精品解析：2022年四川省眉山市仁寿县鳌峰初级中学中考数学模拟试卷（3月份）

2022年四川省眉山市仁寿县鳌峰初级中学中考数学模拟试卷（3月份） 一、选择题：本大题共12个小题：每小题4分：共48分． 1. 绝对值为 4 的实数是（ ） A. ±4 B. 4 C. －4 D. 2 2. 对﹣3x+2分解因式，结果为（ ） A. x（x﹣3）+2 B. （x﹣1）（x﹣2） C. （x﹣1）（x+2） D. （x+1）（x﹣2） 3. 若a为任意实数，则下列式子恒成立的是（ ） A B. C. D. 4. 我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量．将数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=，则S阴影=（ ） A. 2π B. π C. π D. π 8. 一把直尺和一块三角板(含、角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点和点，另一边与三角板的两直角边分别交于点和点，且，那么的大小为(　　) A. B. C. D. 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 10. 某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值是(　　) A (1－10%)(1＋15%)x万元 B. (1－10%＋15%)x万元 C. (x－10%)(x＋15%)万元 D. (1＋10%－15%)x万元 11. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 13. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 14. 分式方程的解是_____． 15. 已知一元二次方程的两个实数根为x1，x2，则的值是_______． 16. 一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，．其中整数是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是_____． 17. 如图，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′=_______． 18. 如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是_____．（只填写序号） 三、解答题（19、21、22、24、25题各10分，20、23题各8分，26题12分） 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 20. 如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．(结果保留根号) 21. 八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图． 类别 频数（人数） 频率 小说 0.5 戏剧 4 散文 10 025 其他 6 合计 1 根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）八年级一班有多少名学生？ （2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比； （3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率． 22. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出中x的取值范围； （3）在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 23. 如图，在中，，以为直径作圆，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求圆的半径及的长． 24. 天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需万元， （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 25. 已知正方形的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在上，且满足，延长交于点N，连结． （1）如图一，若点M在线段上，求证：；； （2）①如图二，在点P运动过程中，满足的点M在的延长线上时，和是否成立？ ②是否存在满足条件的点P，使得？（不需说明理由）． 26. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． （1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴； （2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； （3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； （4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年四川省眉山市仁寿县鳌峰初级中学中考数学模拟试卷（3月份） 一、选择题：本大题共12个小题：每小题4分：共48分． 1. 绝对值为 4 的实数是（ ） A. ±4 B. 4 C. －4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】①当a是正有理数时,a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零,根据绝对值的含义和求法,可得绝对值为4的数有2个:-4、4,据此解答即可． 【详解】解：绝对值为4的数有2个：-4、4． 故选A． 【点睛】本题主要考查了绝对值的含义和应用,要熟练掌握,解决本题的关键是要熟练掌握绝对值的意义. 2. 对﹣3x+2分解因式，结果为（ ） A. x（x﹣3）+2 B. （x﹣1）（x﹣2） C. （x﹣1）（x+2） D. （x+1）（x﹣2） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：常数项2可以写成﹣1×（﹣2），﹣1+（﹣2）=﹣3，符合二次三项式的因式分解．则原式=（x﹣1）（x﹣2）． 考点：因式分解-十字相乘法等． 3. 若a为任意实数，则下列式子恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，掌握算理是解决问题的关键．根据合并同类项法则，单项式的乘法法则，对各选项判断即可． 【详解】解：A、应为，故本选项不符合题意； B、应为，故本选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D、，正确，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量．将数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】． 故选D． 5. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看立体图形，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看到的是“田”字， 故选：C． 6. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作AD垂直BC的延长线于点D得出△ABD为等腰直角三角形，再根据45°角的cos值即可得出答案. 【详解】 作AD垂直BC的延长线于点D 则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45° ∴ 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是锐角三角函数，比较简单，需要理解并记忆特殊锐角三角函数值. 7. 如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=，则S阴影=（ ） A. 2π B. π C. π D. π 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，假设线段CD．AB交于点E， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=ED=， 又∵∠BCD=30°， ∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°， ∴OE=DE•tan30°=×=2，OD=2OE=4， ∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC =﹣OE×DE+BE•CE = =． 故选C． 考点：圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算． 【点睛】此题考查了垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 8. 一把直尺和一块三角板(含、角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点和点，另一边与三角板的两直角边分别交于点和点，且，那么的大小为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形外角性质得到∠FDE=∠C+∠CED=140°，然后根据平行线的性质得到∠BFA的度数． 【详解】， ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等式的性质对变形可得，利用分式的性质对变形可得，从而代入求值即可． 【详解】由条件可知，， ∴，即：， 根据分式的性质得：， 将代入上式得：原式， 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键． 10. 某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值是(　　) A. (1－10%)(1＋15%)x万元 B. (1－10%＋15%)x万元 C. (x－10%)(x＋15%)万元 D. (1＋10%－15%)x万元 【答案】A 【解析】 【分析】根据1月份的产值是x万元，用x把2月份的产值表示出来（1-10%）x，进而得出3月份产值列出式子（1-10%）（1+15%）x万元，即可得出选项． 【详解】1月份的产值是x万元， 则：2月份的产值是（1-10%）x万元， 3月份的产值是（1+15%）（1-10%）x万元， 故选A． 【点睛】本题主要考查怎么列代数式，属于简单题，解题关键在于读懂题意 11. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作AH⊥BC于H,分别算出当0≤x≤4时和当4＜x≤8时的函数表达式,从而得出图象. 【详解】解：作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC＝4cm， ∴BH＝CH， ∵∠B＝30°， ∴AH＝AB＝2，BH＝,AH＝2， ∴BC＝2BH＝4， ∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s， ∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s， 当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ＝x，BP＝x， 在Rt△BDQ中，DQ＝BQ＝x， ∴y＝•x•x＝x2， 当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ＝8﹣x，BP＝4 在Rt△BDQ中，DQ＝CQ＝（8﹣x）， ∴y＝•（8﹣x）•4＝﹣x+8， 综上所述，y＝． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质,关键在于对动点情况进行分类讨论. 12. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论； ②证△OMB△OEB得△EOB△CMB； ③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF； ④由②可知△BCM△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半继续求解即可． 【详解】解：①∵矩形ABCD中，OAC中点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∵FO=FC， ∴FB垂直平分OC，故①正确； ②∵FB垂直平分OC， ∴△CMB≌△OMB， ∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO， ∴△FOC△EOA， ∴FO=EO， ∴OB⊥EF， ∴△FOB≌△OEB， ∴△EOB与△CMB不全等，故②错误； ③由△OMB≌△OEB≌△CMB 得：∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE， ∴△BEF是等边三角形， ∴BF=EF， ∵DF∥BE且DF=BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF， ∴DE=EF，故③正确； ④在直角△BOE中∵∠3=30°， ∴BE=2OE， ∵∠OAE=∠AOE=30°， ∴AE=OE， ∴BE=2AE， ∴S△AOE：S△BOE=1：2， 又∵FM∶BM=1∶3， ∴S△BCM = S△BCF= S△BOE ∴S△AOE：S△BCM=2∶3 故④正确； 所以其中正确结论的个数为3个， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 13. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 14. 分式方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】两边都乘以x(x-1)，化为整式方程求解，然后检验. 【详解】原式通分得： 去分母得： 去括号解得， 经检验，为原分式方程的解 故答案为 【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验. 15. 已知一元二次方程的两个实数根为x1，x2，则的值是_______． 【答案】﹣4 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为x1，x2， ∴、， ∴=﹣2﹣3+1=﹣4． 故答案为：﹣4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握其公式表示. 16. 一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，．其中整数是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据中位数的定义求出a的值，再根据平均数的计算公式求解即可. 【详解】∵整数是这组数据中的中位数， ∴， ∴这组数据的平均数． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了平均数的求法以及中位数的求法，用到的知识点是：中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据或中间两数据的平均数叫做中位数；平均数总数个数要学会用适当的统计量分析问题． 17. 如图，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′=_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，再根据翻折变换的性质判断出四边形BCEC′是正方形，根据正方形的性质可得∠BEC=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BFC，再根据翻折变换的性质可得∠BFC′=∠BFC，然后根据平角等于180°列式计算即可得解． 【详解】解：∵矩形ABCD，∠DAC=65°， ∴∠ACD=90°-∠DAC=90°-65°=25°， ∵△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处， ∴四边形BCEC′是正方形， ∴∠BEC=45°， 由三角形的外角性质，∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°， 由翻折的性质得，∠BFC′=∠BFC=70°， ∴∠AFC′=180°-∠BFC-∠BFC′=180°-70°-70°=40°． 故答案为40°． 【点睛】本题考查的是翻折变换，正方形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 18. 如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是_____．（只填写序号） 【答案】②⑤． 【解析】 【详解】分析：①、根据开口方向、对称轴位置和与y轴的交点位置得出答案；②、看抛物线与直线y=3的交点情况得出答案；③、根据轴对称得出答案；④、根据函数图像的位置得出大小关系；⑤、根据二次函数的最值得出答案． 详解：①、∵开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵图像与y轴交于正半轴，∴c＞0，则abc＜0，则错误；②、直线y=3与抛物线只有1个交点，则方程有两个相等的实数根，则正确；③、根据轴对称性可知函数与x轴的另一个交点坐标为(－2,0)，则错误；④、根据函数图像可得：当1＜x＜4时，，则错误；⑤、当x=1时函数有最大值，则a+b+c≥x(ax+b)+c，故正确．则本题的答案为②⑤． 点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．方程是否有解则看抛物线与y=n是否有交点． 三、解答题（19、21、22、24、25题各10分，20、23题各8分，26题12分） 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）5；（2），. 【解析】 【分析】（1）由题意直接根据实数的运算法则计算即可； （2）由题意对原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了实数的运算以及分式的化简求值，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键． 20. 如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．(结果保留根号) 【答案】(10＋10)海里 【解析】 【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，如图，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．解△PBC，得出PC=BC=x海里，解Rt△APC，得出AC=PC•tan60°=x，根据AC不变列出方程x=20+x，解方程即可． 【详解】如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里． 在△PBC中，∵∠BPC=45°， ∴△PBC为等腰直角三角形， ∴PC=BC=x海里， 在Rt△APC中，∵tan∠APC=， ∴AC=PC•tan60°=x， ∴x=20+x， 解得x=10+10， 则PC=（10+10）海里． 答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离是（10+10）海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角：在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 21. 八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图． 类别 频数（人数） 频率 小说 0.5 戏剧 4 散文 10 0.25 其他 6 合计 1 根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）八年级一班有多少名学生？ （2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比； （3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率． 【答案】（1）40（2）15%（3） 【解析】 【分析】（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数； （2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率． 【详解】（1）∵喜欢散文的有10人，频率为0．25， ∴m=10÷0．25=40； （2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 ×100%=15%， 故答案为15%； （3）画树状图，如图所示： 所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种， ∴P（丙和乙）==． 22. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出中x的取值范围； （3）在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，轴对称的性质和应用，把点的坐标代入是求函数关系式常用方法，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法． （1）根据的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值； （2）根据图象直接写出的解集； （3）求出点关于y轴的对称点，根据题意直线与y轴的交点即为所求的点P，求出直线的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵的面积为4， ∴， 解得，，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，， ； 【小问2详解】 解：根据一次函数与反比例函数的图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的上方， 那么不等式解集为或； 【小问3详解】 解：作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点P， 此时取得最大值， 则直线与y轴的交点即为所求的点P， ∵点关于y轴的对称点， 又， 设直线的关系式为， 则有， 解得，， ∴直线的关系式为； ∴直线与y轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 23. 如图，在中，，以为直径作圆，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求圆的半径及的长． 【答案】（1）是的切线，理由见解析 （2）圆半径为，的长为3 【解析】 【分析】（1）欲证明是切线，只要证明，利用全等三角形的性质即可得出结论； （2）设的半径为，在中，根据，可得，推出；在和中，根据可求得，即可得到的长． 【小问1详解】 解：相切，理由如下： 如图，连接， 在与中，， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为， 在中，，，， ， ， ， 中，， 在中，． ， ， ， 由（1）知，， ， ， 圆的半径为，的长为3． 【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理，锐角三角函数，全等三角形性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线． 24. 天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需万元， （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】（1）A型每辆万元，B型每辆万元 （2）有三种购车方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆；购买A型公交车8辆，B型公交车2辆费用最少，最少总费用为万元 【解析】 【分析】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据题意找到等量关系列出方程组解决问题； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，根据题意列出不等式组并求解得出答案即可． 【小问1详解】 解：设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，由题意得∶ ， 解得， 答：购买A型公交车每辆需万元，购买B型公交车每辆需万元； 【小问2详解】 解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，由题意得∶ ， 解得：， 因为是整数， 所以，7，8； 则，3，2； 三种方案： ①购买型公交车6辆，则型公交车4辆：万元； ②购买型公交车7辆，则型公交车3辆：万元； ③购买型公交车8辆，则型公交车2辆：万元； 购买型公交车8辆，则型公交车2辆费用最少，最少总费用为万元． 25. 已知正方形的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在上，且满足，延长交于点N，连结． （1）如图一，若点M在线段上，求证：；； （2）①如图二，在点P运动过程中，满足的点M在的延长线上时，和是否成立？ ②是否存在满足条件的点P，使得？（不需说明理由）． 【答案】（1）证明见解析； （2）①仍然成立，和． ②这样的点P不存在． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的性质得到，根据正方形的性质证明，得到，根据相似三角形的对应边的比线段求出与的数量关系；  （2）①同（1）的证明方法类似；  ②根据圆周角定理得到点P在以为直径的圆上，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：如图一， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ①仍然成立，和． 理由：如图二，∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②这样的点P不存在． 理由：假设，如图，以点C为圆心为半径画圆，以为直径画圆， = ， ∴两个圆无公共点， ∴，这与矛盾， ∴假设不可能成立， ∴满足点P不存在． 26. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． （1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴； （2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； （3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； （4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，对称轴为直线 （2） （3） （4）能，或 【解析】 【分析】（1）令解方程即可得到结论，利用对称轴公式求得对称轴； （2）根据直线过，得到直线，解方程得到点的横坐标为4，求得，得到直线的函数表达式为； （3）过作轴交直线于，设，得到，求出，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （4）令，即，得到，设，①若是矩形的一条边，②若是矩形的对角线，列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：，， ，， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：直线过， ， 即， 直线， 抛物线与直线交于点，， ， 即， ， 点的横坐标为4， ， ， 直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：过作轴交直线于，设， 则，， ， ， ， 的面积的最大值为， 的面积的最大值为， ， 解得； 【小问4详解】 以点、、、为顶点的四边形能成为矩形， 令，即， 解得：，， ， 抛物线的对称轴为直线， 设， ①若是矩形的一条边， 则， ，则， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ； ②若是矩形的对角线， 则， ，则， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 综上所述，点、、、为顶点的四边形能成为矩形，点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图像和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 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