第3章 圆的基本性质 单元测试-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第3章 圆的基本性质 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列图形中既是能利用轴对称，又能利用旋转得到的图形是（   ） A．B． C． D． 2．已知的半径为3，若，则点P与的位置关系是（ ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 3．如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（ ） A． B． C． D． 4．如图，点在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 6．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为（   ） A．1.6 B．1.8 C．2 D．2 7．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，、皆为半圆，与相交于E点，其中A、B、C、D在同一直线上，且B为的中点．若，则的度数为（   ）度 A．58 B．60 C．62 D．64 9．如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 10．如图，四边形内接于，，点，，分别是，，的中点，若的半径为2，则的最大值是（　　） A． B． C． D．4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积 ． 12．在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标是 ． 13．如图，的半径为10，圆心O到弦的距离为6，则的长为 ． 14．平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为 ． 15．如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为 ． 16．如图，半径为1，垂直于直径，E为弧上一点，直线与直线交于点C，过C作垂线，交延长线于点A，若长为，则 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 18．已知： (1)若将绕点按逆时针方向旋转后得到，画出； (2)写出点对应点的坐标． 19．已知． (1)求作经过的三个顶点的圆； (2)当时，的外接圆的直径． 20．如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接、，求证：． 21．如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 22．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 23．如图，在半径为5的中，是的直径，点B，D是直径右侧半圆弧上的两点（点B，D不与点A，Q重合）．连接，延长交于点L，． (1)当时，求的长； (2)当时，求的周长； (3)设，求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围． 24．【背景资料】在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数） 当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为①______三角形，故，又，故，由②______可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有③______； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （）如图，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （）如图，中，，，为上的点，且，判断之间的数量关系为______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （）如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接， 求证：点是的费马点． （）如图，在中，，，，点为的费马点，连接，则的值为______． 【学以致用】如图所示是一个三角形公园，其中顶点为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列图形中既是能利用轴对称，又能利用旋转得到的图形是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形与旋转对称图形的识别，掌握这两个概念是解题的关键；根据轴对称图形与旋转对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、只能利用轴对称得到图形，不能利用旋转得到图形，故不符合题意； B、不能利用轴对称得到图形，只能利用旋转得到图形，故不符合题意； C、不能利用轴对称得到图形，能利用旋转得到图形，故不符合题意； D、能利用轴对称得到图形，又能利用旋转得到图形，故符合题意； 故选：D． 2．已知的半径为3，若，则点P与的位置关系是（ ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查判断点与圆的位置关系，已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在内，②当时，点P在上，③当时，点P在外，根据以上内容判断即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为3，，且， ∴点P与的位置关系是点P在内， 故选：A． 3．如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：， 因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转能与自身重合． 故选：D． 4．如图，点在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 5．下列说法正确的是（   ） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识∶熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧、等圆、等弧等)是解决问题的关键，也考查了轴对称图形，根据直径、弦的定义对A选项和B选项进行判断∶根据对称轴图形的定义对C选项进行判断；根据等弧的定义对D选项进行判断． 【详解】解∶A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意； B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意； C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意； D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意； 故选∶C 6．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为（   ） A．1.6 B．1.8 C．2 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由图形旋转得到结合已知条件判断出是等边三角形是解决本题的关键． 根据三角形旋转可知，再由，可得是等边三角形，即可得的边长，再由的边长求解即可． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转度得到， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：A ． 7．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 8．如图，、皆为半圆，与相交于E点，其中A、B、C、D在同一直线上，且B为的中点．若，则的度数为（   ）度 A．58 B．60 C．62 D．64 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的相关知识，涉及直径所对的圆周角为直角、圆周角定理和三角形内角和定理，连接，可得，利用直径所对的圆周角为直角和三角形内角和定理即可求得，再结合圆周角定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵，B为的中点， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：D 9．如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆面积的计算，正方形的性质，勾股定理，正确识别图形是解题的关键． 延长交于，先根据勾股定理算出，根据圆和正方形的面积公式进行列式计算，即可得到结论． 【详解】解：延长交于，连接，过点O作于H． ∵边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合， ∴ 在中， ， ∵， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积 故选：A． 10．如图，四边形内接于，，点，，分别是，，的中点，若的半径为2，则的最大值是（　　） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，中位线定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，，，，过点作于，则，进而得，根据，得，则，进而得，则，再根据三角形的中位线定理得，，则，由此得当为的直径时，为最大，最大值为4，据此可得的最大值． 【详解】解析：连接，，，， 四边形内接于， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ，， ， ， 点，分别是，的中点， ，同理， ， 当最大时，为最大， 为的弦， 当为的直径时，为最大， 当时，为最大，最大值为． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，掌握扇形面积公式是解决问题的关键．利用扇形面积求解即可． 【详解】解：，， ． 故答案为． 12．在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，通过把线段旋转的问题转化为直角三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴于，过作轴于， ∵点， ∴，, ∵把 绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为： 13．如图，的半径为10，圆心O到弦的距离为6，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，作于点，利用垂径定理及勾股定理即可求解． 本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】连接，作于点， ∵，， ∴， 在中，， 则， 故答案为：16． 14．平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点M在圆内或圆外进行讨论． 【详解】解：当点M在圆内时，的直径长为，半径为； 当点M在圆外时，的直径长为，半径为； 即的半径长为或， 故答案为：或． 15．如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理． 由圆周角定理，结合已知可得，根据直径所对圆周角为直角，直角三角形的两个锐角互余，可得，由圆内接四边形的性质，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，半径为1，垂直于直径，E为弧上一点，直线与直线交于点C，过C作垂线，交延长线于点A，若长为，则 ． 【答案】 【分析】由题易证点A、D、E、C四点共圆，则，进而可得为等腰直角三角形，所以 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴点A、D、E、C四点共圆， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、等腰直角三角形的判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键. 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可． 【详解】证明：过作，垂足为E， ，， ， ． 18．已知： (1)若将绕点按逆时针方向旋转后得到，画出； (2)写出点对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转变换的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据点的位置直接写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：由图知：． 19．已知． (1)求作经过的三个顶点的圆； (2)当时，的外接圆的直径． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，30度角的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别作出的垂直平分线，它们的交点为圆心，进行作答即可． （2）运用圆周角定理，得，30度角所对的直角边是斜边的一半，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图，圆为所作的外接圆 （2）解：如图，连结并延长，交圆于点，连结． ∵是直径 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴的外接圆直径为12． 20．如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接、，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】本题主要利用等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理以及平行四边形的定义来证明两个结论； （1）根据等腰三角形的性质推出，再根据平行线的性质推出，可得到，再根据平行四边形的判定条件证明即可； （2）连接，根据已知条件得出，再根据圆内接四边形的性质和平行线的性质得到，即可得证． 【详解】（1）， ， ， ， 由题意得：， ， ， 又， 四边形是平行四边形， （2）连接， ，， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ． 21．如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 22．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)的半径为 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形性质和判定，掌握定理是解决问题的关键． （1）连接，先证明，可推出，根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）连接，设，得出，表示出，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出列方程即可求出r的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于E，于F， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：如图，连接，设，则， ∴， ∴， 于E，， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍）． 即的半径为． 23．如图，在半径为5的中，是的直径，点B，D是直径右侧半圆弧上的两点（点B，D不与点A，Q重合）．连接，延长交于点L，． (1)当时，求的长； (2)当时，求的周长； (3)设，求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握圆的相关概念及应用是本题的解题关键． （1）当时，由垂径定理求出，即可求出； （2）当时，连接，交于E，作于F，根据等面积求出，再求出，根据勾股定理求出，即可求出的周长； （3）作于M，由同高的面积之比等于底之比得，，利用勾股定理表示出相关线段即可解答． 【详解】（1）解：如图，当时， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴； （2）解：如图，当时，连接，交于E，作于F， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 由等面积得，即， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴的周长为； （3）解：如图，作于M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C为交点， ∴点D在上（不与A重合）， ∴， ∴． 24．【背景资料】在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数） 当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为①______三角形，故，又，故，由②______可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有③______； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （）如图，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （）如图，中，，，为上的点，且，判断之间的数量关系为______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （）如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接， 求证：点是的费马点． （）如图，在中，，，，点为的费马点，连接，则的值为______． 【学以致用】如图所示是一个三角形公园，其中顶点为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是______． 【答案】背景资料：等边；两点之间，线段最短；；知识生成：（）；（）；问题解决：（）证明见解析；（）；学以致用： 【分析】背景资料：根据等边三角形的判定、两点之间线段最短及周角的定义解答即可； 知识生成：（）由旋转可得，进而得到，，，，即可得为等边三角形，得到，，进而由勾股的逆定理得为直角三角形，得到，即得到，即可求解； （）由等腰直角三角形的性质得，将逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，即得，即得到，进而由得到，再根据勾股定理即可求证； 问题解决：（）在上取一点，使得，连接，可证为等边三角形，得到，，再证明，得到，进而得到，即可求证； （）由直角三角形的性质得，由勾股定理得，将绕点B顺时针旋转得到，连接，由点为的费马点，，利用勾股定理求出即可求解； 学以致用：连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于，由旋转的性质可得，，，，，即得和均为等边三角形，得到，，，进而得到，又由是等腰直角三角形，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：背景资料：当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为等边三角形，故，又，故，由两点之间，线段最短可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”， 则，， ∴， ∴， 故答案为：等边；两点之间，线段最短；； 知识生成：（1）由旋转可得，， ∴，，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）在中，∵，， ∴， 如图，将逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 问题解决：（）证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的费马点； （）在中，∵，，， ∴， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，，，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵点为的费马点， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的值是， 故答案为：； 学以致用：如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于， 由旋转的性质可得，，，，， ∴和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $