5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第一课时） 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用

5.3.2·函数的极值与最大（小）值（第一课时）

学习指导

课标要求	核心素养	重难分析
1、理解函数极值的概念，掌握函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2、能利用导数求函数的极值，会判断函数极值点的类型 3、体会导数在研究函数极值中的作用	通过学习函数的极值，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用导数求函数极值，提升数学运算、直观想象素养	重点	函数极值的概念
			函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
		难点	利用导数求函数极值的步骤
			准确判断导数在极值点两侧的符号

新知导入

在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减．如果函数在某些点处的导数为 0 ，那么在这些点处函数有什么性质呢？

观察下图中左图，我们发现，当 时，跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数 在此点处的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？

知识清单

知识点一 函数的极值

1.函数极值的概念：一般地，设函数在点的函数值比它在点附近其他

点的函数值都小，_____________，且在点附近的左侧，右侧_____________.类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.

则a叫做函数的_____________，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的_____________.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

2.求函数的极值的方法：解方程，当时：

（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极______值；

（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极______值.

例题讲解

例1  求函数 的极值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

思考1：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

导数值为 0 的点不一定是函数的极值点．例如，对于函数 ，我们有 ．虽然 ，但由于无论 ，还是 ，恒有 ，即函数 是增函数，所以 0 不是函数 的极值点．一般地，函数 在一点处的导数值为 0 是函数 在这点取极值的必要条件，而非充分条件．

 

小结：

一般地，可按如下方法求函数 的极值：

解方程 ，当 时：
（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极大值；
（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极小值．

思考2：在一个函数中，极大值一定大于极小值吗？

由概念可知，函数的极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质； 如图，函数 y = f (x) 的极小值 f (a) 大于极大值  f (d )；极大值 f (b) 大于极小值 f (c)；即函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系.

例2 给定函数 ．

（1）判断函数 的单调性，并求出 的极值；

（2）画出函数 的大致图象；

（3）求出方程 的解的个数．

 

小结

画函数 的大致图象的如下步骤：

（1）求出函数 的定义域；
（2）求导数 及函数 的零点；
（3）用 的零点将 的定义域划分为若干个区间，列表给出 在各区间上的正负，并得出 的单调性与极值；
（4）确定 的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出 的大致图象．