范围 题型5 用适当的方法解方程（常考点） 题型10 根与系数关系的综合应用（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 直接开平方 1．若关于x的方程的根为b，则的值为（    ） A．5 B． C．4或 D．5或 2．一元二次方程的根为 ． 3．一元二次方程的解是 ． 4．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 题型2 配方法 5．当 时，多项式有最大值？求出这个最大值是 ． 6．方程经过配方法化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 8．如下是小明在解方程时的过程．他在解答过程中开始出错的步骤是（    ） ① ② ③ ④ A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 9．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 题型3 因式分解法（重点） 10．方程的解是： ． 11．阅读：因为，所以，这说明多项式有一个因式为，也说明当时，多项式的值为0．解答问题：方程的解是 ． 12．菱形的两条对角线相交于点O，若菱形的边长是的一个根，且，该菱形的面积是 ． 13．等腰三角形的底和腰是方程的两根，则该三角形的周长是 题型4公式法 14．下列一元二次方程的根是的是（   ） A． B． C． D． 15．解方程： 16．用公式法解关于的方程： (1) (2) 17．已知a，b满足，已知，x为正数，则 ． 题型5 用适当的方法解方程（常考点） 18．（）用配方法解方程； （）选择适当的方法解方程． 19．用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 20．用适当方法解方程： (1) (2) 题型6 含绝对值的一元二次方程 21．下列属于方程的解的是（    ） A． B． C． D． E．1 22．方程的实数根为 ． 23．已知分式，则x的值为 ． 24．方程解的个数（   ） A． B． C． D． 题型7 换元法（难点） 25．关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是 ． 26．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 27．若实数满足 ，则的值为 ． 28．用换元法解方程时，设，可以把原方程化为关于y的整式方程是 ． 29．解方程： 30．阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 题型8 判断一元二次方程根的情况（重点） 31．下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是（　　） A． B． C． D． 32．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 33．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 34．已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 题型9 确定字母的取值或范围 35．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 36．若二次三项式在实数范围内能因式分解，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D． 37．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 38．已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 39．已知在正比例函数中，的值随着的增大而增大，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 题型10 根与系数关系的综合应用（重点） 40．设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 41．已知不相等的实数a、b满足，则 ． 42．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求a的取值范围． (2)是否存在实数a，使成立？ 43．关于的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 44．已知为质数，使二次方程的两根都是整数，求出的所有可能值 ． 45．一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： $函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题02一元二次方程 题型归纳·内容导航 题型1直接开平方 题型6含绝对值的一元二次方程 题型2配方法 题型7换元法（难点） 题型3因式分解法（重点） 题型8判断一元二次方程根的情况（重点) 题型4公式法 题型9确定字母的取值或范围 题型5用适当的方法解方程（常考点） 题型10根与系数关系的综合应用（重点） 题型通关·靶向提分 题型1直接开平左 1.若关于x的方程(ax-12-16=0的根为b,则ab的值为() A.5 B.-5 C.4或日4 D.5或-3 【答案】D 【详解】解：将x=b代入方程(ax-1)2-16=0中， 得(ab-1)2-16=0, ab-1=16, .ab-1=±4， 解得ab=5或ab=-3. 故选：D. 2.一元二次方程x2-9=0的根为. 【答案】x=3,x2=-3 【详解】解：x2-9=0, x2=9, x=3,x2=-3. 1/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.一元二次方程(x-1)2=4的解是 【答案】x1=3,x2=-1 【详解】解：（x-1)2=4, x-1=2或x-1=-2, .x1=3,x2=-1, 故答案为：x=3,x2=-1. 4.用直接开平方法解下列方程： (1)2(x-1)2=18 (2)3(x+1)2-75=0. 【答案】(1)x=4,x2=-2 (2)x1=4,x2=-6 【详解】(1)解：~2x-1)2=18, 两边同时除以2，得(x-)2=9, 则x-1=±3， x-1=3或x-1=-3, 解得x1=4,x2=-2. (2)解：3x+1)2-75=0, .3(x+1)2=75, (x+1)2=25, x+1=±5， 解得x=4,x2=-6 题型2配方法 5.当x=_时，多项式-2x2-4x+3有最大值？求出这个最大值是一· 【答案】 -15 【详解】解：-2x2-4r+3 2/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =-2x2+2x+3 =-2x2+2x+1-1+3 =-2(x2+2x+1+5 =-2(x+12+5, (x+1)2≥0， -2(x+1)2≤0， 则-2(x+1)2+5≤5， 即当x=-1时，多项式-2x'-4x+3有最大值，且这个最大值为5， 故答案为：-1,5. 6.方程x2-2x-4=0经过配方法化为(x+a)=b的形式，正确的是（) A.(x-1)2=5 B.（x+1)2=5 C.（x-1)2=4 D.(x+12=25 【答案】A 【详解】解：x2-2x-4=0, x2-2x=4, x2-2x+1=4+1, (x-1)2=5, 故选：A. 7.用配方法解一元二次方程x2-8x-4=0,经配方后得到的方程是（） A.(x-4)2=20 B.（x-42=16 C.（x-4)2=12 D.(x-4)2=8 【答案】A 【详解】解：x2-8x-4=0, x2-8x=4, x2-8x+16=4+16, 3/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (x-4)2=20, 故选A. 8.如下是小明在解方程x2-2x-1=0时的过程.他在解答过程中开始出错的步骤是（) -2x-10 x2-4x-2=0① x2-4r=2② (x-22=2③ x=2±V2④ A.第①步 B.第②步 C.第③步 D.第④步 【答案】C 【详解】解：x2-2x-1=0, 2 六x2-4x-2=0, .x2-4x=2, 则x2-4x+4=2+4,即(x-2)2=6, x-2=±V6, ∴x1=2+V6,x2=2-√6. ∴他在解答过程中开始出错的步骤是第③步， 故选：C. 9.不论x、y为何实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值() A.总不小于2B.总不小于7 C.可为任何实数 D.可能为负数 【答案】A 【详解】解：原式x2+y2+2x-4y+7可分解为： 对x部分配方：x2+2x=(x+1-1; 对y部分配方：y2-4y=(y-2)-4; 代入原式得：（x+1)2-1+(y-22-4+7=(x+1)+(y-2)+2, 4/23 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由于(x+1)2≥0且(y-2)2≥0，故(x+1)2+(y-22≥0， 因此原式的最小值为0+2=2， 综上，代数式的值总不小于2. 故选：A. 题型3因式分解法（重点） 10.方程x2-16=3x(x-4)的解是： 【答案】x=4,x2=2 【详解】解：x2-16=3x(x-4), ∴(x+4)x-4)-3x(x-4)=0, ∴.(x+4-3x)x-4)=0, ∴x+4-3x=0,x-4=0, x1=4,x2=2. 故答案为：x=4,x2=2 11.阅读：因为x+2)(x-1=x2+x-2,所以x2+x-2÷(x-1)=x+2,这说明多项式x2+x-2有一个因 式为x-1,也说明当x=1时，多项式x2+x-2的值为0.解答问题：方程x3-4x2-7x+10=0的解是 【答案】x=1或x=5或x=-2 【详解】解：：x3-4x2-7x+10=0, ·x-1(x-5)x+2)=0, .x-1=0或x-5=0或x+2=0, x=1或x=5或x=-2, ·方程的解为：x=1或x=5或x=-2. 故答案为：x=1或x=5或x=-2. 12.菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若菱形的边长是x2-8x+15=0的一个根，且AC=8,该菱形的 面积是 【答案】24 【详解】解：x2-8x+15=0, 5/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (x-3)(x-5=0, x-3=0或x-5=0, X1=3,x2=5, 当菱形边长是3时， :3+3=6<8, ·不能组成三角形； :该菱形的边长是5， 如图，连接BD,交AC于点O, D B 菱形ABCD中，AC⊥BD,OA=AC=4, ∴0B=VAB2-0A2=V52-42=3, ∴.BD=20B=6, a5m号4C-BD-x8x6=24. 1 2 故答案为：24 13.等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则该三角形的周长是 【答案】10 【详解】解：x2-6x+8=0, (x-2)(x-4)=0 得x=2,x2=4, 当底边为2，腰为4时，此时能组成三角形， 该三角形的周长是2+4+4=10； 当底边为4，腰为2时，由于2+2=4，故此时不能组成三角形， 综上，该三角形的周长是10. 故答案为：10. 6/23 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型4公式法 14.下列一元二次方程的根是x=-5±5+4x3x1的是() 2×3 A.3x2+5x+1=0B.3x2-5x+1=0C.3x2-5x-1=0D.3x2+5x-1=0 【答案】D 【详解】A、3x2+5x+1=0中，x=5±5F-4x3x ，不符合题意； 2×3 B、3-5x+1=0中，x=-5列±-5-4×3x15生F-4x3x1,不符合题意， 2×3 2×3 C、3x2-5x-1=0中，x=--5列±-5-4×3x-可 5±V52+4×3×1,不符合题意； 2×3 2×3 D3+5-1=0中，x=5±54x3x可_-5±5F+4×3x1,符合题意. 2×3 2×3 故选：D. 15.解方程：xx-3=3-x 【答案】x1=-1,x2=3 【详解】解：x(x-3)=3-x, xx-3)+(x-3)=0, （x+1x-3=0, .x+1=0或x-3=0, x1=-1,x2=3. 16.用公式法解关于x的方程： (1)x2+mx+2=mx2+3x(m≠1) (2)x2-4ar+3a2+2a-1=0 【答案】四x=,2或r=1 1-m (2)x=3a-1或x=a+1 【详解】(1)解：：x2+mx+2=mx2+3x, ∴.(1-m)x2+(m-3)x+2=0, 7/23 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a=1-m,b=m-3,c=2, :△=(m-3)2-81-m =m2+2m+1, x=-m+3±m+1 2-2m =-m+3注m+1川 2-2m 2或x=1； :x=1 (2):x2-4ax+3a2+2a-1=0, a=1,b=-4a,c=3a2+2a-1, △=16a2-4(3a2+2a-1) =4(a2-2a+1) =4(a-1)2, x=4a±V4a-l 2 4at2la-11 2 =2a±|a-1| x=3a-1或x=a+1. 17.已知a,6满足a*6=Vab+a+b,已知3*x=4,x为正数，则x= 3 【答案】21-3v13 2 【详解】解：由题意得V3x+3+x=4, 3 整理得√3x=9-x, 两边平方得3x=(9-x)2, 整理得x2-21x+81=0, 解得x=21+3V3 2 21-3丽 2 当5=21+35时，9-x<0,故舍去， 2 21-313 ..X=- 2 8/23 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为： 21-3V13 题型5用适当的方法解方程（常考点） 18.(1)用配方法解方程4y2+8y-1=0: (2)选择适当的方法解方程3xx-1)=2-2x. 【答案】(1)片=-1-5,5= ,h=-1+5. 2 2 ；（2)=1,2=-2 【详解】解：(1)4y2+8y-1=0, y2+2y=4' 1 1 y2+2y+1=+1, 4 4- +1=± 2 %1 2’为-1+ 2 (2)3xx-1=2-2x, 3xx-1+2(x-1=0, x-1(3x+2)=0, x-1=0或3x+2=0, 2 x=1,x=3 19.用适当的方法解方程 (1)(3x-2)2=16; (2)3xx-3)=3(x-3); (3)x2-4x+1=0; (4)6x2-7x+1=0. 2 【答案】(1)x=2,x2= 3: (2)x=3,x2=1: 9/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)x1=2+V3,x2=2-V3: 4x=1,x=6 1 【详解】(1)解：(3x-2)2=16 3x-2=±4 .3x-2=4或3x-2=-4, 2 x=2,=-39 (2)解：3xx-3=3(x-3, 3xx-3-3x-3=0, （x-3)(3x-3=0, x-3=0或3x-3=0 x=3,x2=1; (3)解：x2-4x+1=0 x=4±4-4×1x1=2士5， 2×1 x,=2+V3,x2=2-V5; (4)解：6x2-7x+1=0, x=7±-7-4x6×17±5 2×6 12 1=1,x=6 1 20.用适当方法解方程： (1)x(x+3=5(x+3 (2)x2+6x+2=0 【答案】(1)x=5,x2=-3; (2)x1=-3+V7,x2=-3-V7. 【详解】(1)解：~x(x+3-5x+3=0 10/23