专题10 角的平分线【考点梳理+重点题型+中考真题】 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

本讲义聚焦角的平分线这一初中几何核心知识点，系统梳理性质定理与判定定理的内在联系，构建从定义到作图、从基础应用到综合探究的学习支架，前后衔接自然，层层递进。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大核心素养。如例题1通过面积转化引导学生抽象出点到边的距离关系，展现几何直观；变式5-2中利用角平分线性质与全等三角形结合证明线段相等，强化逻辑推理能力；题型07实际应用题将“到三边距离相等”转化为内心位置判断，体现数学建模意识。课中可辅助教师精准突破难点，课后便于学生查漏补缺，巩固提升。

专题10 角的平分线 （重难点题型专训） 【知识考点 角的平分线】 【解题知识必备】 【知识考点1】角的平分线的性质 1.性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 2.数学语言：为的角平分线（如图1），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 图1 【知识考点2】角的平分线的判定 1.判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上． 应用角的平分线的判定所具备的条件 (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 2.数学语言：（如图2），点在内部，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 图2 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 如图 【知识考点3】尺规作图--作已知角的平分线 已知：∠AOB， 求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： 作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 拓展：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫作三角形的内心 . 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 利用角平分线的性质求值（长度、角度、周长、面积） 【题型02】 利用角平分线的性质证明 【题型03】 与角平分线的判定有关的求值问题 【题型04】 与角平分线的判定有关的证明问题 【题型05】 角平分线的性质与判定的综合 【题型06】 角平分线性质中的最值问题 【题型07】 角平分线的实际应用 【题型08】 尺规作图中的角平分线 【题型01】 利用角平分线的性质求值（长度、角度、周长、面积） 【例1】（2024-2025八年级上·广东广州·期末）如图，在中，和的外角平分线交于点于点．若的面积为10，的面积为7，，则的周长为（ ） A．8 B．10 C．11 D．12 【变式1-1】（2024-2025八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 【变式1-2】（2024-2025七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 【变式1-3】（2024-2025七年级下·重庆·期中）如图，在中，，且，，为的角平分线，交于点E，交于点F，若的面积为7，则图中阴影部分四边形的面积为 ． 【题型02】 利用角平分线的性质证明 【例2】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的平分线，C是上一点，，，垂足分别为D，E，点F是上的另一点，连接．求证：． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·湖南株洲·期中）如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（   ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2-2】（2024-2025八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 【变式2-3】（2024-2025七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． （1）与全等吗？请说明理由； （2）若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 【题型03】 与角平分线的判定有关的求值问题 【例3】（2024-2025八年级·山西太原·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接，于点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024-2025八年级·江西九江·期中）如图，，，若，，，则（   ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【变式3-2】（2024-2025八年级上·宁夏固原·期中）如图，已知于A，于B，且，则 ． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·湖南湘西·期中）如图，于点E，于点F，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【题型04】 与角平分线的判定有关的证明问题 【例4】（2023-2024八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证： （1）点在的平分线上； （2）． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·河北保定·期末）如图，M，N分别是边，上的点，点P在射线上，下列条件不能说明平分的是（   ） A．，， B．， C．， D．，， 【变式4-2】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，以它的边为直角边，分别在形外作等腰直角三角形，连接．下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．平分 D． 【变式4-3】（2024-2025八年级·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【题型05】 角平分线的性质与判定的综合 【例5】（2024-2025八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式5-2】（2024-2025八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 【变式5-3】（2024-2025八年级·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【题型06】 角平分线性质中的最值问题 【例6】（2024-2025八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点． （1）若，，则的度数为 ； （2）若，，则的最小值为 ． 【变式6-1】（2022-2023八年级上·陕西西安·期末）在中，已知，边上的高，两个内角的角平分线相交于点，过作于点，则的最大值是 ． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·天津·期末）如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为 【变式6-3】（2024-2025八年级上·广东中山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求点，坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【题型07】 角平分线的实际应用 【例7】（2022-2023八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·广东中山·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 【变式7-2】（2023-2024八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方 有 处． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 【题型08】 尺规作图中的角平分线 【例8】（2024-2025八年级上·广东广州·期中）已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 【变式8-1】（2024-2025八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【变式8-2】（2024-2025八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 【变式8-3】（2024-2025八年级上·福建福州·期末）如图，平分，在的两边上分别取点C，D，连接 (1)在射线上求作一点M，使得点M到的距离相等要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明； (2)在（1）的条件下，若，且与的面积分别是6和5，求线段的长度． 【特训09】直通中考真题 1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 6．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 7．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 8．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 9．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则 度． 10．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 角的平分线 （重难点题型专训） 【知识考点 角的平分线】 【解题知识必备】 【知识考点1】角的平分线的性质 1.性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 2.数学语言：为的角平分线（如图1），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 图1 【知识考点2】角的平分线的判定 1.判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上． 应用角的平分线的判定所具备的条件 (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 2.数学语言：（如图2），点在内部，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 图2 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 如图 【知识考点3】尺规作图--作已知角的平分线 已知：∠AOB， 求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： 作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 拓展：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫作三角形的内心 . 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 利用角平分线的性质求值（长度、角度、周长、面积） 【题型02】 利用角平分线的性质证明 【题型03】 与角平分线的判定有关的求值问题 【题型04】 与角平分线的判定有关的证明问题 【题型05】 角平分线的性质与判定的综合 【题型06】 角平分线性质中的最值问题 【题型07】 角平分线的实际应用 【题型08】 尺规作图中的角平分线 【题型01】 利用角平分线的性质求值（长度、角度、周长、面积） 【例1】（2024-2025八年级上·广东广州·期末）如图，在中，和的外角平分线交于点于点．若的面积为10，的面积为7，，则的周长为（ ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．连接，过点作于点，于点，由角平分线的性质，得到，进而得出，再根据，求出，即可求出的周长． 【解答】解：如图，连接，过点作于点，于点， 和的外角平分线交于点，且， ， 的面积为7， ， ， 的面积为10， ， ， ， ，即的周长为12， 故选：D． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 【答案】/1厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 【解答】解：分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 【变式1-2】（2024-2025七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，进而可得的度数，再求出的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质． 【解答】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， 的外角的平分线与内角平分线交于点， ，， ， 是的平分线， ∵， ∴， ∴， 平分，平分， ，， ，， ， ； 故答案为：． 【变式1-3】（2024-2025七年级下·重庆·期中）如图，在中，，且，，为的角平分线，交于点E，交于点F，若的面积为7，则图中阴影部分四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，设，则有，，过点E作于点G，即可得到，然后根据可得，然后可得，则，根据，得到；同理可得，可证明，则，即可得到． 【解答】解：设，则， ∴， ∵， ∴， 过点E作于点G，过点F分别作的垂线，垂足分别为M、N， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型02】 利用角平分线的性质证明 【例2】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的平分线，C是上一点，，，垂足分别为D，E，点F是上的另一点，连接．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由角平分线的性质得结合外角性质得，因为，证明，即可作答． 【解答】解：∵是的平分线，，， ∴ ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·湖南株洲·期中）如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（   ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】过E作于F，易证得，得到；而点E是BC的中点，得到，则可证得，得到，也可得到，，即可判断出正确的结论． 【解答】解：过E作于F，如图， ∵，平分， ∴，， ∴，， ∴； 而点E是的中点， ∴，所以①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，所以④正确；∴，所以③正确， ∴， ∴，所以②正确． 综上：②③④正确． 故选C． 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．根据角平分线的性质得出，，根据线段的和差关系即可得结论． 【解答】解：∵点、分别是、平分线上的点，，，， ∴，， ∴． 【变式2-3】（2024-2025七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． （1）与全等吗？请说明理由； （2）若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 【答案】（1）全等，见分析；（2）①见分析；②4 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意及全等三角形的判定证明即可； （2）①根据全等三角形的性质得出，，结合题意及全等三角形的判定即可得出结果；②根据全等三角形的性质及角平分线的性质即可求解． 【解答】解：（1）解：全等； 理由：因为， 所以. 因为为的中点， 所以. 在与中， 因为，，， 所以； （2）①由（1）知， 所以， 因为， 所以， 即. 在与中， 因为，，， 所以； 所以， 所以； ②由①知道， 所以， 所以平分， 所以点到的距离等于点到的距离. 因为，， 所以，即，且， 所以点到的距离为4． 【题型03】 与角平分线的判定有关的求值问题 【例3】（2024-2025八年级·山西太原·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接，于点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到平分角，得到，即可得到答案． 【解答】解：，， ， ，， 平分角， ， 故选：B． 【变式3-1】（2024-2025八年级·江西九江·期中）如图，，，若，，，则（   ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【解答】解：， 平分， ． 故选：B． 【变式3-2】（2024-2025八年级上·宁夏固原·期中）如图，已知于A，于B，且，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形外角的性质，证明点P在的平分线上是本题的关键．由，，，可证点P在的平分线上，可得，由三角形外角性质可求解． 【解答】解：，，， ∴点P在的平分线上， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·湖南湘西·期中）如图，于点E，于点F，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，以及全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据“”证明即可； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线定义得出平分，即可得出答案． 【解答】解：（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． 【题型04】 与角平分线的判定有关的证明问题 【例4】（2023-2024八年级上·广东汕头·期中）已知，于点，于点，交点，，．求证： （1）点在的平分线上； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，证明，根据性质可得，然后通过角平分线的判定方法即可求证； （）由（）可知，得，又，然后通过线段和差即可求证． 【解答】解：（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上； （2）证明：由（）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·河北保定·期末）如图，M，N分别是边，上的点，点P在射线上，下列条件不能说明平分的是（   ） A．，， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据角平分线的判定可以直接判定平分，判断A不符合题意；根据三角形全等的判定和性质可以直接判断B、D不符合题意，C选项无法判断平分． 【解答】解：A．根据，，，利用角平分线的判定可知平分，故A不符合题意； B．∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故B不符合题意； C．，，不能判定平分，故C符合题意； D．∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故D不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，以它的边为直角边，分别在形外作等腰直角三角形，连接．下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 利用证明则，即可判断A；由于，则，而，故，即可判断B；过点A作于点，过点A作于点，由于，则，而，故，根据角平分线的判定即可判断C；对于D，条件不足，不能证明． 【解答】解：由题意得， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 如图：过点A作于点，过点A作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故C正确，不符合题意； ∵现有条件不足以证明，故D错误，符合题意， 故选：D． 【变式4-3】（2024-2025八年级·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【解答】（1）证明：， ， 又，， ． （2）证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 【题型05】 角平分线的性质与判定的综合 【例5】（2024-2025八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； （）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【解答】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证； （）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】（2024-2025八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【解答】（1）解：∵， ， ， ， ， ，即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 【变式5-3】（2024-2025八年级·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【解答】（1）解：， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作于点，作于点，   平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． （3）解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 【题型06】 角平分线性质中的最值问题 【例6】（2024-2025八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点． （1）若，，则的度数为 ； （2）若，，则的最小值为 ． 【答案】 /度 3 【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形外角的性质即可求解； （2）如图，过点作于点，交于点，则，可证，得到，，即点与点关于对称，过点作于点，交于点，由轴对称的性质可知，点即为使最小的点，，过点作于点，由三角形面积得到，又因为是等腰三角形，得到，即的最小值是3，由此即可求解． 【解答】解：（1）∵平分，， ∴， ∵，， ∴． （2）如图，过点作于点，交于点，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，即点与点关于对称，过点作于点，交于点，由轴对称的性质可知，点即为使最小的点，，过点作于点， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴，即的最小值是3； 故答案为：①；②． 【点评】本题主要考查角平分线的定义及性质定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称求最短路径的计算等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 【变式6-1】（2022-2023八年级上·陕西西安·期末）在中，已知，边上的高，两个内角的角平分线相交于点，过作于点，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】首先要根据条件画出草图，如图所示，根据条件可知：点为角平分线的交点，则为到各边的距离，根据角平分线的性质：到三角形三条边的距离相等．可得，，的高都是，则，最后根据三角形三边关系即可得出． 【解答】 解：如图：点为两个内角的角平分线的交点， 为点到三边的距离 设 则 代入数据得： 的最大值为 故答案为 【点评】本题考查了三角形角平分线的性质、三角形三边关系、等积法求线段长度等，三角形角平分线的性质的熟练运用是解决本题的关键． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·天津·期末）如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为 【答案】2 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质；由作法得是的平分线，由垂线段最短得时，的值最小，由角平分线的性质即可求解；掌握垂线段最短，角平分线的性质是解题的关键． 【解答】解：由作法得：是的平分线， 当时，的值最小， ， ， 的最小值为， 故答案：． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·广东中山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求点，坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)， (2)或 (3)①见解析；②的大小不变，为定值 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得点，坐标； （2）分两种情况，①点C在第一象限时，②点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F，证，得，，即可解决问题； （3）①延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论； ②过点C作于点M，于点N，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：解：分两种情况： ①如图1，点C在第一象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， ∴，，， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； ②如图1-1，点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， 同①得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：①证明：如图2，延长、，相交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点C作于点M，于点N， 则， ∵， ∴， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， 即的大小不变，为定值． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型07】 角平分线的实际应用 【例7】（2022-2023八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置． 【答案】见解析 【分析】作的角平分线，与的交点到的两边，的距离相等． 【解答】如图所示：作的平分线交于点，点即为该超市的位置． 【点评】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·广东中山·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【解答】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选：A 【变式7-2】（2023-2024八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方 有 处． 【答案】4 【分析】此题主要考查角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线和外角平分线的交点，作图可知． 【解答】解：如图 故答案为：4． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 【答案】[初步思考]见解析；[变式判断]正确，见解析；[拓展探究]5或7 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． [初步思考]根据证明即可； [变式判断] 过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； [拓展探究] 当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【解答】[初步思考]，解：在和中 ， ， 即平分； [变式判断]，解：张明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴, ∵，， ∴平分， ∴张明的观点正确； [拓展探究]解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为5或7． 【题型08】 尺规作图中的角平分线 【例8】（2024-2025八年级上·广东广州·期中）已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，平行线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法和平行线的判定定理． （1）利用角平分线的作法进行操作即可； （2）利用等腰三角形的性质得出两底角相等，利用三角形的外角定理得出，利用角平分线的性质得出，即可判定出两直线平行． 【解答】（1）解：如图所示，射线即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴ ∴， ∴ ∴． 【变式8-1】（2024-2025八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【解答】解：作交于点，    由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式8-2】（2024-2025八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，据此可证，得到，即得，再证明，得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解答】解：延长交的延长线于点， 由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（2024-2025八年级上·福建福州·期末）如图，平分，在的两边上分别取点C，D，连接 (1)在射线上求作一点M，使得点M到的距离相等要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明； (2)在（1）的条件下，若，且与的面积分别是6和5，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的面积、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． （1）结合角平分线的性质，作的平分线，交射线OP于点M，则点M为所求． （2）连接DM，过点M作于点E，于点F，于点H，由角平分线的性质可得，由，可得再由，可得 【解答】（1）解：如图，作的平分线，交射线OP于点M， 则点M为所求． （2）解：连接DM，过点M作于点E，于点F，于点H， 平分，点M在OP上， 平分， ， ， ， ， 【特训09】直通中考真题 1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【解答】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【解答】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 3．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【解答】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 4．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【解答】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 5．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【解答】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 6．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【解答】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 7．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 8．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【解答】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则 度． 【答案】15 【分析】根据，，判断OB是的角平分线，即可求解． 【解答】解：由题意，，，， 即点O到BC、AB的距离相等， ∴ OB是的角平分线， ∵ ， ∴． 故答案为：15． 【点评】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键． 10．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见分析 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 【解答】解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求 学科网（北京）股份有限公司 $