专题突破七 全等三角形的判定【培优题】（20道）2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步讲练

【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版 专题突破七 全等三角形的判定【培优题】（20道） 1．(25-26八上·辽宁盘锦辽河油田实验中学·)在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： 在中，，， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 2．(24-25七下·陕西汉中勉县·期末)如图，，，点是边上一点，连接，连接并延长交的延长线于点．点是边上一点，连接，使得． (1)试说明是的角平分线； (2)若的角平分线交于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义和性质，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． （1）先根据，结合，等量代换得到，可证明，得到，根据得，进而等量代换得，由此根据角平分线的定义即可得出结论； （2）根据是的角平分线， 设，则，根据得，则，再根据平分得到，然后根据即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线； （2）解：由（1）可知：是的角平分线， 设，则， ， ， ， 平分， ， ． 3．(24-25七下·山西太原迎泽区第三十七中学校·月考)在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)如图1，当在直线的同侧时，试说明：①；②； (2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)不成立； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据，．可得，再由，可得，从而得到，即可求证； ②根据，可得，，即可求证； （2）证明方法同（1）可得，即可求解． 【详解】（1）证明：①∵，．（已知） ∴（垂直的定义）． ∵（已知） ∴， 又∵( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴(同角的余角相等) 在和中， ∵，，， ∴； ②∵， ∴， ，(全等三角形，对应边相等) ∴ ；(等量代换) （2）解：（1）中的结论②不成立．； ∵，．（已知） ∴（垂直的定义）． ∵（已知） ∴， 又∵( 直角三角形的两个锐角互余 ) ∴ (同角的余角相等) 在和中 ∵，，， ∴， ∴， (全等三角形，对应边相等) ∴ (等量代换) 4．(20-21八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·月考)在中，，，直线经过点，，，垂足分别为． (1)如图（）， 求证：； (2)如图（） 将（）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)仍然成立，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，三角形内角和定理，垂直定义，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． （）根据，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，进而即可得到结论； （）由，则，得出，然后根据“”可证得，再利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 5．(24-25八上·吉林四平铁西区·期中)如图，和中，，，，边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧，I为的内角平分线交点． (1)求证：； (2)设，请用含x的式子表示，并求的最大值； (3)请猜测和的数量关系，并说明理由； (4)当时，请直接写出度数的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)，3； (3)，理由见解析； (4)． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． （1）三角形的性质得到，进而证明结论； （2）根据垂线段最短解答； （3）根据角平分线的定义得到，，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （4）根据三角形的外角性质得到，得到，根据（3）的结论解答即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，， ∴， 当时，最小， 在中，， ∴，即的最小值为，的最大值为：； （3）解：，理由如下： 为的内角平分线交点， ∴、分别平分，， ∴，， ∴ ； （4）解：，， ， ∵ ∴． 6．(24-25八上·陕西西安陕西师范大学附中·月考)如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理， （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证； （）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解； 【详解】（1）证明：， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 7．(24-25八上·重庆南川区·期末)如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）利用证明即可； （2）由可得，．根据可得，则可得，则．再证，即证． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵F为的中点， ∴， 又∵，， ∴． （2）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．(24-25八下·甘肃临夏回族永靖县·)如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 9．(25-26八上·山西太原志达中学校·)如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，需熟练掌握分类讨论的思想，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键． （1）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，即可证明； （2）作于点M，分别证明，，根据全等三角形的性质解得即可； （3）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：作于点D，如图， ∵是的平分线，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 作于点M，如图， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：点P在线段上时，此时，如图， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴， 即； 点P在线段的延长线上时，此时， 作于点M，如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， 即； 综上，或． 10．如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及角平分线的判定， （1）设交于点G，先证明，进而得出，即可证明结论； （2）作于P，于Q，由全等得出，即可证明结论； 【详解】（1）解：结论：，理由如下：         如图，设交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，                                 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，作于P，于Q， ∵， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， ∵于P，于Q， ∴平分． 11．如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E． (1)求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出； （2）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解； （3）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ，， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ． 12．如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题： (1)如图1，若，问，成立吗？说明理由． (2)如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质； （1）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证； （2）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证． 【详解】（1）解：成立，理由如下： ， ， ， ， ， （）， ，， ． （2）解：成立，理由如下： ， ， ， ， ． ， ， ， （）， ，， ． 13．在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论． （1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明； （2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （3）解题方法与（2）类似． 【详解】（1）证明①在中，， ， 于D ，于E， ， ， ， ， ； ② ， ，， ； （2）证明：由（1）①同理可证， ，， ； （3）解：，理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 14．(24-25七下·广东梅州兴宁宋声学校·月考)如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)试说明：． (3)若 ，其他条件不变，则（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)结论成立，结论不成立，见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 （1）根据求得，推出，根据全等三角形的性质即可得到； （2）利用全等三角形的性质，得出，再得出，进行证明即可； （3）结论成立，结论不成立，同法可证，得出，，根据，得出与不垂直，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）如图，设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）条件改为，则结论成立，结论不成立， 理由：同法可证， ∴，． ∵， ∴与不垂直， ∴结论成立，结论不成立， 15．(24-25七下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，推导出，因为，且，所以，而，即可根据证明，得，则． 【详解】（1）证明：，， ． 在与中 ． （2）由（1）得，， ，． ，， ． 在和中 ， ． ， ， ． 16．(24-25七下·四川成都龙泉驿区·期末)如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证： ； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由，利用，即可证明； （2）由，可得，继而求得； （3）首先作于M，于N，由，可得，即可证得平分 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， ； （3）证明：过点C作于M，于N， ， ，， 平分 17．如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长及的度数； (2)分别连接，若的周长为，求的长． 【答案】(1)的长是，的度数是 (2)的长是 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用线段垂直平分线的性质和数形结合的思想解答． （1）根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和可以解答本题； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长及（1）中的长可以解答本题． 【详解】（1）解：∵在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． ∴，，，， ∴，，， ∴，， 即的长是，的度数是； （2）解：如图， 由题意可得，，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ， ∴， ∴， 即的长是． 18．如图，在等腰中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图①，当直线在外部时，可得，请说明理由； (2)如图②，当直线经过内部且点在内部时，判断（1）中结论是否成立？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据垂线性质得到，证明，得到，进而得出结论； （2）通过证明，得到，结合，得到，从而得出（1）中结论不成立． 【详解】（1）解：于点，于点， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，理由如下： ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ． 则不成立． 19．(24-25七下·广东佛山南海区瀚文外国语学校·月考)如图，中，，，点为直线上一动点，连接，作且．（位于的上方） (1)在线段上时， 如图，过点作交于点，求证：，并写出和的数量关系； 如图，连接交于点，若，求证：点为中点； (2)连接与直线交于点，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析，；证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过全等三角形的对应边相等，可得结论； 过点作交于点，根据（）中结论可得，即可证明，可得，根据，推出，，即可解题； （）过作于点，根据全等三角形的性质得到，进行求解. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，且， ∴； 证明: 如图，过点作交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为的中点； （2）解：如图中，过作于点，，， 由（）（）知：，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形． （1）证明即可； （2）过点、分别作于点M，于点N，证明，得到，再结合条件可以证明，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示： 由三角形的外角定理可知：， 且，， ， 在和中，， ； （2）解：成立，理由如下： 过点、分别作于点M，于点N，如图2所示： ，， ， 又， 在和中， ． ， 又， ， ， 又，． ． 即若，则此命题成立． 2 / 30 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版 专题突破七 全等三角形的判定【培优题】（20道） 1．(25-26八上·辽宁盘锦辽河油田实验中学·期末)在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 2．(24-25七下·陕西汉中勉县·期末)如图，，，点是边上一点，连接，连接并延长交的延长线于点．点是边上一点，连接，使得． (1)试说明是的角平分线； (2)若的角平分线交于点，，求的度数． 3．(24-25七下·山西太原迎泽区第三十七中学校·月考)在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)如图1，当在直线的同侧时，试说明：①；②； (2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由． 4．(20-21八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·月考)在中，，，直线经过点，，，垂足分别为． (1)如图（）， 求证：； (2)如图（） 将（）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由． 5．(24-25八上·吉林四平铁西区·期中)如图，和中，，，，边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧，I为的内角平分线交点． (1)求证：； (2)设，请用含x的式子表示，并求的最大值； (3)请猜测和的数量关系，并说明理由； (4)当时，请直接写出度数的取值范围． 6．(24-25八上·陕西西安陕西师范大学附中·月考)如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 7．(24-25八上·重庆南川区·期末)如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 8．(24-25八下·甘肃临夏回族永靖县·)如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 9．(25-26八上·山西太原志达中学校·)如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 10．如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 11．如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E． (1)求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 12．如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题： (1)如图1，若，问，成立吗？说明理由． (2)如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由． 13．在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 14．(24-25七下·广东梅州兴宁宋声学校·月考)如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)试说明：． (3)若 ，其他条件不变，则（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 15．(24-25七下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： (1)； (2)． 16．(24-25七下·四川成都龙泉驿区·期末)如图，，，，，交于点H，连接 (1)求证： ； (2)求；用含的式子表示 (3)求证：平分 17．如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长及的度数； (2)分别连接，若的周长为，求的长． 18．如图，在等腰中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图①，当直线在外部时，可得，请说明理由； (2)如图②，当直线经过内部且点在内部时，判断（1）中结论是否成立？并说明理由． 19．(24-25七下·广东佛山南海区瀚文外国语学校·月考)如图，中，，，点为直线上一动点，连接，作且．（位于的上方） (1)在线段上时， 如图，过点作交于点，求证：，并写出和的数量关系； 如图，连接交于点，若，求证：点为中点； (2)连接与直线交于点，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 20．如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 2 / 30 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $