4.5.2用二分法求方程的近似解课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“二分法”，系统呈现其定义、步骤及近似解求法。课堂导入先温故函数零点定义与存在性定理，通过方程lnx + 2x - 6 = 0无法代数求解的问题，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是以问题探究为导向，结合具体方程实例，用表格演示二分法步骤，渗透数学眼光（发现求解必要性）、数学思维（逻辑推理与逐步逼近）、数学语言（规范步骤表达）。采用实例教学与练习巩固，助学生培养解决问题能力，教师可借结构化内容提升教学效率。

第四章 指数函数与对数函数 4.5.2 二分法 函数 y=f(x)的图象与x轴有交点 1.函数零点的定义:方程f(x)=0的实数根x叫做函数f(x)的零点. 注：(1)零点是数，不是点 (根的个数) (零点个数) (交点个数) (2)方程 f(x)=0有实数根 函数 y=f(x)有零点 2.零点存在性定理:若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有1个零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0；此时c是方程f(x)=0的根. 温故知新 [思考]你能求出上述函数f(x)的零点的准确值吗？ 探究 [思考]你能求出上述函数f(x)的零点的准确值吗？ 对于不能用代数运算求解的高次方程、对数方程、指数方程等，其数值解法随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，我们通常只能求其近似解. 二分法：零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值. 探究 [思考]方程近似解(或函数零点的近似值)的精确度与函数零点所在范围的大小有何关系? 若知道零点在(2.50,2.53)内，我们就可以得到方程的一个精确到0.1的近似解2.50； 若知道零点在(2.515,2.516)内，我们就可以得到方程的一个更为精确近似解2.515，等等…… 求方程近似解的问题(或函数零点的近似值) 不断缩小零点所在范围(或区间)的问题 区间精确度为ε：零点所在区间(a,b)满足|a-b|<ε 探究 新知一：二分法 区间的一个端点 区间内任意一点 探究 区间左端点 函数值f(a) 区间右端点 函数值f(b) 零点所在区间 零点近似值 (约定区间端点) f(2)<0 f(3)>0 区间中点 函数值f(c) f(2.5)<0 f(2.5)<0 f(3)>0 f(2.75)>0 f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0 2.5 2.75 2.625 f(2.5)<0 f(2.625)>0 f(2.5625)>0 2.5625 零点 所在 范围 越来 越小 通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值． 区间精确度为ε： 零点x∈(2.5,3) 初始区间(2,3) 取区间中点2.5 计算f(2.5) f(2.5)f(3)<0 |2.5-3|< 零点近似值为3 是 初始区间(2.5,3) 零点x∈(2.5,2.75) 取区间中点2.75 计算f(2.75) f(2.5)f(2.75)<0 |2.5-2.75|< 零点近似值为2.75 是 否 [练习1]下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是(　　) C 只有满足以下两个条件，才可采用二分法求得零点近似值： ①在区间[a,b]上连续不断； ②f(a)·f(b)＜0. 即：有变号零点的函数才可用二分法求零点近似值. 巩固 [练习2]下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是(　　) AC 巩固 [练习4]用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　) A. 0.9 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.4 析：由f(0.68)f(0.72)<0得函数的零点所在区间为(0.68,0.72) B [练习5]用二分法求方程2x+3x－7＝0在区间(1,3)内的实根,取区间中点x0＝2,则下一个有根区间是______. (1,2) 析：令f(x)=2x+3x－7＝0，∵f(1)=﹣2<0，f(2)=3>0， f(3)=10>0，∴f(x)的零点所在区间为(1,2) 巩固 [练习6]用二分法求f(x)＝x3－3的一个正零点(精确度0.01)． 解:由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见下表 区间 中点的值 中点函数近似值 0.375 (1,2) 1.5 (1,1.5) 1.25 －1.0469 (1.25,1.5) 1.375 －0.4004 (1.375,1.5) 1.4375 －0.0295 (1.4375,1.5) 1.46875 0.1684 (1.4375,1.46875) 1.453125 0.06838 (1.4375,1.453125) 1.4453125 0.0192 (1.4375,1.4453125) 1.44140625 －0.005259 从表中可知 |1.4453125－1.4375| ＝0.0078125 ＜0.01， 所以函数f(x)的一个 正零点可取1.4375. 巩固 利用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的步骤 1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε。 2.求区间(a,b)的中点c。 3.计算f(c)。 (1)若f(c)=0，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0，则零点x0∈(a,c)； 4.判断是否达到精确度ε。 若|a-b|<ε，则得到零点近似值；否则重复步骤2-4。 (3)若f(c)·f(b)<0，则零点x0∈(c,b)； 总结 未完待续…… $