第二十一章 一元二次方程 冲刺学案（知识体系+考情分析+知识点精讲+解题方法技巧+真题精练） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

参考答案及解析 1． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 2． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 3． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 4． 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 5． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 6． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根． 故选：B 7． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故选：C． 8． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有实数根对应方程的判别式非负是解题的关键； 根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，代入方程系数计算判别式，解不等式即可确定m的取值范围． 【详解】解：对于方程，其判别式为：， 方程有实数根需满足，即：， 解得； 故选：D． 9． 【答案】D 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 10． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 11． 【答案】## 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当时，原方程无实数根， 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况； 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 12． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 13． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 14． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 15． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 16． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 17． 【答案】B 【分析】本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程有两个实数根得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：对于方程， 其根的判别式为：， ∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， 故选：B． 18． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 19． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 20． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 21． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 22． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 23． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 24． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 25． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 26． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程． 【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为， 由题意得： ， 故选：A． 27． 【答案】（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为 （2）最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； 【小问2详解】 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 28． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 29． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 30． 【答案】（1） （2），，，其中、、都是正整数，，证明见解析 （3）280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． 【小问2详解】 解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 31． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 32． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 33． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 一元二次方程 一、 一元二次方程知识体系 2 二、中考考情分析 3  高频考点​ 3  命题趋势 4  分值分析​ 5  考生备考建议​ 5 三、 知识点精讲​ 6 四、 解题方法技巧 10  一元二次方程解法选择技巧 10  根的判别式解题技巧 10  韦达定理应用技巧 11  实际应用建模技巧 11 五、 真题精练 13 参考答案及解析 21 中考考情分析 · 高频考点​ 一元二次方程的解法：★★★★★ 一元二次方程的解法是中考核心必考内容，涵盖直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种，其中因式分解法（适用于系数易分解的方程）和公式法（通用解法）考查频次最高，近 3 年全国中考覆盖率达 100%。 一元二次方程根的判别式：★★★★★ 根的判别式（Δ=b²-4ac）是区分方程实根情况的关键，近 3 年中考中，单独考查 “根据 Δ 判断根的情况”（选择/填空）和 “根据根的情况求参数取值范围”（解答题）的频次占比超 90%。高频考向包括：已知方程有两不等实根求参数范围（Δ>0 且二次项系数≠0）、证明方程恒有实根（Δ≥0 恒成立）、结合几何图形（如抛物线与直线交点）判断 Δ 的符号，2025 年部分地区还出现 “含参方程 Δ 与二次函数图像性质结合” 的新考法。 一元二次方程的实际应用：★★★★★ 实际应用是中考解答题的核心题型，近 3 年全国中考覆盖率达 95%，主要分为三大类：一是增长率/下降率问题（如经济数据增长、人口变化），模型为（a 为基数，x 为增长率/下降率，n 为周期）；二是营销利润问题（如售价调整与销量、利润的关系），需结合 “利润 =（售价 - 成本）× 销量” 列方程；三是几何面积问题（如矩形场地改造、图形拼接），需根据图形边长关系建立方程。此外，传播问题（如病毒传播、信息扩散）在 2024-2025 年部分地区中考中重新出现，需注意模型的应用。 一元二次方程的概念与一般形式：★★★★ 主要考查 “判断方程是否为一元二次方程”和 “确定一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）中的 a、b、c”，近 3 年多以选择题或填空题形式出现，占分 3-4 分，易错点为忽略“二次项系数≠0”的隐含条件（如含参方程需先排除 a=0 的情况）。 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：★★★★ 近 3 年中考中，韦达定理的考查集中在 “已知一根求另一根或参数”“求与根相关的代数式值”（如、）、“根据根的和与积构造新方程”，多与根的判别式结合考查（需先保证 Δ≥0），2025 年部分地区将其与二次函数顶点坐标综合，难度略有提升，占分 3-6 分。 · 命题趋势 0. 题型融合性增强 单一考查 “解方程” 的基础题占比下降，2024-2025 年中考中，“解法 + 判别式”“解法 + 实际应用”“判别式 + 韦达定理” 的融合题型占比超 60%。例如：先解方程求根，再结合根的情况验证参数；或先根据实际问题列方程，再用配方法求最值，体现 “知识串联” 的命题导向。 0. 实际应用背景贴近现实 应用题背景从传统的 “增长率、利润” 向 “环保（如污水治理成本）、科技（如芯片产量增长）、民生（如医保报销比例）” 拓展，2025 年某省中考出现 “新能源汽车销量增长与充电设施建设” 的结合题，要求学生从复杂背景中提取等量关系，建模能力要求提升。 0. 跨知识综合深化 一元二次方程与二次函数的综合考查成为压轴题重要方向，2024-2025 年近 80% 的发达地区中考压轴题涉及 “一元二次方程根与二次函数图像与 x 轴交点” 的关联（如已知方程根求抛物线解析式、根据抛物线与直线位置关系求方程 Δ），部分地区还融入几何图形（如三角形、圆），形成 “代数 + 几何” 的综合题，难度较高。 0. 开放性与探究性题目增加 2025 年部分地区中考出现 “条件开放” 题（如 “给出一个一元二次方程，使其有两个正根”）和 “探究性题”（如 “探究参数为何值时，方程既有整数根又有非整数根”），考查学生的逆向思维和创新能力，这类题目虽占分不高（3-4 分），但区分度明显。 · 分值分析​ 选择题、填空题（3-4 分/题）：主要考查 “一元二次方程概念”“根的判别式判断根的情况”“韦达定理基础应用”，近 3 年全国中考中，此类题目通常 1-2 道，累计占分 3-8 分。 解答题（8-12 分/题）：核心为 “解方程”（3-4 分，多为基础题）和 “实际应用”（6-8 分，中档题），部分地区在压轴题中涉及 “一元二次方程与二次函数综合”（附加 3-4 分），全章总分值稳定在 10-15 分，占中考数学总分的 8%-10%，2025 年部分教育发达地区（如江苏、浙江）分值提升至 12-16 分，凸显其核心地位。 · 考生备考建议​ 夯实基础，聚焦解法熟练度：优先掌握因式分解法和公式法（公式需牢记且注意符号），每周至少练习 10 道不同类型的解方程题，做到 “看到方程能快速判断最优解法”，避免因解法选择不当浪费时间。 突破判别式与韦达定理的综合：重点练习 “根据根的情况求参数范围”（需注意二次项系数≠0 的隐藏条件）和 “代数式变形”（如），总结常见变形公式，避免计算错误。 强化应用题建模能力：分类整理近 3 年中考应用题（增长率、利润、面积），每类题目总结 “审题关键”（如增长率问题找 “基数、周期、最终量”）和 “验根要点”（如时间、人数不能为负，边长为正），避免因忽略实际意义丢分。 针对性攻克综合题：基础薄弱学生优先掌握 “方程与判别式”“方程与简单应用” 的中档题；中等及以上学生需练习 “方程与二次函数” 的综合题，重点理解 “方程根与函数交点” 的对应关系，总结 “代数法（解方程）” 与 “几何法（图像分析）” 的结合技巧。 重视错题复盘：建立 “一元二次方程错题本”，按 “概念错误（如忽略 a≠0）、计算错误（如公式法符号错）、建模错误（如应用题等量关系错）” 分类，定期复盘，避免重复犯错。 1. 知识点精讲​ 0. 一元二次方程的定义与一般形式 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为 2 的整式方程，需同时满足三个条件：①整式方程（分母不含未知数，根号不含未知数）；②只含一个未知数；③未知数最高次数为 2。 一般形式：，其中为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 注意：将方程化为一般形式时需注意符号，如需整理为，此时b=-3，c=1，且必须强调（若a=0，方程退化为一元一次方程）。 0. 一元二次方程的解法 直接开平方法：适用于形如的方程，解法为： ①当n>0时，，即（两不等实根）； ②当n=0时，x+m=0，即（两相等实根）； ③当n<0时，方程无实根。 示例：解方程，则，解得，。配方法：通用解法，步骤为： ①移项：将常数项移到方程右边（如）； ②化二次项系数为 1（若系数不为 1，方程两边同除以二次项系数，如）； ③配方：两边加 “一次项系数一半的平方”（如，即）； ④开方求解（同直接开平方法）。 公式法：通用解法，步骤为： ①将方程化为一般形式，确定a、b、c的值； ②计算判别式； ③若，代入求根公式求解；若，方程无实根。 示例：解方程，a=2，b=-3，c=-2，，则，解得，。 因式分解法：适用于 “方程左边可分解为两个一次因式乘积，右边为 0” 的情况，步骤为： ①移项：使方程右边为 0（如）； ②分解左边：化为(x-m)(x-n)=0的形式（如(x-2)(x-3)=0）； ③令每个因式为 0，得x-m=0或x-n=0，求解得根。 常用分解方法：提公因式法（如）、十字相乘法（如）。 0. 根的判别式 定义：对于一元二次方程，称为根的判别式，用于判断方程实根的情况。 性质： ①→方程有两个不相等的实数根； ②→方程有两个相等的实数根（记为x_1=x_2=-\frac{b}{2a}）； ③→方程没有实数根。 常见应用： ①已知方程根的情况求参数范围（如“方程有两个不等实根，求 k 的范围”，需满足且，即k<1且）； ②证明方程恒有实根（如 “证明无论 m 为何值，方程恒有实根”，需证）。 0. 根与系数的关系（韦达定理） 核心结论：若一元二次方程的两个根为，则：。 常见应用： ①已知一根求另一根（如 “方程的一根为 2，求另一根”，由，得另一根为 3）； ②求与根相关的代数式值（如 “已知是的根，求”，变形为； ③构造新方程（如 “已知两数和为 5，积为 6，求这两个数”，构造方程，解得 2 和 3）。 0. 一元二次方程的实际应用 增长率/下降率问题：模型为（a为基数，x为增长率/下降率，n为周期，b为最终量）。 示例：“某厂 2023 年利润 100 万元，2025 年利润 121 万元，求年平均增长率”，设增长率为x，则，解得（舍去负根）。营销利润问题：核心公式 “利润 =（单价 - 成本）× 销售量”，销售量常与单价成线性关系（如 “单价每涨 1 元，销量减 5 件”）。 示例：“商品成本 20 元，原售价 30 元，销量 400 件，单价每涨 1 元，销量减 20 件，求利润 4320 元时单价”，设涨x元，方程为，解得x=2或 8，对应单价 32 元或 38 元。 几何面积问题：根据图形边长关系列方程，常见图形为矩形、三角形。 示例：“矩形花坛长 10m、宽 8m，四周修等宽石子路，总面积 144m²，求路宽”，设宽为x，方程为，解得（舍去负根）。 1. 解题方法技巧 · 一元二次方程解法选择技巧 1． 优先因式分解法：若方程二次项系数、一次项系数、常数项可通过十字相乘法或提公因式分解，优先用因式分解法，速度最快。 示例：可分解为(x-2)(x-3)=0，直接得根，无需复杂计算。 2． 直接开平方法适用场景：方程含 “平方项 + 常数项” 且无一次项，或可整理为形式，如→，注意不要漏负根。 3． 配方法优先场景：二次项系数为 1 且一次项系数为偶数，或需通过配方求代数式最值（如二次函数顶点），配方时牢记 “加一次项系数一半的平方，两边平衡”，如。 4． 公式法兜底：无法因式分解、配方较复杂的方程（如系数为小数、分数），用公式法，步骤固定：先化一般形式定a、b、c，再算 Δ，最后代入公式，注意符号（如先化为，避免a为负导致符号错误）。 · 根的判别式解题技巧 参数范围求解 “两步走”： ①先确定方程类型：若为一元二次方程，必须满足 “二次项系数≠0”； ②再根据根的情况列 Δ 条件：有两不等实根→Δ>0，有两相等实根→Δ=0，有实根→Δ≥0，无实根→Δ<0。 示例：“方程有实根，求 k 范围”，需分 “一元二次方程（且 Δ≥0）” 和 “一元一次方程（k=2，方程为3x-1=0有实根）”，最终得或k=2。 几何问题转化技巧：抛物线与直线交点个数对应方程根的情况，如 “抛物线与 x 轴有两个交点”→方程Δ>0，“抛物线与直线相切”→联立方程 Δ=0。 · 韦达定理应用技巧 代数式变形 “先变后代”：遇到、、等与根相关的代数式，先变形为含和的形式，再代入韦达定理结果，避免直接求根计算复杂。 常见变形公式：；；。 已知一根求参数 “快速代换”：若已知方程一根，可直接代入方程求参数，再用韦达定理求另一根，比解方程组更高效。 示例：“方程一根为 2，求 m 和另一根”，代入 2 得4-6+m=0→m=2，再由得另一根为 1。 · 实际应用建模技巧 增长率/下降率问题 “三找”：找基数a（初始量）、找周期n（增长/下降次数）、找最终量b，直接代入模型，解后验根（增长率/下降率为正数，且小于 1，避免不符合实际的 “暴增/暴降”）。 营销利润问题 “设增量”：设单价涨（降）x元，而非直接设单价为x元，可简化销量表达式。 示例：“原售价 30 元，销量 400 件，单价涨 1 元销量减 20 件”，设涨x元，单价为30+x，销量为400-20x，利润方程更易列写。 几何面积问题 “画图标注”：通过示意图明确图形边长关系，如 “矩形四周修宽x的路”，修后路的长为 “原长 + 2x”、宽为 “原宽 + 2x”（路在四周，两边各加x），避免漏加或错加x的倍数。 1. 真题精练 1． 【2025年上海】解方程：． 2． 【2025年黑龙江省齐齐哈尔市】解方程： 3． 【2025年四川省达州市】已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 4． 【2025年北京】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 5． 【2025年上海】已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 6． 【2025年四川省广安市】关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 7． 【2025年四川省德阳市】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 8． 【2025年四川省遂宁市】已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9． 【2025年安徽】下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 10． 【2025年山东】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 11． 【2025年山东省东营市】若关于的方程无实根，则的取值范围是______． 12． 【2025年广东】广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 13． 【2025年广东】不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____． 14． 【2025年新疆】若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15． 【2025年江苏扬州市】关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 16． 【2025年河南】一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 17． 【2025年甘肃省平凉市】关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 18． 【2025年黑龙江省绥化市】已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 19． 【2025年四川省广安市】已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 20． 【2025年四川省泸州市】若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 21． 【2025年四川省眉山市】已知方程的两根分别为，，则的值为________． 22． 【2025年广西】 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 23． 【2025年江苏省苏州市】已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 24． 【2025年湖北】一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 25． 【2025年河北】若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 26． 【2025年云南】某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A B. C. D. 27． 【2025年四川省泸州市】某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 28． ·【2025年山东省威海市】把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 29． 【2025年山东省威海市】如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 30． 【2025年广东】《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全上表中的勾股数． （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 31． 【2025年福建】为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 32． 【2025年新疆】对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______． 33． 【2025年重庆】某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $